Fueuesika: sissejuhatus.
Fueuesika on teadus kehade vastasmojudest ja nendest pohjustatud
liikumistest. Kehade vastasmoju avaldub jouvaeljana.
“Keha” tunneme sellest, et tal on olemas mass, mis vaeljendub likumise
inertsi ja gravitatsioonina. Kehal voib olla ka elektrilaeng, mis
vaeljendub vastasmojus teise laetud kehaga elektrivaelja kaudu. Koige
elementaarsemad kehad on naeiteks elektron ja prooton, mis moodustavad
aatomid. Aatomitest moodustuvad molekulid. Suuremad kehad koosnevad
omavahel seotud paljudest aatomitest voi molekulidest. Paljuaatomilised
kehad voivad olla tahked, vedelad voi gaasilised, soltuvalt joudude
tugevusest, mis aatomeid (molekule) seovad. Kehad mojutavad ueksteis
kaugelt, jouvaeljade kaudu.
Keha “jouvaeli” on koikjal tema uember ruumis, kuni lopmatu kaugele.
Jouvaeljas asuvale teisele kehale mojub joud, aga samuti mojub joud
teise keha jouvaeljas asuvale esimesele kehale. Nii mojutavadki kehad
ueksteist kaugelt jouvaeljade kaudu. Kaugmoju vaeljade kaudu on ainus
kehade vastastikune moju looduses. Gravitatsiooniline kaugmoju on
silmaga naehtav universumi ehituses, elektromagnetiline kaugmoju aga
domineerib aatomite ja molekulide vahel, sealhulgas ka siis, kui kehad
“silmnaehtavalt” kokku puutuvad. Niisugust naehtust nagu
“kokkupuutumine” ei ole olemas. Kehad ei puutu kunagi tegelikult kokku,
maksimaalses laeheduses aatomite vaelised elektronkihid satuvad
laehestikku ja negatiivsed laengud toukuvad ueksteise jouvaeljas,
takistades kehade edasist laehenemist. Kui jaetame korvale tuumasisesed
joud, siis need kaks, gravitatsiooniline ja elektromagnetiline, ongi
ainsamad joud, mis maeaeravad aatomite ja molekulide paigutuse kehades
ja kehade paigutuse kosmilises ruumis, seega kogu looduse ehituse.
Kaeesolevas kursuses pueueamegi muuta loodust moistetavamaks tema
atomaarse-molekulaarse struktuuri kaudu. Kogu looduse struktuur alates
aatomitest ja lopetades universumiga, kaasa arvatud eluslooduse
struktuur, saab moistetavaks kui tunneme fueuesikaseadusi, mis
maeaeravad kehade voimaliku asendi ueksteise jouvaeljades. Suhteliselt
vaeike arv pohilisi fueuesikaseadusi maeaerab elektronide paigutuse
aatomis, aatomite paigutuse molekulis, molekulide paigutuse kehas.
Selge, et elementaarkehade arvu suurenedes nende vastastikune moju
muutub vaega keeruliseks ja seda analueuesida ei ole lihtne. Fueuesika
on voimeline detailselt kirjeldama vaid suhteliselt lihtsaid struktuure,
keerukamate puhul tuleb rakendada loogilise ekstrapolatsiooni meetodit,
pueuedes ette kujutada, kuidas lihtsaid struktuure valitsevad seadused
kombineeruvad keerukamates struktuurides. See ongi mottetegevus,
motlemine, mida ootan bioloogidelt kui nad asuvad rakendama kaeesolevas
kursuses omandatut oma erialal.
Fueuesikat peetakse tavaliselt matemaatiliseks teaduseks, mis tihtipeale
pohjustab hirmu. See ei ole aga nii. Matemaatiline on vaid ueks teadus –
matemaatika. Loodusteadusi, kaasa-arvatud fueuesikat, on voimalik, isegi
ainuvoimalik, moista ilma matemaatikat rakendamata. Matemaatiline
valemite keel on rakendatav lihtsate seoste luehidaks kirjeldamiseks.
Naeiteks teades, et auto laeheneb kiirusega 50 km/h ja asub praegu
minust 50 m kaugusel saan ma arvutada, et ta jouab minuni
t=s/v=50/(50×1000/3600)=3.6 sekundi paerast. Teades, et ma konnin
kiirusega 5 km/h kulub mul 10 m laiuse taenava ueletamiseks
10/(5×1000/3600)=7.2 s. Ilmselt ei ole otstarbekas taenavaueletamist
alustada, sest jaeaen auto alla just tee keskpaigas. Kas ma aga taenaval
seistes teen need arvutused? Kindlasti mitte, vaid ma kujtlen, kuidas
auto jaetkab oma liikumist, kuidas mina astuks uele tee ja ma naeen
“vaimusilmaga”, kuidas auto soidaks mulle peale. Niisugune kujutlemine
on vaelismaailma modelleerimine mottes, see ongi motlemine. Fueuesika
taeilelikuks moistmiseks ei tohi mitte valemeid ega konspektilehtedel
asetsevaid lauseid endale vaimusilma ette manada, vaid protsesse,
kehasid ja nende liikumisi. Ei ole suur haeda, kui te aatomit voi
molekuli kujutlete teistsugusena kui ta tegelikult on, suurem on haeda
kui te teda ueldse ette ei kujuta. Selge, et suure hulga
aatomite-molekulide liikumise ette kujutamine voib olla raske, aga veel
raskem oleks nende matemaatiline kirjeldamine. Naeiteks
kvantmehaaniliselt on lahendatud vaid kahe keha vastasmoju probleem.
Kolme voi rohkema keha puhul tuleb juba kasutada mitmesuguseid
laehendusvotteid, milles matemaatika ja loogiline ettekujutus poimuvad.
