.

Физическое описание явления фильтрации жидкости

Язык: русский
Формат: курсова
Тип документа: Word Doc
0 1176
Скачать документ

1. Физическое описание явления фильтрации жидкости

1.1. Закон фильтрации однородной жидкости

Фильтрация представляет собой движение жидкости в пористой среде под
действием перепада давления. Основной характеристикой фильтрационного
движения является вектор скорости фильтрации u определяемый следующим
образом. Выберем точку М пористой среды и проведем через нее
элементарную площадку S. Через выделенную площадку в единицу времени
протекает масса жидкости Q. Тогда проекция вектора u на нормаль к
выделенной площадке равна lim ? Q/(( S), где p – плотность жидкости.
Подчеркнем, что масса жидкости делится на полную площадь S, а не на ее
часть, занятую порами.

Основное соотношение теории фильтрации – закон фильтрации –
устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и тем полем
давления, которое вызывает фильтрационное движение. Некоторые сведения о
законе фильтрации можно получить, исходя из самых общих представлений.

Окружим точку пористой среды некоторой малой окрестностью; поле
скоростей фильтрации в этой окрестности можно считать непрерывным, а все
параметры пористой среды и насыщающей ее жидкости – постоянным. Нельзя
пренебречь лишь изменением давления, как бы мало оно не было, поскольку
при постоянном по пространству давлении движение полностью отсутствует
(по существу это утверждение является основной гипотезой). Поскольку
изменение давления в окрестности данной точки определяется градиентом
давления, основное предположение при установлении вида закона фильтрации
состоит в том, что вектор скорости фильтрации в данной точке пористой
среды определяется свойствами жидкости и пористой среды и градиентом
давления grad p. Пористая среда характеризуется геометрическими
параметрами – характерным размером d и некоторыми безразмерными
характеристиками: пористостью m, безразмерными параметрами кривой
распределения и др. Закон фильтрации должен являться следствием
уравнений количества движения жидкости в поровом пространстве, поэтому в
систему определяющих величин следует включить также те характеристики
жидкости, которые входят в эти уравнения, т.е. плотность p и вязкость(.
Таким образом, предполагается, что существует зависимость градиента
давления grad p от вектора скорости фильтрации u, геометрических
характеристик пористой среды m, d и т.д. и характеристик жидкости ( и (.
Среди величин, от которых зависит grad p, только скорость фильтрации u
является вектором. В силу изотропии среды (т.е. независимости ее свойств
от вращений и отражений системы отсчета) зависимость grad p от u должна
быть инвариантной относительно вращения вокруг направления вектора u.

Поэтому вектор grad p должен быть направлен по одной прямой с вектором
u. В самом деле, предположим обратное, т.е. пусть вектор grad p
составляет некоторый угол с направлением вектора u. Если повернуть
выбранную произвольную систему координат относительно направления
вектора u на некоторый угол, то ни вектор u , ни какой-либо другой из
определяющих параметров не изменится. Следовательно, не должен
измениться и вектор grad p, зависящий только от этих параметров. Но если
grad p составляет некоторый угол с направлением вектора u, то при
повороте его направление относительно координатных осей обязательно
изменится. Отсюда вытекает, что вектор grad p может обращен только по
направлению вектора u, так что

grad p= – си, (1)

где с – некоторая скалярная величина, зависящая от модуля вектора
скорости u, а также величин d, m, p, (.

Рассмотрим сначала такие фильтрационные движения, для которых
несущественны силы инерции. К числу подобных безынерционных движений
принадлежит, в силу их крайней медленности, большинство фильтрационных
движений, встречающихся на практике. При этом плотность р,
характеризующая инерционные свойства жидкости, несущественна и
исключается из числа определяющих параметров. Таким образом, при
безынерционных движениях величина c зависит только от u, d, m и (.
Выпишем размерности интересующих нас величин:

(2)

