.

Тунельные и барьерные эффекты

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 913
Скачать документ

Московский Педагогический Государственный Университет

Курсовая работа по квантовой механике на тему:

Туннельные и барьерные эффекты.

Приняла:

Выполнила:

студентка 4-го курса 1-ой группы

физического факультета

Москва 2004 год.

Введение

, где U(x)— потенциальная. энергия частицы (т — масса), был бы в
области внутри барьера, Е х0 , в которых U0, или в противоположном направлении, если начальный импульс р х0 Подобным же
образом, если частица движется справа налево, имея Е Um). Этим и
разъясняется название «потенциальный барьер».

Совсем иначе протекают явления вблизи потенциальных барьеров, если
речь идет о движениях микроскопических частиц в микроскопических
полях, т. е. о движениях, при рассмотрении которых нельзя игнорировать
квантовые эффекты. В этом случае, как мы сейчас увидим, в
противоположность выводам классической механики, частицы с энергией Е,
большей высоты барьера Um, частично отражаются от барьера, а
частицы с энергией, меньшей Um, частично проникают через барьер.

Для того чтобы в этом убедиться, мы рассмотрим совсем простой случай
барьера, изображенный на рис. 2. Именно, мы будем считать, что
потенциальная энергия частицы U (х) всюду равна нулю, кроме области 0 ?
Х ? l, где она имеет постоянное значение, равное Um. Такой барьер
представляет собой, конечно, идеализацию, но на нем, особенно просто
можно проследить интересующие нас стороны проблемы. Мы можем себе
представить, что такой прямоугольный барьер возникает путем непрерывной
деформации плавного барьера, изображенного на рис. 1.

Будем искать стационарные состояния частицы, движущейся в поле такого
барьера. Обозначая потенциальную энергию через U (х), мы получим
уравнение Щредингера в виде

(3)

Обозначая в дальнейшем дифференцирование по х штрихом и вводя
оптические обозначения

(4)

где п (х) — показатель преломления, мы перепишем уравнение (3) в виде

(5)

Уравнение (94.5) распадается на три уравнения для трех областей
пространства:

(5′), (5″), (5′”)

Решения в этих областях могут быть записаны сразу:

(96.6)

(6), (6′), (6″)

где А, В, ?, ?, a и b — произвольные постоянные. Однако это — общие
решения трех независимых уравнений (5), (5′), (5″) и они, вообще говоря,
не образуют какой-либо одной волновой функции, описывающей состояние
частицы, движущейся в силовом поле U (х). Для того чтобы они давали
действительно одну функцию ? (х), мы должны соблюсти краевые условия,
которые мы сейчас установим.

Для этого будем рассматривать U (х) и, следовательно, п (х) как плавную
функцию х. Интегрируя тогда уравнение (5) около точки х = 0, получим

Отсюда

(7 (7)

получаем краевое условие

(7′)

Далее, согласно общему требованию о непрерывности волновых функций,
имеем второе краевое условие

(7″)

Точка х = 0 ничем не выделена, поэтому условия (7′) и (7″) должны быть
соблюдены в любой точке, в частности, и при х = 1.

Чтобы решение (6) трех уравнений (5) можно было рассматривать как предел
решения одного уравнения при переходе от плавного изменения U (х) к
скачкообразному, нужно, чтобы эти решения в точках х = 0 и х = 1
удовлетворяли краевым условиям (7′) и (7″), т. е.

(8)

Подставляя сюда значение функций из (6), получаем

(9)

Мы имеем четыре уравнения для шести постоянных. Произвол в выборе
постоянных объясняется тем, что могут быть волны, падающие на барьер
слева, а могут быть — падающие на него справа.

Если мы, например, возьмем А, В?0, b = 0, то Aeik0X может
рассматриваться как падающая волна, Be-ik0X —как отраженная, аe-ik0X —
как проходящая. Если бы мы взяли b ? 0, то это означало бы, что есть еще
падающая волна с другой стороны барьера. Эти возможности соответствуют в
классической механике случаям движения частиц к барьеру слева, либо
справа.

