“Согласовано” “Утверждено”
Преподаватель Джежеря Ю.И. ___________ Методист ____________________
План-конспект занятия
По теоретической физике
Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61
Филатова Александра Сергеевича
Дата проведения занятия: 13.12.2000
Тема: «Скобки Пуассона. Канонические преобразования»
Цели: Развить навык обращения со скобками Пуассона. Развить навык
использования канонических преобразований. Научить осуществлять
преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от
необходимых переменных. Воспитывать трудолюбие, прилежность.
Тип занятия: практическое.
Ход занятия
Краткие теоретические сведения
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1 )
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2 )
Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при
которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона.
Преобразования производят с помощью производящей функции, которая
является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал
производящей функции определяется следующим образом:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 )
Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем
соответствующий вид канонических преобразований.
MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section 1.1 SEQ MTEqn \r
\h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1.1 \h \* MERGEFORMAT Примеры
решения задач
№9.6 [ REF _Ref500658853 \r \h 3 ] Показать, что уравнения Гамильтона
можно записать в виде:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 ) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section
(Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
канонических переменных имеют место соотношения:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 ) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section
(Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
№9.10 [ REF _Ref500658853 \r \h 3 ] С помощью скобок Пуассона
показать, что импульс системы является интегралом движения, если ее
гамильтониан инвариантен относительно произвольного параллельного
переноса системы в пространстве.
Решение:
По определению обобщенный импульс есть:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 )
Но в силу однородности времени функция Лагранжа явно от времени не
зависит, следовательно, и выражение для импульса также не содержит в
себе явной зависимости по времени:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 2 )
Тогда следуя формуле GOTOBUTTON ZEqnNum216626 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum216626 \! \* MERGEFORMAT (1) :
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 3 )
При параллельном переносе тела в пространстве координаты каждой точки
этого тела преобразуются по закону:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 4 )
При этом изменение гамильтониана равно нулю. Но с другой стороны
изменение гамильтониана равно:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 5 )
, получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 6 )
С другой стороны для каждой декартовой компоненты имеет место
соотношение вида:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 7 )
Здесь было использовано свойство аддитивности скобок Пуассона. Запишем
совокупность этих соотношений в краткой форме:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 8 )
Сопоставляя GOTOBUTTON ZEqnNum658110 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum658110 \! \* MERGEFORMAT (3.8) и GOTOBUTTON ZEqnNum522860
\* MERGEFORMAT REF ZEqnNum522860 \! \* MERGEFORMAT (3.6) находим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 9 )
Т.о. согласно GOTOBUTTON ZEqnNum382739 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum382739 \! \* MERGEFORMAT (3.3) :
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 3 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 10 )
является интегралом движения. MACROBUTTON MTEditEquationSection
Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h
\* MERGEFORMAT
.
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 )
, и что импульсы и координаты являются независимыми переменными,
получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 2 )
По определению:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 4 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 3 )
поочередно убеждаемся в тождественности последнего. MACROBUTTON
MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn \r \h \*
MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
.
В силу равенств GOTOBUTTON ZEqnNum513985 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum513985 \! \* MERGEFORMAT (2.1) :
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 )
Компоненты вектора момента инерции можно записать как свертку тензоров
(сам вектор является тензором I ранга):
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5 . SEQ MTEqn \c \* Arabic
\* MERGEFORMAT 2 )
– полностью антисимметричный тензор, причем
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5 . SEQ MTEqn \c \* Arabic
\* MERGEFORMAT 3 )
остальные компоненты тензора равны нулю.
Подставляя формулу GOTOBUTTON ZEqnNum660430 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum660430 \! \* MERGEFORMAT (5.2) в выражение GOTOBUTTON
ZEqnNum880932 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum880932 \! \* MERGEFORMAT
(5.1) , получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 5 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 4 )
:
MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn
\r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
.
Решение:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 6 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 ) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section
(Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT
.
