.

Алгебра и Начало анализа

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 626
Скачать документ

23. Правила вычисления производной.

Ответ

Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b – некоторые числа,
называется линейной.

Областью определения линейной функции служит множество R всех
действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых
значениях х.

0.

Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с
положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым
коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.0.Графиком квадратичной функции является парабола.Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.

0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси Oy.

).

).

Свойства функции y = ax2 при а < 0.1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.0, то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости.3. График функции симметричен относительно оси Oy.; 0].; 0].. Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 - вниз.Ответ 3- коэффициент обратной пропорциональности..Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и
III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях.Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.№ 4. Опр. Функция, заданная формулой y = ax, где а - некоторое положительное число, не равное еденице, называется показательной.1. Функция y = ax при а>1

а) область определения – множество всех действительных чисел;

б) множество значений – множество всех положительных чисел;

в) функция возрастает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то ax > 1;

е) если х < 0, то 0< ax <1;2. Функция y = ax при 0< а <1а) область определения - множество всех действительных чисел;б) множество значений - множество всех положительных чисел;в) функция убывает;г) при х = 0 значение функции равно 1;д) если х > 0, то 0< ax <1;е) если х < 0, то ax > 1.

№5.Опр. Функцию, заданную формулой y = loga x называют логарифмической
функцией с основанием а.

Свойства функции y = loga x при a>1:

а) D(f) = R+;

б) E(f) = R;

в) функция возрастает;

г) если x = 1, то loga x = 0;

д) если 0 1, то loga x > 0.

Свойства функции y = loga x при 0 0;

е) если x > 1, то loga x < 0.).область определения - множество всех действительных чисел;множество значений - [-1; 1];;;;;;;.)область определения - множество всех действительных чисел;множество значений - [-1; 1];;;;;;;).;множество значений - вся числовая прямая;функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;;;;;.);множество значений - вся числовая прямая;функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;;;;;.Ответ № 10Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать ее первый член а1 и разность d.Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.(1)Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-1). (2)(3)Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an = a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.Ответ № 11Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q.), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1= -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.(1)(2)(3)(4)Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn = b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная...№ 12Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = aЧастные случаи:Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < aНеравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a
(sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x).;>;

;

.

Ответ № 13

Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a

.

Частные случаи:

;

;

.

Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < aДля решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a,
cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);Важным моментом является знание, что:;;;;.№ 14Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a.Частные случаи:;;.Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < aДля решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a,
tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).Важно знать, что:;;.№ 15.Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;название функции сохраняют;.Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:- острый угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.№ 16Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:           Рис.1                         Рис.2. По определению скалярного произведения векторов:= х1х2 + y1y2. (1). Из определения косинуса и синуса следует, что.Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1), получим:).С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:BOC.). Поэтому).), то..Значит,.Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:.Значит,..Значит,.№ 17Формулы двойных углов.Положим в формулах,,,.. Получим тождества:;- 1;; INCLUDEPICTURE "http://fmi.asf.ru/abit/Imagest/ctg3.gif" \* MERGEFORMATINET ???№ 18Формулы половинного аргументачерез одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям- 1./2, то получим:= 2 cos2 INCLUDEPICT??????????????????????•?????????????????Из формул (1) следует, что  (3).Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим  (4)./2.Полезно знать следующую формулу:.№ 19Формулы суммы и разности синусов, косинусов   Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.= x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:= sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy..Следовательно,.Аналогичным образом выводят формулы:;;.№ 20- q ..1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2 = -р, а х1х2 = q .2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 = -р и х1х2 = q , то х1 и х2 - корни уравнения x2 + px + q = 0.№ 21Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.1) называют основным логарифмическим тождеством.   Свойства логарифмов:;;Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:.Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:.Перемножим почленно эти равенства, получаем:.Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:.Ход доказательства аналогичен доказательству п.3Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:.При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.№ 22.Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0 только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.. В этом состоит геометрический смысл производной.Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.№ 23Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:.Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные дифференцируемы в этой точке и.Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и.Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х0 и.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019