Мы рассмотрим для определенности случай падения частиц слева. Тогда, мы
должны взять b = 0. Кроме того, без всяких ограничений мы можем принять
амплитуду падающей волны за единицу: А=1. Уравнения (9) принимают тогда
вид ‘ ‘

(10)

Из этих алгебраических уравнений находим ?, ?, В и a:)

(11 ), (12), (13), (14)

Если энергия частицы Е больше высоты барьера Um, то показатель
преломления пт действителен. В этом случае интенсивность отраженной
волны | В| 2 равна

а интенсивность проходящей волны

(15)

Вычислим по формуле для плотности тока поток частиц в падающей волне,
(JQ), отраженной (Jr) и проходящей (Jd ). Получаем:

(16)

Отношение потока отраженных частиц к потоку падающих

(17)

называют коэффициентом отражения. Отношение потока проходящих частиц к
потоку падающих

(18)

называют коэффициентом прозрачности барьера.

Из закона сохранения числа частиц (уравнение непрерывности для тока)
следует, что

(19)

(приведенные выше выражения для R и D позволяют непосредственно
убедиться в справедливости этого равенства).

По классической механике, если E>Um, должно иметь место R=0, D=1 барьер
совершенно прозрачен. Из (15) следует, что | В| 2 ?0 поэтому в
квантовой механике R > О, D 0, так что потенциальная
энергия имеет вид, изображенный на рис. 1. Схематизируя таким образом
истинный ход потенциальной энергии, мы в сущности оперируем со средним
полем в металле. На самой деле, потенциал внутри металла меняется от
точки к точке с периодом, равным постоянной кристаллической решетки.
Наше приближение соответствует гипотезе свободных электронов, так как,
поскольку U (х) = О, внутри металла нет никаких сил, действующих на
электрон.

Здесь рассмотрим вопрос о степени правильности такого приближений.
Ограничимся лишь указанием на то, что рассмотрение электронов в металле
как свободно движущихся частиц («электронный газ») позволяет уяснить
многие явления в металлах и поэтому, в определенных рамках, является
законным. Распределение по энергиям электронов этого газа таково, что
подавляющее большинство электронов имеет энергию Е С. Таких электронов у нас очень мало (они обусловливают малую
термоионную эмиссию). Поэтому никакого электронного тока по классической
механике при наложении поля получиться не, должно. Однако, если поле ?
достаточно велико, то барьер будет узок, мы будем иметь дело с резким
изменением потенциальной энергии и классическая механика будет
неприменима: электроны будут проходить через потенциальный барьер.

Вычислим коэффициент прозрачности этого барьера для электронов, имеющих
энергию движения по оси ОХ, равную Ех. Согласно (1.24) дело сводится к
вычислению интеграла

где хх и х2 — координаты точек поворота. Первая точка поворота есть
(рис. 1), очевидно, х1 = 0, так как для всякой энергии Ех ЕХ,
то средний (по энергиям электронов) коэффициент прозрачности будет иметь
вид

(3.5)

и ?0 — константы, зависящие от рода металлов. Ток холодной эмиссии
будет равен

Эта зависимость тока от поля вполне подтверждается экспериментами.

§4. Трехмерный потенциальный барьер. Квазнстационарные состояния.

Рассмотрение задачи о прохождении через потенциальный барьер, отличалось
той особенностью, что речь шла о потоке частиц, приходящих из
бесконечности и встречающих на своем пути потенциальный барьер. В
дальнейшем (теория радиоактивного распада, автоионизация атомов) нам
встретятся такие случаи, когда речь будет идти о потоке частиц,
выходящих из некоторой ограниченной области пространства (ядро
атома, атом), окруженной, потенциальным барьером. Пусть сфера с центром
в 0 и радиусом r0 (рис. 1,а)

Рис.4.1. Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (r
r0, U 0, то собственные значения этого оператора образуют
непрерывный спектр 0 ? E г0).

В самом деле, тогда парадокс полностью решается: частица, находящаяся
внутри ядра, может иметь энергию, меньшую, нежели высота барьера, и все
же пройти через него. Частица же, пролетающая извне, ввиду малой
прозрачности барьера лишь в очень редких случаях будет захватываться
ядром (так как время пребывания ее около ядра очень – мало). Поэтому
рассеяние ? – частиц, падающих извне, будет обусловливаться кулоновскими
силами, действующими за пределами барьера. Предположенная малая
прозрачность барьера, согласуется с тем фактом, что периоды
радиоактивного ? – распада весьма велики.