Niisiis, asjade moistmiseks tuleb just neidsamu asju modelleerida, ette
kujutada, mitte aga meelde tuletada valemeid voi lauseid, mis nende
kohta kaeivad. Siit tulebki vahe moistete “tean” ja “moistan” vahel.
“Teatakse” fakte. Tueuepiline naeide on siin maelumaengurite kiired
vastused Jeopardy turniiril. Mnemoturniiril aga antakse aega, ja ilus on
pealtkuulata, kuidas loogilise arutelu, motlemise teel joutakse oige
vastuseni ka siis, kui seda keegi osavotjatest alguses ei tea. Vastus,
mida ei teata, moeldakse vaelja. Oige vastuse vaeljamotlemine igal
elujuhtumil ongi asjade moistmise tunnus. Fueuesikas on heaks moistmise
kontrolliks uelesannete lahendamine. Ilma uelesandeid lahendamata ei ole
te seda fueuesikakursust kindlasti mitte moistnud. Moistmise ja teadmise
dialektika on tihedalt seotud teoreetilise ja eksperimentaalse teaduse
dialektikaga.
Eksperiment ja teooria teaduses.
Me saame oma teadmised loodusest vaatluste ja eksperimentide
tulemustena. Vaatlused, naeiteks astronoomilised voi oekoloogilised, on
looduses iseenesest toimuvate protsesside passivne registreerimine,
jaelgimine. Eksperiment (katse) on aktiivne vahelesegamine
looduslikesse protsessidesse tahtlikult muutes nende toimumise
tingimusi. Eksperiment ja vaatlus annab meile teadmise, mis toimub
teatud objektidega teatud tingimustes. Naeiteks saame teada, et teatud
taeht kiirgab mingi intensiivsusega ja mingi spektraaljaotusega valgust,
voi et bakterirakk kasvab mingi kiirusega. Need on faktid, mis
iseloomustavad ainult ja ainult seda konkreetset situatsiooni milles
katse voi vaatlus tehti. Kui aga on tarvis teada, millal see taeht
(naeit. meie Paeike) plahvatab supernoovana voi kui sageli bakterirakk
pooldub, siis nendest katsetest vastust ei saa. Kuigi bakterite
paljunemise kohta saaks ju teha vastava katse, siis Paeikese plahvatuse
puhul oleks seda hilja vaadelda. Kui me oleme toepoolest moistnud taehe
evolutsiooni ja raku elutsueklit, siis peaksime olema voimelised
teoreetiliselt ette ennustama nii pooldumist kui plahvatust. Ennustada
saab teooria baasil, ekstrapoleerides seda kas ainult loogilise mudeli
voi siis ka matemaatilise mudeli abil. Teooria ongi tegelikult
loodusliku protsessi peegeldus, selle mudel meie motlemises. Teooria on
tunnetuse, moistmise taeiuslikem etapp. Kuidas aga tekib teooria meie
kaesutuses olevate vaatlustulemuste kaudu?
Vaatlused ja eksperimendid esitavad tulemustena teatud fakte, mis on
toesed olukordade tarvis, milles need saadi. Peaks tegema lopmatu palju
eksperimente, et saada vastused moeldavate olukordade kohta, ja ikka
jaeaeks veel lopmatu palju olukordi, mille kohta eksperimenti tehtud ei
ole. Uelaltoodud naeites autoga taehendaks niisugune empiiriline
laehenemine seda, et auto asukoht tuleks moota igal ajahetkel, sest ilma
teooriata kuidagi ei saa ju teada, kus ta saab asuma jaergmise sekundi,
kuemnendiku, sajandiku jne paerast. Kui meil on aga teooria, et auto
liigub uehtlaselt ja sirgjooneliselt kiirusega 50 km/h, siis saame
kindlusega ette ennustada, kus ta saab asuma naeiteks 3.6 sekundi
paerast. Kuidas tekkis aga uehtlase ja sirgjoonelise liikumise
teoreetiline ettekujutus, kas selleks tehti lopmatu palju mootmisi ja
siis ueldistati? Ei, oli vaja moota keha asukoht ja aeg ainult kolmes
punktis ja avastada seaduspaerasus, et vordsete teepikkuste laebimiseks
kulus vordne aeg. Seda seaduspaerasust aga mootmistulemused meile ette
ei uetle, see tuleb endal avastada tulemusi analueuesides. Siin
avaldubki eksperimentaalse ja teoreetilise teadusliku tunnetuse
dialektika: uehelt poolt baseerub teooria eksperimentide tulemustel,
teiselt poolt ei ole olemas reeglit ega seadustpaera, mille jaergi
eksperimentide tulemuste pohjal luua teooria. Teooria on niisugune
loogiline (matemaatiline) protsessi mudel, mis rahuldab koiki
olemasolevaid eksperimenditulemusi. Teooriat voib luua ka siis, kui on
olemas kas voi ueksainus eksperiment, aga tavaliselt ei ole see teooria
siis voimeline rahuldama teise eksperimendi tulemust (ei lange sellega
kokku). Mida rohkem on eksperimente, mida antud teooria rahuldab, seda
toenaeosem on, et ta rahuldab ka uusi, veel tegemata eksperimente,
seega, on voimeline tulemusi oigesti ette ennustama. Teooria, mis
rahuldab paljude eksperimentide tulemusi, ei tulene aga ueldse nendest
eksperimentidest, vaid on omaette soltumatu loogiline mudel, mis suennib
mottetoeoe tulemusena. Tavaliselt arvatakse, et teadlastel on mingi
eriline intuitsioon, mis aitab neil leida oiget teooriat. Naeiteks,
kuidas kuell Mendelejev taipas, et elemendid grupeeruvad perioodiliselt
kaheksa kaupa? Kuidas kuell Einstein tuli mottele, et kahe liikuva keha
kiiruste liitumisel summaarne kiirus ei saa ueletada valguse kiirust?
