Содержание
Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор существующих методов решения задачи 6
2.1.Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения
уравнения первого порядка 6
2.2.Задача Коши 6
2.3.Метод Булирша- Штера с использованием
рациональной экстраполяции для системы уравнений 7
2.4 Метод Адамса 8
2.5. Метод Эйлера 9
3. Описание алгоритмов решения задания 13
3.1. Описание переменных 13
3.2. Блок- схема главного модуля 14
3.3. Описание алгоритма главной программы 14
3.4. Блок-схема функции “func” 15
3.5. Описание блок- схемы функции “func” 15
4. Описание программного обеспечения 16
4.1. Описание операционной системы 16
4.2. Описание языка программирования 18
4.3. Описание программы 19
5. Контрольный пример 21
6.Анализ полученных результатов 22
Список литературы 24
Приложение 25
Введение
. Его решением является любая функция u(x), которая этому уравнению
удовлетворяет при всех x в определённом конечном или бесконечном
интервале. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей
производной имеет вид
Решением этого уравнения на интервале I=[a,b] называется функция u(x)
Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом –
это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и
числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…,
уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.
Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции
y=F(x) (3) получить таблицу значений этой функции для заданной
последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом
интегрирования.
Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде
таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является
сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных
расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются
исходными для ряда других методов.
Метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений
используется для решений многих задач естествознания в качестве
математической модели. Например задачи электродинамики системы
взаимодействующих тел (в модели материальных точек), задачи химической
кинетики, электрических цепей. Ряд важных уравнений в частных
производных в случаях, допускающих разделение переменных, приводит к
задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений – это, как правило,
краевые задачи (задачи о собственных колебаниях упругих балок и пластин,
определение спектра собственных значений энергии частицы в
сферически-симметричных полях и многое другое).
1.Постановка задачи
методом Эйлера
1.2. Составить блок-схему алгоритма для решения данного задания.
1.3. Разработать программу на языке Microsoft Visual C++
1.4. Протестировать программу на примере y’=2x+y (n=5, [0,1], y0=1)
1.5. Выполнить анализ результатов.
1.6. Оформить пояснительную записку с приложением.
2.Обзор методов решения задачи.
2.1. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого
порядка.
Идея Рунге-Кута состоит в том, чтобы использовать метод неопределённых
коэффициентов. Наиболее употребительным методом Рунге-Кутта решения
уравнения первого порядка y’ = F(x,y) (2.1.1) является метод четвертого
порядка, в котором вычисления производятся по формуле:
yk+1 = yk +(k1 +2k2 +2k3 +k4 )/6,
(2.1.2)
где
k1 = Fk h = F(xk , yk )h
k2 = F(xk +h/2, yk +k1 /2)h
k3 = F(xk +h/2, yk +k2 /2)h
k4 = F(xk +h, yk +k3 )h,
k = 0, …, n-1
h = (xf -x0 )/n
(2.1.3)
2.2. Задача Коши.
Рассмотрим задачу Коши для уравнений первого порядка на отрезке [a,b]:
(2.1.4)
. Существует 2 типа численных схем :
) (2.2.1)
(2.2.2)
. Явные схемы проще, однако зачастую неявные схемы предпочтительнее.
2.3. Метод Булирша-Штера с использованием рациональной экстраполяции для
системы уравнений
Метод Булирша-Штера (Bulirsch-Stoer Method) – это метод решения системы
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с гладкими
правыми частями. Гладкость правых частей является необходимой для работы
метода. Если правые части вашей системы не являются гладкими или
содержат разрывы, то лучше использовать метод Рунге-Кутта. В случае же
гладкой системы метод Булирша-Штера позволяет добиться существенно
большей точности, чем метод Рунге-Кутта.
Принцип работы метода
Основной идеей метода является вычисление состояния системы в точке x+h,
как результата двух шагов длины h/2, четырех шагов длины h/4, восьми
шагов длины h/8 и так далее с последующей экстраполяцией результатов.
Метод строит рациональную интерполирующую функцию, которая в точке h/2
проходит через состояние системы после двух таких шагов, в точке h/4
проходит через состояние системы после четырех таких шагов, и т.д., а
затем вычисляет значение этой функции в точке h = 0, проводя
экстраполяцию.