Такое преобразование явно не меняет вид канонических уравнений, к тому
же сводит просто к взаимному переименованию координат и импульсов.
Следовательно, в гамильтоновом формализме понятие обобщенных координат и
импульсов лишено их первоначального смысла. Мы всегда можем назвать
координаты импульсами, а импульсы координатами (см. GOTOBUTTON
ZEqnNum252541 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum252541 \! \* MERGEFORMAT
(6.1) ). Ввиду этой условности терминологии переменные p и q в
формализме Гамильтона часто называют канонически сопряженными
величинами.
№9.37 [ REF _Ref500658853 \r \h 3 ] Показать, что гамильтониан
является инвариантом при бесконечно малом каноническом преобразовании с
производящей функцией
,
– интеграл движения.
Решение:
Запишем канонические преобразования:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 )
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 2 )
Изменение гамильтониана в случае бесконечно малого канонического
преобразования есть
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 3 )
Из канонических уравнений GOTOBUTTON ZEqnNum163662 \* MERGEFORMAT
REF ZEqnNum163662 \! \* MERGEFORMAT (7.1) следует, что
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 4 )
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic
\*?????????
из уравнения GOTOBUTTON ZEqnNum894400 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum894400 \! \* MERGEFORMAT (7.1) и подставляя его в уравнение
GOTOBUTTON ZEqnNum709161 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum709161 \! \*
MERGEFORMAT (7.5) , с точностью до членов первого порядка малости,
получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 6 )
Подставим GOTOBUTTON ZEqnNum713638 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum713638
\! \* MERGEFORMAT (7.4) и GOTOBUTTON ZEqnNum729934 \* MERGEFORMAT
REF ZEqnNum729934 \! \* MERGEFORMAT (7.6) в выражение для изменения
гамильтониана GOTOBUTTON ZEqnNum814281 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum814281 \! \* MERGEFORMAT (7.3) . Получим:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 7 )
По условию функция f является интегралом движения. А значит
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 8 )
С другой стороны
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 9 )
Подставляя в последнее выражение равенства GOTOBUTTON ZEqnNum270091
\* MERGEFORMAT REF ZEqnNum270091 \! \* MERGEFORMAT (7.8) , получаем:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 10 )
Сопоставляя GOTOBUTTON ZEqnNum763392 \* MERGEFORMAT REF
ZEqnNum763392 \! \* MERGEFORMAT (7.7) и GOTOBUTTON ZEqnNum778878
\* MERGEFORMAT REF ZEqnNum778878 \! \* MERGEFORMAT (7.10) , делаем
вывод, что изменение гамильтониана
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 7 . SEQ MTEqn \c \* Arabic
\* MERGEFORMAT 11 )
что и требовалось доказать. Т.е. гамильтониан является инвариантом при
бесконечно малом каноническом преобразовании с заданной производящей
функцией.
MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section (Next) SEQ MTEqn
\r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h \* MERGEFORMAT Домашнее задание:
является интегралом движения свободной частицы в отсутствие внешних
сил.
Решение:
Для свободной частицы:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 1 )
Согласно GOTOBUTTON ZEqnNum930988 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum930988
\! \* MERGEFORMAT (1) :
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT
( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 8 . SEQ MTEqn \c \* Arabic \*
MERGEFORMAT 2 ) MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section
(Next) SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \h
??????????????????????????????????????–????????????????–???????????????
.
.
определяет тождественное каноническое преобразование.
Литература:
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», – М.: «Наука»,
1969 г., – 272 с.
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», – М.: «Наука», 1965 г., – 204 с.
И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической
механике для физиков», – М.: 1977 г., – 389 с.
Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», – М.:
«Наука», 1977 г., – 320 с.
И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», – М.: «Наука»,
1986 г., – 448 с.
Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач
по теоретической физике», – М.: «Высшая школа» 1984 г., – 319 с.
Студент-практикант: Филатов А.С.
PAGE
PAGE 1
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