Darwin naegi ainult liikide loputut mitmekesisust, kuid kuidas ta
seletas seda loodusliku valiku tulemusena? Tegelikult ei ole mingit
erilist intuitsiooni, vaid loputu pingeline mottetoeoe. Tuleb laebi
moelda ja loogiliselt kaeivitada palju erinevaid mudeleid, millest
suurem osa ei rahulda monda eksperimenti ja tuleb seega korvale heita,
kuni leitakse ueks voi isegi mitu mudelit, mis rahuldavad koiki
teadaolevaid eksperimente. Muide, mone teooria loomise puhul on
juhtunud, et ueks voi paar eksperimenti kangekaelselt ei sobi sellesse,
sel ajal kui uelejaeaenud koik sobivad. Siis voib tosta ka kuesimuse
nende eksperimentide korrektsuse kohta. Siit tuleneb veel ueks
tagasiside eksperimendi ja teooria vahel: eksperiment ei ole mitte
ainult alus teooria kontrolliks, vaid teooria voib kontrollida ka
eksperimendi korrektsust. Muidugi, nii nagu malemaengugi puhul, head
maengijad ei vaagi kaugeltki koiki voimalikke kaeike vaid valivad
kiiresti koige perspektiivikamad, sellega kompuutermaletajast erinedes,
niisamuti head teadlased ei vaagi kaugeltki mitte koiki voimalikke
teooria variante vaid valivad kiiresti perspektiivikamad. Selles ehk
vaeljendubki “intuitsioon”, mis tegelikult on kogemus ja eelteadmised.
Matemaatiline ja loogiline teooria
Teooria on maailmapilt, mis kaeivitub meie motlemises. Motlemise tugev
kuelg on suhteliselt keerukate suesteemide kiire kvalitatiivne
analueues. Kui hinnata tuleb aga kvantitatiivseid suurusi, siis jaeaeb
motlemine uesna varsti jaenni ja kutsub appi matemaatika. Matemaatilised
valemid ei ole midagi muud kui luehidalt kirjapandud reeglid numbriliste
suurustega opereerimiseks, seega kvantitatiivseks mudeli (teooria)
analueuesiks. Uehe ja sellesama valemiga voib kirjeldada vaega erinevaid
protsesse, mis on oma kaeitumiselt sarnased, kuigi sisult taeiesti
erinevad. Seega on vajalike matemaatiliste valemite arv tunduvalt
vaeiksem kui analueuesitavate protsesside arv. Vaatleme jaergnevas
peamisi matemaatiliste avaldiste tueuepe, mis kursuses kaesitletavate
fueuesikaliste protsesside analueuesil ette voivad tulla.
Funktsioonid
kirjeldab naeit. radioaktiivselt lagunevate tuumade arvu,
valguskvantide arvu vaehenemist neelavat keskkonda laebides,
kondensaatori laeng tuehjenemist laebi takisti, edukate ueliopilaste
arvu kahanemist oppeaja jooksul.
Joonistada graafikud.
Diferentsiaalvorrandid
. Astmefunktsiooni integreerimise reeglid toome allpool.
Vaega tihti on tegu jaergmise diferentsiaalvorrandiga, mis baseerub
teadmisel, et suuruse A muutumise kiirus (ajas) on vordeline suuruse A
enesega. Nii on see naeit. vedeliku vaeljavoolamisel reservuaarist,
elektimahtuvuse tuehjenemisel, radioaktiivse aine lagunemisel,
valguskvantide liikumisel laebi neelava aine, kus
;
Siit edasi
,
millest
Nagu panite taehele, integreerimiskonstant kirjutati seekord logaritmi
kujul, lnA0 , et muutuse alguspunkt viia sisse suhtena, mitte vahena
lopp-punkti suhtes. Viimase valemi voib kirjutada ka kujul
.
kus ?=1/k. Need valemid kujutavad eksponentsiaalseid protsesse ja ? on
nn. eksponendi tegur (antud juhul ajategur), k aga on kiiruskonstant.
Aja ? moeoedudes on eksponentsiaalselt kahanev protsess vaehenenud
suhtes e-1=0.368. Kahe ajateguri moeoedudes e-2 = 0.135 ja e-3=0.050.
Seega, eksponentsiaalsete protsesside praktilise loppemiseni kulub
vaehemalt 3? kuni 5?.
Kui diferentsiaalvorrand naeitab, et suurus mitte ei kahane, vaid kasvab
iseendaga vordeliselt, saame samasuguse eksponentsiaalse lahendi, aga
positiivse astendajaga. Nii kirjeldub naeiteks populatsiooni (bakterite
koloonia) kasv, taime kasv, majanduse (kapitali) kasv etc. Aja t asemel
voib esineda ka teepikkus, naeiteks kui valguskvandid laebivad neelavat
ainet voi juhuslikult asetatud neelavaid objekte (taimkatte lehestik).
Siis konstant k naeitab valguse (voi radioaktiivse kiirguse) norgenemist
teepikkuse uehiku kohta.
Joonistada eksponentsiaalsete muutuste graafikud.