Из пяти величин (2) можно выбрать три с независимыми размерностями
(например, u, m, и d). Тогда, согласно ( – теореме, анализа размерностей
искомая зависимость будет связывать две безразмерные комбинации
указанных величин. В качестве одной из безразмерных величин удобно взять
пористость m, в качестве другой выберем cd2/(. Таким образом, имеем

cd2/(= f (m), c=(d-2f(m). (3)

После этого уравнение (1) может быть представлено в виде:

(4)

Это соотношение называется законом фильтрации Дарси (по имени
французского ученого, установившего его экспериментально в 1856г.).
Величина k=d2/f(m), вводимая уравнением (4), носит название
проницаемости. Проницаемость имеет разномерность площади; она не зависит
от свойств жидкости и является чисто геометрической характеристикой
пористой среды.

В физической системе единиц проницаемость измеряется в см2. Однако
проницаемость большинства горных пород выражается при этом весьма малыми
числами. Так, проницаемость крупнозернистых песчаников составляет
10-8-10-9см2; проницаемость плотных песчаников – около 10-10 см2. Ввиду
этого в нефтепромысловой практике получила распространение единица
проницаемости 1Д (дарси)= 1,02( 10-8 см2.

В практике гидротехнических расчетов вместо давления обычно
используется напор H = p/(g, и закон Дарси записывается в виде:

(5)

Величина C, имеющая размерность скорости, называется коэффициентом
фильтрации.

Функция f в выражении (3) зависит не только от пористости, но и от
других безразмерных характеристик геометрии порового пространства. Были
сделаны многочисленные попытки представить в качестве функции пористости
и характерного размера для типичных пористых сред как путем рассмотрения
простейших моделей, так и путем обработки опытных данных. Все полученные
результаты носят частный характер и имеют узкую область применимости.
Наибольшей известностью из формул этого рода пользуется уравнение Козени
– Кармана, полученное на основе аналогии между пористой средой и
системой параллельных трубок, выражающее проницаемость через удельную
поверхность ( и пористость m:

(6)

Постоянная К определяется из опыта и оказывается разной для пористых
сред различной структуры. Формула (6) используется главным образом при
расчетах фильтрационных сопротивлений искусственных пористых сред,
применяемых в химических аппаратах; ею пользуются также при определении
удельной поверхности порошков.

Закон Дарси является следствием предположения о безинерционности
движения жидкости. Фильтрационное течение, следующее закону Дарси,
является частным случаем ползущего течения (широко известным примером
ползущего течения является стоксовское обтекание сферы). Течения такого
типа характеризуются преобладанием вязких сил над инерционными, т. е.
очень малыми числами Рейнольдса (Re > Е отношение напряжений могло бы и не быть малым. Физически это
означает, что в случае, когда вышележащая толща сложена из очень жестких
пород, могут образоваться своды, и при изменении давления жидкости
напряжения на кровле и подошве пласта будут меняться.

Есть теперь пренебречь влиянием таких границ области фильтрации, как
стенки скважин (эти границы имеют сравнительно очень малую протяжность;
их влияние будет оценено ниже), то из независимости от времени уравнений
равновесия системы жидкость – пористая среда (20) и напряжений на кровле
и подошве пласта следует важный вывод о независимости суммарного
напряженного состояния в системе жидкость – пористая среда от времени,
так что

Откуда (22)

Свертывая уравнения (22) (т. е. полагая i, j=1, 2, 3 и суммируя
получающие уравнения), имеем

(23)

откуда вытекает важное соотношение

===

2. Основные задачи нестационарной фильтрации

2.1. Уравнение неразрывности

Рассмотрим баланс массы жидкости в произвольном элементе объема
пористой среды V, ограниченном поверхностью S. За бесконечно малое время
dt приток жидкости внутрь элемента равен согласно определению скорости
фильтрации

(24)

( единичный вектор нормали; за положительное направление нормали
принято направление внешней нормали к поверхности; un – нормальная к
поверхности составляющая скорости фильтрации). Приращение массы жидкости
внутри этого элемента равняется

(25)

Приравнивая выражения (24) и (25) и используя формулу преобразования
поверхностного интеграла в объёмный

находим

откуда в силу произвольности элемента V и вытекает уравнение
неразрывности

(26)

2.2. Упругий режим фильтрации

1. Самым простым и наиболее изученным случаем нестационарной фильтрации
является фильтрации слабосжимаемой жидкости в упругодеформируемом пласте
(в технических приложениях эти задачи получили название задач упругого
режима фильтрации). В основу исследования кладется система уравнений
закона фильтрации и уравнения неразрывности:

(27)

Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, нужно
воспользоваться тем, что свойства жидкости (плотность ( и вязкость (),
так же как и пористость и проницаемость пористой среды, являются
функциями давления (мы предполагаем движение изотермическим).

