Министерство науки и образования Украины
Днепропетровский Национальный Университет
Радиофизический факультет
Кафедра физики СВЧ
Реферат по курсу
электродинамики:
“Система уравнений Максвелла в сплошной среде.
Граничные условия”
Выполнил:
Студент
группы РЭ–01-1
А. Л. Бузмаков
Проверил:
Доцент
Кафедры оптоэлектроники
Физического ф-та:
В. Д. Гладуш
Днепропетровск 2003
Содержание
Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме.
Граничные условия.
Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики.
Пример.
Приложение.
Формула Остроградского-Гаусса.
Формула Стокса.
Список используемой литературы.
1. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме
Система уравнений, состоящая из уравнений Максвелла для
электромагнитного поля и уравнений Ньютона для частиц, представляет
собой единую систему уравнений, описывающую все явления, обусловленные
электромагнитным взаимодействием (без учёта релятивистских и квантовых
эффектов). Поэтому, строго говоря, их необходимо решать совместно в
задачах электродинамики. Однако в такой наиболее общей постановке решать
задачи о взаимодействии электромагнитного поля с веществом чрезвычайно
трудно. Сложность проблемы заключается в том, что вещество состоит из
громадного количества частиц, движение которых каждой в отдельности
невозможно описать. С такой проблемой сталкиваются в классической
механике при попытках описать механическое движение газов, жидкостей и
твёрдых тел. Чтобы обойти эту трудность физикам приходилось строить
определённые модели механических систем: модель абсолютно твёрдого тела,
модель сплошной среды и др. При изучении взаимодействия заряженных
частиц с электромагнитным полем также приходится вводить некоторые
модели. Одной из таких широко употребляемых, является модель сплошной
среды, состоящая из электрических диполей (диэлектрик). Эта модель
электрического диполя играет очень важную роль в физике, так как атомы и
молекулы представляют собой системы заряженных частиц, которые в целом
нейтральны, но могут обладать отличным от нуля дипольным моментом и
поэтому создавать электрическое поле.
Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую
теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория объяснила все
известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых
явлений, существование которых подтвердилось впоследствии. Основным
следствием теории Максвелла был вывод о существовании электромагнитных
волн, распространяющихся со скоростью света.
Основу теории образуют уравнения Максвелла. В учении об
электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона
в механике или основные законы (начала) в термодинамике. Ниже приведена
полная система уравнений Максвелла классической электродинамики в
сплошной среде.
Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения:
(1)
(2)
– вектор индукции магнитного поля.
является меняющееся со временем вихревое магнитное поле. Второе
уравнение указывает на отсутствие источников магнитного поля, т.е.
магнитных зарядов, как в вакууме, так и в намагниченном веществе.
Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения:
(3)
(4)
– объёмная плотность заряда.
служат сторонние заряды.
.
следует определять, исходя из электрических и магнитных свойств
вещества.
, независимо от присутствия в пространстве проволочного контура.
Наличие контура лишь позволяет обнаружить по возникновению в нем
индукционного тока существование в соответствующих точках пространства
электрического поля.
по данному контуру:
(1.1)
приводит к соотношению
(интеграл в правой части берётся по произвольной поверхности,
опирающейся на контур). Поскольку контур и поверхность неподвижны,
операции дифференцирования по времени и по поверхности можно поменять
местами:
(1.2)
является функцией только времени).
Левую часть равенства (1.2) преобразуем по теореме Стокса. В
результате получится:
.
Ввиду произвольности выбора поверхности интегрирования должно
выполняться равенство
.
.
в любой
точке равен нулю:
=0.
замкнуты.
, получим следующее уравнение:
. (1.3)
Существование взаимосвязи между электрическим и магнитным
полями служит причиной того, что раздельное рассмотрение электрического
и магнитного полей имеет лишь относительный смысл. Действительно,
электростатическое поле создаётся системой неподвижных зарядов в одной
системе координат, однако они могут двигаться относительно другой
инерциальной системы отсчёта и тогда они будут во второй системе
подвижными, следовательно, будут создавать магнитное поле. Таким
образом, поле, которое относительно некоторой системы отсчёта
оказывается «чисто» электрическим или «чисто» магнитным, относительно
других систем отсчёта будет представлять собой совокупность
электрического и магнитных полей, образующих единое электромагнитное
поле.
равен в каждой точке плотности тока проводимости:
,
(3.1)
связан с плотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности:
(3.2)
равна нулю.