Kui esimest jaerku diferentsiaalvorrand sidus omavahel argumendi ja
funktsiooni muutumise kiirusi (esimest jaerku tuletisi), siis teist
jaerku diferentsiaalvorrand seob omavahel argumendi ja funktsiooni
muutumise muutumise kiirusi (teist jaerku tuletisi). Teist jaerku
diferentsiaalvorrandi naeiteks on vonkumiste vorrand, mis baseerub
teadmisel, et pendlit (voi vedru) tagasitombav joud on vordeline
haelbega tasakaaluseisust A. Kuna joud pohjustab kiirenduse, ehk kiiruse
muutumise, siis vaeidab see vorrand, et vonkuva massi kiiruse muutumise
kiirus (kiirendus) on vordeline haelbega tasakaaluseisust ja suunatud
tasakaaluseisu poole:
? vaeljendub jaergmiselt:
Selleks, et maeaerata, missuguses siinuse punktis asub lahend teatud
ajahetkel, on lisaks vorrandi lahendiks olevale siinusfunktsioonile
tarvis teada juba kahte algtingimust: algkoordinaati, millest liikumine
algab ja liikumise algsuunda, kas tasakaalupunkti poole voi sellest
eemale.
INTEGRAALID
Integraali on lihtne leida kui v(t) on astmefunktsioon (antud juhul
esimese astme funktsioon). Reegel on jaergmine:
;
Maeaeramatud ja maeaeratud integraalid
Uelaltoodud reeglid voimaldavad leida integraali funktsionaalse kuju,
kuid selle tegeliku vaeaertuse arvutamiseks tuleb teada, missugusest
integreeritava funktsiooni vaeaertusest summeerimist alustati ja
missuguse vaeaertuse juures lopetati. Poeoerdume kiireneva liikumise
naeite juurde tagasi ja kuesime, kui pika tee laebis keha alates
ajahetkest t1 ja lopetaes ajahetkega t2? Seda arvutatakse nii, et
leitakse maeaeramatu integraali vaeaertus uelemisel rajal t2 ja
lahutatakse sellest maeaeramatu integraali vaeaertus alumisel rajal t1:
iga aja t jaoks, sest x1=0.
Kursuse jooksul kasutame integreerimist lisaks ebauehtlase kiirusega
liikumisel laebitava teepikkuse arvutamisele veel naeiteks aatomituuma
uembritseva elektrivaelja potentsiaalse energia arvutamiseks ja gaasi
paisumisel tehtava toeoe arvutamiseks.
Kinemaatika pohimoisted
Nagu oeeldud, fueuesika on teadus mis kaesitleb kehade liikumist.
Selleks aga tuleb defineerida liikumist kirjeldavad suurused ehk
parameetrid, mis on: asukoht (koordinaadid), kiirus, kiirendus.
Asukoht (koodinaadid).
Keha asendi ja selle muutuste (liikumise) kvantitatiivseks
kirjeldamiseks kasutatakse ruumikoordinaate. Koordinaadid on arvud, mis
maeaeravad keha kauguse mingitest kindlaksmaeaeratud kohtaest,
koordinaat-telgedest. Kolmemootmelises ruumis on asendi maearamiseks
vajalik kolm arvu (koordinaati), kahemootmelises (tasapinnal) kaks ja
uehemootmelises (joonel) uksainus arv. Analoogiat edasi arendades saab
ette kujutada ka enama kui kolemootmelisi ruume, naeiteks vottes
neljanda mootmena kasutusele aja, aga kui tarvis, veel teisi muutuvaid
parameetreid. Sejuures on taehtis, et juurdetoodavad muutujad ei oleks
seoste kaudu tuletatavad olemasolevatest, vaid oleksid taeiesti
soltumatud, ortogonaalsed (piltlikult oleksid koik teljed ueksteisega
risti, kuigi neid voib olle palju rohkem kui kolm).
Koige sagedamini kasutatav koordinaat-teljestik on sirgete ristiolevate
telgedega nn. ristkoordid e. Cartesiuse koordinaadid. Selles teljestikus
maeaeratakse keha asukoht kolme kauguse kaudu: esiteks liikudes piki
x-telge, siis ristisuunas piki y-telge ja lopuks ristisuunas piki
z-telge. Kaugused x, y ja z kokkuleppelisest nullpunktist ongi keha
riskoordinaadid. Riskoordinaadistikku kasutatakse naeiteks USA-s linnade
planeerimisel, kus ‘streedid’ ja ‘avenue’d on ueksteisega risti ja
nummerdatud kasvavas jaerjekorras alates linna keskpunktist.
Positiivsete ja negatiivsete vaeaertuste asemel kasutatakse ‘North’,
‘South’, East’ ja ‘West’ lisandeid.
??(teeta), mis maeaerab erinevuse vertikaalsihist ja teine on nurk ?,
mis maearab erinevuse kokkuleppelisest horisontaalsihist.
Polaarkoordinaate kasutatakse geograafias, kus ‘pohjalaius’ on
sisuliselt 90°-? ja idapikkus on ???Kuna maeaeratavad punktid asuvad
koik Maa pinnal, siis raadius oleks koigi jaoks umbes 6000 km ja see
jaeetakse kirjutamata. Maapinna kohal ohus voi maa sees olevate punktide
koordinaatidele tuleks aga raadiuse vaeaertus juurde lisada.
Polaarkoordinaate allpool naeiteks elektroni orbitaalide
kvantmehaaniliseks kirjeldamiseks vesiniku aatomis.
Liikumine, kiirus
Liikumine on keha asukoha (koordinaatide) muutumine ajas. Lihtsaim on
uehtlane sirgjooneline liikumine: konstantsed on kiiruse
absoluutvaeaertus ja suund.
Kiirus (v) on fueuesikaline suurus, mida moodetakse ajauehikus laebitud
teepikkusega. Teepikkus ?s on kahe asukoha vahekaugus. Kolmemootmelises
ruumis avaldub teepikkus alg ja lopp-punkti koordinaatide kaudu
jaergmiselt
(1.1)
Pikkuse (teepikkuse) uehikuks on meeter, m. Meeter on ligilaehedaselt
1/40000000 Maa uembermootu, kuid taepne uehik on kokkuleppeline ja oli
pikemat aega defineeritud kui kahe peene kriipsu vahe plaatina-iriidiumi
sulamist siinil, mida hoiti Pariisi laehedal, nueued aga on meeter
seotud teatud aine aatomite poolt kiiratava valguse lainepikkusega.