Применяя теорию прохождения через потенциальные барьеры, легко облечь
изложенную идею в математическую форму и найти выражение для константы
радиоактивного распада ? – эта константа определяется следующим образом.
Если имеющееся к моменту времени t число нераспавшихся атомов N, то
dN будет равно

(5.1)

Для вычисления константы распада ? мы можем применить квантовую теорию
просачивания частиц через потенциальные барьеры, изложенную в
предшествующем параграфе. Согласно этой теории ? – частицу внутри ядра
следует рассматривать как находящуюся в «квазистационарном» состоянии.
Обозначая скорость частицы в этом состоянии через ?i,-, радиус барьера
через r0 и его коэффициент прозрачности через D, мы получим

(5.2)

Остается вычислить D. Ввиду более сложной формы барьера вместо (4.24) мы
получим (см. (1.24))

(5.3)

Из рис. 5.1 следует, что первая точка поворота r’1 есть г0 (радиус
ядра), вторая (г2) определится из условия

(5.4)

Таким образом,

(100.5)

% , мы получаем

(5.5′)

(5.5′)

.

(5.7)

. Итак, выражение для константы распада (5.3) раскрывается слёдующим
образом:

(5.8)

или

(5.9)

Наиболее замечательным выводом из этой формула является зависимость
между ? и скоростью ? – частицы v. Подобная зависимость еще задолго до
квантовой теории этого явления была установлёна на опыте Гайгером и
Нэттолом.

Далее мы видим, что 1n? зависит от номера элемента Z (Z = Z’— 2) и
радиуса ядра.

Из опыта известно, что константы распада варьируются в очень |широких
пределах: от 106 сек-1 до 10-18 сек-1. Если бы в таких же пределах
приходилось варьировать параметры, определяющие ?, то теория была бы
наверно неправильной. Замечательным следствием формулы (5.9) является
то, что если по эмпирическим данным для ? определять радиусы ядер, то
окажется, что они все лежат в тесных границах, примерно от 5 · 10 -12
см до 9 · 10-12 см. Значительное различие в величине ? для разных
элементов определяется не различием в радиусах ядер, а различием в
энергии вылетающих частиц. Слабую зависимость ? от r0 и резкую от v
следует рассматривать как подтверждение теории.

§ 6. Ионизация атомов в сильных электрических полях

Подобно тому, как сильное электрическое поле вырывает электроны из
металлов оно вырывает их также и из отдельных атомов газа. Явление это
называют иногда «автоионизацией» атомов и его причину легко понять, если
рассмотреть вид потенциальной энергии электрона, в атоме при наличии
внешнего электрического поля. Пусть, потенциальная энергия электрона в
отсутствие внешнего поля есть U (r). Внешнее электрическое поле ? пусть
направлено по оси OZ. Тогда вся потенциальная энергия электрона равна

(6.1) .

Рис. 6.1. Сложение атомного и внешнего поля.

Рассмотрим вид потенциальной кривой на оси OZ(x = y = 0, r = | z
|). В отсутствие внешнего поля (? = 0) U’ = U (r) и имеет
вид, изображенный на рис. 6.1 пунктиром. Дополнительная потенциальная
энергия во внешнем поле е?z изобразится пунктирной прямой аа’. Кривая
полной потенциальной энергии U, получающаяся сложением, проведена на
рис. 6.1 сплошной линией а’b’ и ab. Мы видим, что около точки z0
образуется потенциальный барьер, разделяющий пространство на две
области: внутреннюю z > z0 и внешнюю z Um, то электрон
не будет удерживаться вблизи атома, а будет удаляться в область
отрицательных z. Если же энергия электрона Е = Е’ 10-8.

Количественная теория автоионизации находится в хорошем согласии с
опытом.

Заключение.

Список литературы

1. Физический Энциклопедический словарь Издательство «Советская
энциклопедия», Т. 5, М. 1966 год.

2. Физическая Энциклопедия Издательство «большая российская
энциклопедия», Т. 5, М. 1998 год.

3. Д. И. Блохинцев, основы квантовой механики, Издательство «Наука», М.
1976 год.

4.

5.

6.

PAGE

PAGE 25

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020