Гладкость правых частей приводит к тому, что вычисленное при помощи
экстраполяции состояние системы оказывается очень близко к
действительному, а использование рациональной экстраполяции вместо
полиномиальной позволяет ещё больше повысить точность.
Таким образом проводится один шаг метода, после чего принимается решение
– следует ли изменять шаг, а если да – то в какую сторону. При этом
используется оценка погрешности, которую мы получаем в качестве
дополнительного результата при рациональной экстраполяции. Следует
отметить, что алгоритм решает автономную систему, т.е. если уравнения
системы содержат время, то необходимо ввести время в качестве
переменной, производная от которой тождественно равна единице.
Метод Адамса
Явная схема Адамса.
Рассмотренные выше методы являются явными одношаговыми (для нахождения
последующего приближения используется лишь одно предыдущее). Приведённый
ниже метод является многошаговым.
Пусть задана задача Коши:
(2.4.1)
Для точного решения (которое нам не известно) выполнено:
(2.4.2)
:
(2.4.3)
Описанная схема является k-шаговой явной формулой Адамса.
Неявная схема Адамса.
:
(2.4.4)
(прогноз), а затем по неявной схеме оно необходимое число раз (обычно
один или два) корректируется методом последовательных приближений до
достижения заданной точности (коррекция).
2.5.Метод Эйлера.
Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом – это
значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа
у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что
уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0. (2.5.1)
Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции
У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной
последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом
интегрирования.
Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде
таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является
сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных
расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются
исходными для ряда других методов.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка (2.5.1)
с начальным условием
x=x0, y(x0)=y0 (2.5.2)
Требуется найти решение уравнения (2.5.1) на отрезке [а,b].
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность
х0, х1, х2,…, хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг
интегрирования.
В методе Эйлера приближенные значения у(хi)(yi вычисляются
последовательно по формулам уi+hf(xi, yi) (i=0,1,2…).
При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку
М0(х0, у0), заменяется ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi)
(i=0,1,2,…); каждое звено МiMi+1 этой ломаной, называемой ломаной
Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной
кривой уравнения (2.5.1), которая проходит через точку Мi. Если правая
часть уравнения (2.5.1) в некотором прямоугольнике R{|x-x0|(a,
|y-y0|(b}удовлетворяет условиям:
|f(x, y1)- f(x, y2)| ( N|y1-y2| (N=const),
(2.5.3)
|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| ( M (M=const),
то имеет место следующая оценка погрешности:
|y(xn)-yn| ( hM/2N[(1+hN)n-1],
(2.5.4)
где у(хn)-значение точного решения уравнения (2.5.1) при х=хn, а уn-
приближенное значение, полученное на n-ом шаге.
Формула (13) имеет в основном теоретическое применение. На практике
иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется
с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2.
Погрешность более точного значения уn* оценивается формулой
|yn-y(xn)|(|yn*-yn|.
(2.5.5)
Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных
уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние
должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных
уравнений первого порядка.
Модифицированный метод Эйлера
Рассмотрим дифференциальное уравнение (2.5.1) y/=f(x,y) с начальным
условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n равных
частей. На малом участ интегральную кривую заменим прямой
линией.
Рис.1 Метод Эйлера в
графическом видa
Получаем точку Мк(хк,ук). Через Мк проводим касательную:
у=ук=f(xk,yk)(x-xk). Делим отрезок (хк,хк1) пополам:
xNk/=xk+h/2=xk+1/2
(2.5.6)
yNk/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2
Получаем точку Nk/. В этой точке строим следующую касательную:
y(xk+1/2)=f(xk+1/2,
yk+1/2)=?k (2.5.7)
Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом ?к и определяем
точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк/. В
качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк/. Тогда:
ук+1=ук+?кh
xk+1=xk+h
0
4
6
8
:
??c¤oth
using namespace std;
void func(double& Xi, double& Yi,double kx, double ky, double h);
int main()
{
double h,Xi,Yi,Xkon,kx,ky;
int n;
cout>Xi;
cout>Xkon;
cout>n;
h=(Xkon- Xi)/n;
cout>Yi;
cout>kx;
cout>ky;
cout
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