Meeter on ueks kolmest pohiuehikust ja teda ei saa tuletada teiste
uehikute kaudu.
Kiirus
(1.2)
Viimased valemid seovad omavahel kiiruse, teepikkuse ja aja. Aja
uehikuks on sekund, s. Sekund on ligilaehedaselt 1/(365.25x24x60x60)
keskmise astronoomilise oeoepaeeva pikkusest, kuid tema taepne vaeaertus
on praegu seotud teatud aine poolt kiiratava valguse vonkeperioodiga.
Sekund on ueks kolmest pohiuehikust ja teda ei saa tuletada teiste
uehikute kaudu. Naeiteks kiiruse uehik on m/s ehk m s-1 ja see on
tuletatud pohiuehikutest. Suurem osa tuletatud uehikuid on seotud
pohiuehikutega andes viimastele vaeaertuse 1.
Ebauehtlase liikumise kiirendus (a) on fueuesikaline suurus, mida
moodetakse kiiruse muutusega ajauehikus. Sirgjoonelise liikumise
kiirendus on kiiruse muutumise kiirus, seega teine tuletis teepikkuse
muutumisest:
(1.3)
Ka kiirendus on vektor, s.t., valem (1.3) kehtib sx, sy ja sz suhtes
eraldi. Kiirenduse uehik on m s-1 s-1 = m s-2 (loe: meeter sekundis
sekundis).
Kiirendusega liikumise kiirus
(1.4)
kui alghetkel kiirus ei olnud mitte null vaid v0.
Kiirendusega liikumisel laebitud teepikkus, kui aega hakkame lugema
nullist (integraali alumine rada on null ja arvutada tuleb ainult
uelemine rada):
(1.5)
(1.4)
Juhul, kui algkiirus on null, siis
, (1.5)
kust leiame aja, mis kulub teepikkuse s laebimiseks:
(1.6)
ja kiiruse v, mis saavutatakse teepikkuse s laebimisel
(1.7)
Maa raskuskiirendus on g=9.81 m s-2 ja see maeaerab vabalt langevate
kehade liikumise kiirenduse.
Uelesanded: Kuidas maeaerata torni korgust ampermeetri ja stopperi abil?
Kui suure algkiirusega peab pumpama vett, et purskkaevu juga kerkiks 30
m korgusele?
Kui korgele ja kui kaugele ulatub sama juga kui see suunata 45 kraadi
all kaldu?
Kuidas peab piloot juhtima lennukit, et kabiinis tekiks kaaluta olek?
Vaehemalt kui suure algkiirusega peab toimuma kaugushueppaja aeratouge
ja missuguse nurga all tuleb see suunata, et puestitada uus
maailmarekord (oletame, et praegune maailmarekord on 9 m)?
Ringikujulisel (elliptilisel) trajektooril liikuvate kehade orbiidi
leidmiseks tutvume koverjoonelise liikumise kiirendusega, millest
lihtsaim on ringjooneline liikumine.
Koverjoonelise (ringjoonelise) liikumise tangentsiaal-
(puutujasuunaline) kiirus
? on tiirlemisperiood ja ? on tiirlemissagedus. Ristikiirendus
(1.9)
kus ??on nurk-kiirus. Nurkkiirust moodetakse poeoerdenurga suurenemise
kiiruse kaudu, uehik on radiaan sekundis. Taeisring on 2? radiaani,
seega ueks tiir sekundis taehendab nurkkiirust 2? radiaani sekundis.
Duenaamika pohimoisted ja seadused: joud, impulss, toeoe, energia
Newtoni esimene seadus (ka Galilei seadus, inertsiseadus): Iga keha
liigub uehtlaselt ja sirgjooneliselt seni kuni teiste kehade moju (joud)
ei pohjusta selle seisundi (kiiruse) muutumist.
Uehtlane ja sirgjooneline liikumine on voimalik ainult avakosmoses vaega
kaugel taevakehadest. Maa pinnal on koik kehad gravitatsioonivaelja
mojusfaeaeris ja neile mojub Maa kuelgetombejoud. Demonstratsioonkatseks
on mojudeta liikumisele ligilahedane teraskuuli veeremine horisontaalsel
peegelpinnal, kus raskusjoud on liikumisega risti ja hoordumisjoud on
minimaalne. Ka piljardikuulid liiguvad kuellatki uehtlaselt ja
sirgjooneliselt kuni porkumiseni.
Newtoni teine seadus: Liikumise muutumise kiirus (kiirendus) on
vordeline rakendatud jouga ja toimub jou suunas.
(2.1)
kus f on joud, m on keha mass ja a on kiirendus. Vordetegur, mis seob
kiirenduse jouga on poeoerdvordeline keha massiga, s.t. ueks ja seesama
joud pohjustab seda suurema kiirenduse mida vaeiksem on keha mass. Joud
f ja kiirendus a on vektorid (suunaga suurused), m on skaalar (suunata
suurus). Massi uehik on kilogramm (kg). Ueks kilogramm on
ligilaehedaselt uehe dm3 puhta vee mass, kuid taepne massi etaloon on
plaatina-iriidiumi sulamist metallkeha, mis on hoiul Pariisi laehedal.