В силу (23) имеем

исходя из предположения о слабой сжимаемости жидкости и пористой среды,
можно считать относительные изменения величин ( и m малыми и
коэффициенты при dp/dt в предыдущих формулах постоянными:

(28)

Опытные данные показывают, что в реальных случаях

(p-p0)/Кm 0, а ( – некоторая константа, которую будем выбирать в пределах
–Ѕ 0 и ( > -1. В частности, случай ( = 0 соответствует закачке
жидкости в пласт с постоянным расходом. Таким образом, решение задачи
удовлетворяет уравнению (93) и условиям (94) и (96). По-прежнему,
используя (- теорему анализа размерности, можно показать, что это
решение является автомодельным и представляется в виде:

(97)

Здесь

(98)

представляют собой две независимые безразмерные комбинации определяющих
параметров решения; других независимых комбинаций этих параметров не
существует. Постоянный множитель снова введен в формулу для ( с целью
удобства последующего изложения. Как и прежде, искомая функция должна
быть непрерывной и иметь непрерывную производную от квадрата. Подставляя
выражение (77) в уравнение (93) и условия (94) и (96), находим, что
функция f1 ((, () удовлетворяет уравнению

(99)

при условиях

(100)

Исследование этой граничной задачи проводится аналогично предыдущему;
также единственным образом строится функция f1 ((, (), отличающаяся от
нуля лишь при 0 ( ( ( (1((), где (1 (() – некоторая функция (, а при (
( (1 (() тождественно равная нулю. Функция f1 ((, () при ((0 имеет
особенность, как нетрудно видеть из первого условия (100):

(101)

Второе условие (100) может быть приведено к другой форме: умножая
уравнение (99) на ( и интегрируя в пределах от ( = 0 до ( = (, получаем,
используя оба условия (100) и условия

(102)

следующее интегральное соотношение:

(103)

Первое условие (102) непосредственно следует из условия, которому
функция f1 ((, () на бесконечности, так как если бы предел == при ( ( (
не был равен нулю, то функция f1 ((, () не стремилась бы к нулю при ( (
(. Второе условие (102) непосредственно следует из (101).

Эффективное вычисление функции f1 ((, () удобно проводить следующим
образом. Строим решение задачи Коши Ф1((, () для уравнения (99).
обращающееся в нуль при ( = 1 и имеющее в этой точке конечную первую
производную. Исследование, в точности аналогичное приведенному в п. 3
(1, показывает, что эта производная равна -1/4. Строить решение задачи
Коши удобно так: вблизи ( = 1 можно представить решение в виде ряда, при
помощи которого находится надлежащее число начальных значений, после
чего применяется метод численного интегрирования Адамса – Штермера.
Далее численно вычисляется величина

Величина N(() не равна единице, поэтому функция, равная Ф1 ((, () при
((( и тождественно равная нулю при ( ( (, удовлетворяет всем условиям
граничной задачи (99) – (100), кроме первого условия (100).
Воспользуемся теперь тем, что, как нетрудно показать, уравнение (99) и
второе граничное условие (100) инвариантны относительно группы
преобразований:

(104)

поэтому при произвольном положительном ( функция Ф2((, () удовлетворяет
уравнению (99) и второму граничному условию (100). Но

(105)

получим, что функция

(106)

удовлетворяет всем условиям граничной задачи (99) – (100).

PAGE 1

t5555555555

h H

z=0 S

p

p

p q p

p

x=0

h(x, t)

h(r, t)

r

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020