.

Теоретическая физика: механика

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 599
Скачать документ

“Согласовано” “Утверждено”

Преподаватель Джежеря Ю.И. ___________ Методист ____________________

План-конспект занятия

По теоретической физике

Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61

Филатова Александра Сергеевича

Дата проведения занятия: 13.12.2000

Тема: «Скобки Пуассона. Канонические преобразования»

Цели: Развить навык обращения со скобками Пуассона. Развить навык
использования канонических преобразований. Научить осуществлять
преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от
необходимых переменных. Воспитывать трудолюбие, прилежность.

Тип занятия: практическое.

Ход занятия

Краткие теоретические сведения

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1 )

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2 )

Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при
которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона.
Преобразования производят с помощью производящей функции, которая
является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал
производящей функции определяется следующим образом:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 )

Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем
соответствующий вид канонических преобразований.

MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section 1.1 SEQ MTEqn \r
\h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1.1 \h \* MERGEFORMAT Примеры
решения задач

№9.6 [ REF _Ref500658853 \r \h 3 ] Показать, что уравнения Гамильтона
можно записать в виде:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 ) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section
(Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT

канонических переменных имеют место соотношения:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 ) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section
(Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT

№9.10 [ REF _Ref500658853 \r \h 3 ] С помощью скобок Пуассона
показать, что импульс системы является интегралом движения, если ее
гамильтониан инвариантен относительно произвольного параллельного
переноса системы в пространстве.

Решение:

По определению обобщенный импульс есть:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 )

Но в силу однородности времени функция Лагранжа явно от времени не
зависит, следовательно, и выражение для импульса также не содержит в
себе явной зависимости по времени:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 2 )

Тогда следуя формуле GOTOBUTTON ZEqnNum216626 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum216626 \! \* MERGEFORMAT (1) :

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 3 )

При параллельном переносе тела в пространстве координаты каждой точки
этого тела преобразуются по закону:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 4 )

При этом изменение гамильтониана равно нулю. Но с другой стороны
изменение гамильтониана равно:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 5 )

, получим:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 6 )

С другой стороны для каждой декартовой компоненты имеет место
соотношение вида:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 7 )

Здесь было использовано свойство аддитивности скобок Пуассона. Запишем
совокупность этих соотношений в краткой форме:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 8 )

Сопоставляя GOTOBUTTON ZEqnNum658110 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum658110 \! \* MERGEFORMAT (3.8) и GOTOBUTTON ZEqnNum522860
\* MERGEFORMAT REF ZEqnNum522860 \! \* MERGEFORMAT (3.6) находим:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 9 )

Т.о. согласно GOTOBUTTON ZEqnNum382739 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum382739 \! \* MERGEFORMAT (3.3) :

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 10 )

является интегралом движения. MACROBUTTON MTEditEquationSection
Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h
\* MERGEFORMAT

.

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 )

, и что импульсы и координаты являются независимыми переменными,
получим:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 2 )

По определению:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 3 )

поочередно убеждаемся в тождественности последнего. MACROBUTTON
MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \*
MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT

.

В силу равенств GOTOBUTTON ZEqnNum513985 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum513985 \! \* MERGEFORMAT (2.1) :

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 )

Компоненты вектора момента инерции можно записать как свертку тензоров
(сам вектор является тензором I ранга):

, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5 . SEQ MTEqn \c \* Arabic
\* MERGEFORMAT 2 )

– полностью антисимметричный тензор, причем

, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5 . SEQ MTEqn \c \* Arabic
\* MERGEFORMAT 3 )

остальные компоненты тензора равны нулю.

Подставляя формулу GOTOBUTTON ZEqnNum660430 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum660430 \! \* MERGEFORMAT (5.2) в выражение GOTOBUTTON
ZEqnNum880932 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum880932 \! \* MERGEFORMAT
(5.1) , получим:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 4 )

:

MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn
\r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT

.

Решение:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 ) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section
(Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT

.

Такое преобразование явно не меняет вид канонических уравнений, к тому
же сводит просто к взаимному переименованию координат и импульсов.
Следовательно, в гамильтоновом формализме понятие обобщенных координат и
импульсов лишено их первоначального смысла. Мы всегда можем назвать
координаты импульсами, а импульсы координатами (см. GOTOBUTTON
ZEqnNum252541 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum252541 \! \* MERGEFORMAT
(6.1) ). Ввиду этой условности терминологии переменные p и q в
формализме Гамильтона часто называют канонически сопряженными
величинами.

№9.37 [ REF _Ref500658853 \r \h 3 ] Показать, что гамильтониан
является инвариантом при бесконечно малом каноническом преобразовании с
производящей функцией

,

– интеграл движения.

Решение:

Запишем канонические преобразования:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 )

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 2 )

Изменение гамильтониана в случае бесконечно малого канонического
преобразования есть

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 3 )

Из канонических уравнений GOTOBUTTON ZEqnNum163662 \* MERGEFORMAT
REF ZEqnNum163662 \! \* MERGEFORMAT (7.1) следует, что

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 4 )

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic
\*?????????

из уравнения GOTOBUTTON ZEqnNum894400 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum894400 \! \* MERGEFORMAT (7.1) и подставляя его в уравнение
GOTOBUTTON ZEqnNum709161 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum709161 \! \*
MERGEFORMAT (7.5) , с точностью до членов первого порядка малости,
получим:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 6 )

Подставим GOTOBUTTON ZEqnNum713638 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum713638
\! \* MERGEFORMAT (7.4) и GOTOBUTTON ZEqnNum729934 \* MERGEFORMAT
REF ZEqnNum729934 \! \* MERGEFORMAT (7.6) в выражение для изменения
гамильтониана GOTOBUTTON ZEqnNum814281 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum814281 \! \* MERGEFORMAT (7.3) . Получим:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 7 )

По условию функция f является интегралом движения. А значит

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 8 )

С другой стороны

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 9 )

Подставляя в последнее выражение равенства GOTOBUTTON ZEqnNum270091
\* MERGEFORMAT REF ZEqnNum270091 \! \* MERGEFORMAT (7.8) , получаем:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 10 )

Сопоставляя GOTOBUTTON ZEqnNum763392 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum763392 \! \* MERGEFORMAT (7.7) и GOTOBUTTON ZEqnNum778878
\* MERGEFORMAT REF ZEqnNum778878 \! \* MERGEFORMAT (7.10) , делаем
вывод, что изменение гамильтониана

, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic
\* MERGEFORMAT 11 )

что и требовалось доказать. Т.е. гамильтониан является инвариантом при
бесконечно малом каноническом преобразовании с заданной производящей
функцией.

MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn
\r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT Домашнее задание:

является интегралом движения свободной частицы в отсутствие внешних
сил.

Решение:

Для свободной частицы:

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 )

Согласно GOTOBUTTON ZEqnNum930988 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum930988
\! \* MERGEFORMAT (1) :

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 2 ) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section
(Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h
??????????????????????????????????????–????????????????–???????????????

.

.

определяет тождественное каноническое преобразование.

Литература:

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», – М.: «Наука»,
1969 г., – 272 с.

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», – М.: «Наука», 1965 г., – 204 с.

И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической
механике для физиков», – М.: 1977 г., – 389 с.

Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», – М.:
«Наука», 1977 г., – 320 с.

И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», – М.: «Наука»,
1986 г., – 448 с.

Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач
по теоретической физике», – М.: «Высшая школа» 1984 г., – 319 с.

Студент-практикант: Филатов А.С.

PAGE

PAGE 1

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020