Kilogramm on seega ueks kolmest pohiuehikust, mille suurus on
kokkuleppeline ja mida ei saa tuletada teiste uehikute kaudu. Tuletatud
uehiku naeiteks on jou uehik: ueks njuuton (N) on joud, mis annab
massile ueks kilogramm kiirenduse ueks m s-2
Mass: kaal ja inerts
Massil on kaks omadust: inerts ja gravitatsioon. Huvitaval kombel on
need kaks omadust alati vordelised ja massi suurust saab maeaerata nii
uehe kui teise kaudu. Kaalumine on massi mootmise viis gravitatsioonijou
kaudu. Mitu N kaalub keha massiga 1 kg? Kaal on raskusjoud, millega Maa
tombab keha. Raskusjoud annab massile 1 kg kiirenduse 9.8 m s-2, sel
ajal kui 1 N annab kiirenduse vaid 1 m s-2. Seega, mass 1 kg kaalub 9.8
N. Sama mass 1 kg kaaluks Kuu peal umbes kuus korda vaehem, seega umbes
1.6 N. Keha kaal soltub ka asukohast Maal (ekvaatoril on Maa
poeoerlemisest tulenev tsentrifugaaljoud suurem ja see vaehendab kaalu).
Kaalu vaehendab ka ohu ueleslueke. Seega, ueks kilogramm udusulgi kaalub
vaehem kui 1 kg rauda, kui ei arvestata ohu uelesluekke parandit. See
parand on seda suurem, mida laehdasemad on kaalutava keha ja ohu
tihedused, kuni selleni, et vesinikuga taeidetud ohupall omab
negatiivset kaalu. Oige kaalu maeaeramine oleks ohu ueleslueket
arvestades, kuid praktikas, kui on tegu tahkete ainete voi vedelikega,
on selle taehtsus suhteliselt vaeike. Kui kuesite poest uehe kg leiba,
siis soovite te toepoolest leiva massi, mitte selle kaalu. Seega
kuesimine kilogrammides ja mitte njuutonites on fueuesikaliselt oige.
Kui mueueja kaalub leiva vedrukaaluga, siis saab ta tulemuse njuutonites
ja see soltub laiuskraadist. Kui aga kasutatakse kangkaalu, siis
vorreldakse omavahel kaalutavat keha kaalupommide massiga ja tulemus ei
soltu laiuskraadist.
. Kui esimene keha mojutab teist jouga f siis teine keha mojutab
esimest jouga –f. Klassikaline naeide: paadist kaldale huepates toukate
paati kaldast eemale. Kumb aga liigub kiiremini, teie voi paat?
Kahe keha vastasmojul saavad molemad kiirenduse poeoerdvordeliselt nende
kehade massiga:
(2.2)
Newtoni kolmandal seadusel pohineb rakettmootori toeoe. Igal ajamomendil
paiskab reaktiivmootor suhteliselt vaeikest kuetuse massi suure
kiirendusega tahapoole, selle tulemusena liigub rakett kui suurem mass
vaeiksema kiirendusega vastassuunas. Protsess on pidev seni kuni mootor
toeoetab ja kuna kiirendus mojub molemale, nii raketile kui kuetusele
vordse aja jooksul, siis loppkokkuvottes suhtuvad ka raketi ja ruumi
vaeljapaisatud kuetusemassi kiirused nii nagu valem (2.2) naeitab
kiirenduste kohta. Kui naeiteks raketi ja kuetuse massid on vordsed,
siis on lopuks vordsed ja vastassuunalised ka nende kiirused. Erinevus
raketi ja ruumipaisatud kuetuse vahel on aga selles, et rakett kui tahke
keha omab uehte kindlat kiirust, kuetuse polemisprodukt aga on gaasiline
ja valem (2.2) kehtib selle ruumilise massikeskme kohta.
, kus m1 on linnu ja m2 tiibade all liikuma pandud ohu mass ning a on
viimasele antud kiirendus.
Uelesanne: Selgitada, mis uehist on lennuki reaktiivmootoril,
propellermootoril, lendamisel tiivalehvitamisega ja planeerimisel.
Ueks taehtsamaid kiirendusest tulenevaid joude on kesktombejoud ja
kesktoukejoud ringlikumisel, mis on vordsed javastassuunalised. Keha
liigub ringikujulist trajektoori moeoeda taenu joule, mis tombab teda
keskpunkti suunas. Kesktombejoud voib olla gravitatsioon (Maa tiirlemine
uekber Paeikese), elektromagnetiline (elektroni tiirlemine uember tuuma)
voi mehaaniline (noeoer mis uehendab lingukivi kaeega,
tsentrifugaalpumba korpus, mis suunab vedeliku ringtrajektoorile, aga
ega nedes kehadeski esine loppkokkuvottes muud kui elektromagnetilised
joud). Kesktoukejoud tekib keha inersti tottu, tema pueuedest likuda
sirgjooneliselt puutujat moeoeda. Kesktoukejoud ringliikumisel avaldub
jaergmiselt
.
kus ? on nurkkiirus. Nurkkiirus seostub lineaarkiirusega jaergmiselt:
, seega
Kui suur on 100 kg-se mehe kaaluvahe poolusel ja ekvaatoril? Maakera
raadius on 6000 km. Nurkkiirus on 2?/(24×3600) = 7.27×10-5 radiaani
sekundis. Asendades need vaertused valemisse (??) saame
f=100x(7.27×10-5)2x6x106 = 100×52.8×10-10x6x106= 3.168 N. Poolusel
kaalub 100 kg 981 N. Suhteline kaalu kahanemine on 3.17/981=0.0032 ehk
0.32%. Meie laiuskraadil ja ekvaatoril on see suhe veel umbes poole
vaeiksem.
Tsentrifugaaljou praktilisi rakendusi: tsentrifugaalpumbad ja
ventilaatorid. Kuidas muutub ventilaatori ja tsentrifugaalpumba
arendatav rohk mootori poeoeretest?
Liikumise hulk ehk impulss.
Suurust mv nimetatakse liikumise hulgaks ehk impulsiks. Impulsi muutus
on vordeline jouga ja selle mojumise ajaga ning toimub jou suunas.