Поэтому можно выяснить, является ли справедливым уравнение
(3.2) справедливым в случае изменяющихся со временем полей. Рассмотрим
магнитное поле, создаваемое током, текущим при зарядке конденсатора от
источника постоянного напряжения U (рис. 1).
Этот ток непостоянен во времени (в момент, когда напряжение на
конденсаторе становится равным U, ток прекращается). Линии тока
проводимости терпят разрыв в промежутке между обкладками конденсатора.
Возьмём круговой контур Г, охватывающий провод, по которому
течёт ток к конденсатору, и проинтегрируем соотношение (3.1) по
пересекающеё провод поверхности S1, ограниченной контуром:
.
по контуру Г:
(3.3)
(I – сила тока заряжающего конденсатор). Проделав такие же вычисления
для поверхности S2, придём к явно неверному соотношению:
(3.4)
Полученный результат указывает на то, что в случае
изменяющихся со временем полей уравнение (3.1) перестаёт быть
справедливым. Напрашивается вывод, что в этом уравнении отсутствует
слагаемое, зависящее от произвольных полей во времени. Для стационарных
полей это слагаемое обращается в нуль.
На неправомерность уравнения (3.1) в случае нестационарных
полей указывает также, следующие соображения. Возьмём дивергенцию от
обеих частей соотношения (3.1):
также должна быть всегда равной нулю. Однако этот вывод
отлична от нуля.
Чтобы согласовать уравнения (3.1) и (3.2), Максвелл ввел в
правую часть уравнения (3.1) дополнительное слагаемое. Естественно, что
это слагаемое должно иметь размерность плотности тока. Максвелл назвал
его плотностью тока смещения. Таким образом, согласно Максвеллу
уравнение (3.1) должно иметь вид:
(3.5)
Сумму тока проводимости и тока смещения принято называть полным
током. Плотность полного тока равна:
(3.6)
Если положить дивергенцию тока смещения равной дивергенции тока
проводимости, взятой с обратным знаком,
(3.7)
то дивергенция правой части уравнения (3.5), так же как и дивергенция
левой части, всегда будет равна нулю.
, получим следующее выражение для дивергенции тока смещения:
. (3.8)
Чтобы связать ток смещения с величинами, характеризующими
изменение электрического поля со временем, воспользуемся соотношением:
Продифференцировав это соотношение по времени, получим:
.
.
Подстановка этого выражения в формулу (3.8) даёт:
.
Отсюда
(3.9)
Подставив выражение (3.9) в формулу (3.6), придём к уравнению
.
Каждое из векторных уравнений (1) и (3) эквивалентно трем
скалярным уравнениям, связывающим компоненты векторов, стоящих в левой и
правой частях равенств. Воспользовавшись правилом раскрытия
дифференциальных операторов, можно записать их в следующем виде:
(5)
(6)
для первой пары уравнений, и:
(7)
(8)
для второй.
. Эти уравнения имеют вид.
(9)
(10)
Совокупность уравнений (1) – (11) образуют основу электродинамики
покоящихся сред.
Уравнения:
(12)
(13)
(первая пара) и
(14)
(15)
(вторая пара) представляют собой уравнения Максвелла в интегральной
форме.
Уравнение (12) получается путём интегрирования соотношения (1)
по произвольной поверхности S с последующим преобразованием левой части
по теореме Стокса в интеграл по контуру Г, ограничивающему поверхность
S. Уравнение (14) получается таким же способом из соотношения (3).
Уравнения (13) и (15) получаются из соотношений (2) и (4) путём
интегрирования по произвольному объёму V с последующим преобразованием
левой части по теореме Остроградского-Гаусса в интеграл по замкнутой
поверхности S, ограничивающей объём V.
2. Граничные условия
Ae
? >
aJ
(каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, а
затем полученные решения объединять с помощью граничных условий.
При нахождении граничных условий удобно исходить из
интегральной формы уравнений аксвелла. Согласно уравнению (4) и теореме
Остроградского-Гаусса:
, (16)
где Q – полный заряд внутри объёма интегрирования.
Рассмотрим бесконечно малый объём в виде цилиндра с высотой h
и площадью основания S, расположенный в средах 1 и 2 (рис. 2).
Соотношение (16) в этом случае можно записать виде:
(17)
, и поэтому (17) приобретёт вид:
(18)
следует:
.
– поверхностная плотность поляризационных зарядов, то формулу (18)
можно записать в виде:
, которая входит в граничное условие (18), есть поверхностная плотность
зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества.