Impulsi jaeaevus liikuvate kehade vastasmojudes on energia jaeaevuse
korval ueks looduse pohiseadusi. Naeiteks kahe piljardikuuli porkel voi
kahe gaasimolekuli porkel
Impulsi muutus kehade vastasmojul on vordne ja vastassuunaline,
suesteemi summaarne impulss on konstantne. Impulsi moistet kasutame
allpool gaaside rohu arvutamisel.
Toeoe ja energia.
Toeoe on fueuesikaline suurus, mida moodetakse jou ja jou suunas
laebitud teepikkuse korrutisega
Toeoe uehik on Dzhaul (Joule), [J] = [N]x[m]. Dzhaul on toeoe, mida teeb
joud ueks njuuton uehe meetri pikkusel teel. Toeoed tehakse siis, kui
liigutatakse mingit keha avaldades sellele joudu. Naeiteks, tostes 50 kg
viljakotti maast 1m korgusele vankrile tehakse toeoe mis vordub koti
kaal (njuutonites !) korda vankri korgus, 50×9.8×1=490 J. Kui vesi
langeb 20 m korguses joas kaeivitades turbiini, siis iga kg vett teeb
toeoed 20×9.8=295 J.
Kui joud on teepikkuse (koordinaadi) funktsioon (on muutuv soltuvalt
asukohast), siis tuleb rakendada integreerimist. Integreerida voib
liikumise ja jou kui vektori komponente kolme koordinaadi suunas eraldi
Tueuepiline muutuva jou poolt tehtud toeoe arvutus on seotud keha
asukoha muutusega teise keha gravitatsiooni- voi elektrivaeljas.
Naeiteks, Newtoni gravitatsiooniseadus vaeidab, et kahe keha vahel mojub
gravitatsioonijoud, mis on vordeline nende kehade masside korrutisega ja
poeoerdvordeline nedevahelise kauguse ruuduga:
Elementaartoeoe, mida tehakse selleks, et suurendada kehade vahelist
kaugust dx vorra oleks
ja liikumisel uele mingi pikema vahemiku tehtud toeoe oleks
Kui teepikkus on maeaeratud, tuleb integraal votta radades liikumise
algpunktist lopp-punkti. Valem ??? naeitab, et kui kahe keha vaheline
joud kahaneb kauguse suurenedes poeoerdvordeliselt kauguse ruuduga, siis
tehtud toeoe kasvab kauguse kasvades poeoerdvordeliselt kaugusega.
Tombuvate kehade vahelise kauguse suurendamiseks tuleb teha vaelist
toeoed, kui kehad laehenevad, siis nad teevad ise toeoed. Toukuvate
kehade, naeiteks samanimeliste laengute vahel, on olukord vastupidine:
toukuvate kehade laehendamiseks tuleb teha vaelist toeoed, kui need
kehad eemalduvad teineteisest, siis nad teevad ise toeoed. Viimase juhu
naeiteks oleks aatomite laehenemine, kus vaelise elektronkihi elektronid
toukuvad ueksteise elektrivaeljas. Tahkete kehade kokkupuude ja
hoordumine ongi vaeliste elektronkihtide toukumine, tegelikku
fueuesilist kokkupuudet ei esine kunagi.
Voimsus on fueuesikaline suurus, mida moodetakse ajauehikus tehtud toeoe
hulgaga.
Voimsust kasutatakse naeit. mootorite ja kuettekehade hindamisel,
teadmaks kui palju toeoed need suudavad ajauehikus teha. Voimsuse uehik
on Watt [W] = [J] [s]-1 ueks Dzhaul sekundis. Elektripirnide tarbitav
voimsus on naeiteks 40 – 100 W, elektripliit 600 – 2000W, automootor 50
– 100 kW. Elektrienergia hulga mootmiseks kasutatakse uehikut
kilovatt-tund (kWh), see on toeoe, mida teeb voimsus 1 kW uehe tunni =
3600 s jooksul. Ueks kWh = 1000 J s-1 x 3600 s = 3600000 J = 3600 kJ.
Energia on keha voime teha toeoed.
Energiat on kahte liiki, liikuva keha kineetiline energia ja jouvaeljas
asuva keha potentsiaalne energia. Energia jaeaevuse seadus on looduse
pohiseadus: Energia ei teki ega kao, vaid muundub uehest vormist teise.
Seega, looduses toimub kineetilise energia muundumine potentsiaalseks ja
potentsiaalse energia muundumine kineetiliseks.
Liikuva keha kineetiline energia. Arvutame, kui palju toeoed tuleb teha,
et keha (massiga m) kiirust suurendada paigalseisust kuni vaeaertuseni
v. See toeoe moodustabki likuva keha kineetilise energia.
Kui suur aga on teepikkus s mille lopuks saavutatakse kiirus v? Kasutame
seost (1.7)
, asendame selle ja saame
Nueued on selge, et
Kineetiline energia on voime teha toeoed. Liikuva keha peatumisel voib
ta enese ees luekata teist keha mojudes sellele jouga ja tehes toeoed.
Kui auto soidab vastu puud, siis auto kineetiline energia liigutab
plekke paigast ja murrab soitjate luid. Taehelepanu, et auto kiiruse
suurenemisel kaks korda suureneb kineetiline energia neli korda!
Niisugustel deformeerivatel porgetel muutub kineetiline energia
peamiselt molekulide soojusenergiaks. Kineetiline energia muutub
potentsiaalseks energiaks kui liikuvat keha peatab jouvaeli, naeiteks
kui viskame kivi uelespoole. Gravitatsioonivaelja joud peatab lopuks
kivi liikumise, kuid kivi kineetiline energia on muundunud tema
potentsiaalseks energiaks. Sama juhtub elektronidega, kui nad saavad
lisaks kineetilist energiat (naeiteks aatomite porgetel voi valguse
neeldumisel): nad liiguvad tuumast kaugemale.