:
(19)
к поверхности S, ограниченной контуром L, имеющим вид прямоугольника
(рис. 3).
Используя теорему Стокса, получим:
Перепишем это уравнение в виде:
(20)
– нормаль к поверхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.
и соотношение (20) примет вид:
и после сокращения на l имеем:
. Тогда
предыдущее выражение можно записать, как
.
Поскольку эта формула справедлива для любой ориентации поверхности , а
следовательно, и
, то имеем
(21)
есть поверхностная плотность тока намагничивания, запишем формулу (21)
в виде:
.
:
(22)
, если имеются поверхностные токи (21).
0) и уравнение (4), из которых следует:
Так как граничное условие (19) является следствием уравнения (2), то по
аналогии находим:
(23)
Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность
которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывность
нормальных составляющих плотности тока:
.
Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид:
(24)
– нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и
должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности
раздела.
3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и
электростатики
Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения
Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия
(24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла
(1) – (4).
) система уравнений Максвелла (1) – (4) распадается на систему
уравнений электростатики:
(25)
и уравнений магнитостатики:
, (26)
а граничные условия остаются те же.
4. Пример
=0 имеют вид:
(27)
Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического
поля удовлетворяет уравнению
(28)
=0.
Граничное условия (24), выражающее непрерывность вектора
индукции, записывается следующим образом:
при r=R (29)
– внутри сферы. Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных
составляющих электрического поля можно использовать эквивалентное ему
условие непрерывности потенциала
(30)
, находим
непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же,
что
также непрерывны.
.
должен удовлетворять условию
.
:
,
.
.
Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):
Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем
=0 при (l=0),
при (l=1),
при (l>1).
Из этих уравнений находим
.
.
Таким образом, решение задачи имеет вид:
(30)
, вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы
С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:
(31)
(32)
– объём сферы.
. Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное электрическое поле
с напряжённостью
(33)
Полная напряжённость внутри шара
(34)
, которое называется деполяризующим полем. Возникновение
деполяризующего поля есть частный случай явления экранировки внешнего
поля связанными или свободными зарядами.
5. Приложение.
1. Формула Остроградского – Гаусса.
Пусть f (x, y, z) – некоторая функция , а S – замкнутая
поверхность, ограничивающая объём V. На отрезке 1-2 (рис. 4),
параллельном оси X, f – является функцией одного аргумента x.
Интегрируя вдоль этого отрезка получим:
– значения функции f на концах рассматриваемого промежутка.
Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих
которого является отрезок 1 2. Пусть d? – площадь поперечного сечения
его (величина положительная). Умножая предыдущее соотношение на d?. Так
как d?dx есть элементарный объём dV, заштрихованный на рисунке, то в
результате получится:
,
2 –
единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Тогда:
1х,
где поверхностный интеграл распространён на сумму площадок dS1 и dS2.
Весь объём V можно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого
вида и написать для каждого из них такие же соотношения. Суммируя эти
соотношения, получим:
(35)
Интеграл справа распространён по всему объёму V, справа – по
поверхности S, ограничивающей этот объём. Аналогичные соотношения можно
написать для осей Y и Z.
и применим к его компонентам соотношение (35). Получим:
и аналогично для компонент Ay и Az . Складывая эти соотношения, найдём:
или:
Эту формулу Остроградского – Гаусса можно также записать в виде:
через некоторую поверхность S равен суммарной алгебраической мощности
источников, порождающих векторное поле.
внутри него может считаться постоянной. Вынося её за знак интеграла и
переходя к пределу V? 0, получим:
Предельный переход надо понимать в том смысле, что область V
должна стягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны
беспредельно уменьшаться по всем направлениям. Эти рассуждения
показывают, что величина, стоящая в правой части вышеуказанной формулы,
не зависит от формы поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому это
выражение можно принять за исходную формулировку дивергенции. Такое
определение обладает преимуществом, потому что оно инвариантно, т.е.
никак не связано с выбором координат.
2. Формула Стокса.
:
(36)
, может быть представлена в виде.
(37)
.
, ограничивающему S:
.
стремиться к нулю (число их при этом неограниченно растёт, придём к
формуле:
(38)
через произвольную поверхность S , ограниченную данным контуром.
6. Список использованной литературы
Федорченко А. М. Классическая электродинамика. – К.: Вища школа, 1988. –
280 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Электричество. – М.: Наука, 1983. – 688
с.
Савельев И. В. Курс обшей физики. 3 том. – М.: Наука, 1988. – 496 с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