Jouvaeljas asetseva keha potentsiaalne energia.Vaatleme esialgu
gravitatsioonivaelja maapinna laehedal. Arvutame, kui palju toeoed tuleb
teha keha (massiga m) tostmiseks korgusele h.
Gravitatsioonivaeli ja elektrivaeli on nn. potentsiaalsed vaeljad, kus
keha potentsiaalse energia muutus soltub ainult alg-ja loppasukohast,
mitte aga vahepealse liikumise trajektoorist. Tehtud toeoe on sama,
uekskoik millist rada moeoeda liigutakse samade alg- ja lopp-punktide
vahel. Vabal inertsel liikumisel jouvaeljas (ilma vaelismojudeta)
potentsiaalne ja kineetiline energia pidevalt muunduvad teineteiseks,
nii et summaarne energia on kogu aeg sama:
Naeiteks korguselt h kukkuva keha kiiruse leiame teades et kukkumise
lopuks
Uelesvisatava kivi maksimaalkorguse voime samuti leida tema algenergia
(algkiiruse) kaudu.
Kineetilise ja potentsiaalse energia muundumine toimub ka
lihastetoeoes. Naeiteks voib teoreetiliselt arvutada, kui korgele saab
huepata kirp, kelle kehas keskmine ATP kontsentratsioon on 0.1 mM,
eeldades, et ATP keemiline energia koik muutub hueppel kineetiliseks
energiaks.
Eelmised uelesanded on lihtsad, sest uelesvisatud keha korgus muutub
suhteliselt Maa raadiusega sedavord vaehe, et rakusjoudu saab lugeda
konstantseks. Kui aga kaugus muutub suhteliselt palju, naeiteks nagu
kosmoselendudel, voi nagu elektroni kaugus muutub tuuma suhtes, siis ei
saa ei gravitatsiooni- ega elektrivaelja joudu enam konstantseks lugeda
vaid toeoe (energia) arvutamisel tuleb arvestada, et joud muutub koos
kaugusega.
Joudude tasakaal, kiirus ja energia ringjoonelisel tiirlemisel.
Looduses asuvad koik kehad ueksteise jouvaeljades, suuremad kehad
gravitatsioonivaeljas, vaeikeste kehade puhul on oluline elektrivaeli.
Ometi ei kuku tombuvad kehad ueksteise peale, sest sellisel juhul oleks
kogu Universum ammu kokku kukkunud, elektronid oleksid kukkunud
aatomituumadesse ja planeedid nende Paeikestesse. Loodust stabiliseerib
see, et kehad tiirlevad ueksteise uember, nii et kesktombejoud ja
kesktoukejoud on vordsed ja radiaalsuunalist kiirendust (joudu) ei
esine. Kasutades fueuesikast teadaolevaid valemeid gravitatsioonilise
(elektrilise) kesktombejou ja inertsiaalse kesktoukejou kohta saab nende
tasakaalutingimustest tuletada naeiteks kui suur on tiirleva keha
potentsiaalne, kineetiline ja summaarne energia.
Molemad, nii elektrivaelja kui ka gravitatsioonivaelja tugevus (mojuv
joud) kirjelduvad uehe ja sellesama seadusega:
kus m on keha mass, e on keha laeng (indeksid naeitavad esimese ja teise
keha oma eraldi), r on nendevaheline kaugus ka konstant k maeaerab seose
kasutatava uehikute suesteemiga. Kui masse moodetakse kilogrammides,
siis gravitatsioonijou saamiseks Njuutonites omab gravitatsioonikonstant
kg vaeaertust ????. Kui laenguid moodetakse Coulombides (Kulonites, C)
siis elektrostaatilise tombejou saamiseks Njuutonites
elektrivaeljakonstant ke omab vaeaertust ????.
Muide, selles, et need konstandid ei oma vaeaertust 1, vaeljendub
fueuesikalise mootuehikute suesteemi ajalooliselt kujunenud
ebajaerjekindlus. Suesteemselt oige oleks olnud massiuehikuks votta
niisugune mass, mis teist samasugust tombab uehe pikkusuehiku kauguselt
uehikulise jouga. Seesama uehikuline joud aga peab andma uehikulisele
massile ka uehikulise kiirenduse. Et see aga nii tuleks, peaks nii
massi, pikkuse kui ajauehikut vastavalt muutma. Praegused pohiuehikud ei
ole ueldse seotud gravitatsiooniseadusega. Samasugune on lugu
elektrilaenguuehikutega. Formaalselt peaks laenguuehik Coulomb (Kulon)
olema defineeritud kui laeng mis tombab teist samasuurt vastasmaergilist
laengut pikkusuehiku kauguselt uehikulise jouga. Tegelikult on aga
Coulomb defineeritud hoopis magnetvaelja kaudu: Coulomb on laeng, mis
liikudes uehe sekundi jooksul laebi 1 m pikkuse traadi mojutab teist
samasugust traati, milles voolab niisama tugev vool, 1 m kauguselt jouga
1 N. See definitsioon baseerub magnetvaeljal, mis on liikuvate laengute
uember ruumis. Elektrivaelja joud avaldub nueued aga uelaltoodud
kaliibrimiskonstandi kaudu.
Leiame keha (laengu) potentsiaalse energia tsentraalsuemmeetrilises
gravitatsiooni- (elektri-) vaeljas. Kuna joud on tugevasti kaugusest
soltuv, siis tuleb kindlasti rakendada integreerimist. Laengu liikumisel
elektrivaeljas vaega luehikesel teepikkusel tehtud toeoe on
kus liikumise teepikkust taehistame seekod raadiuse (kugus tsentrist)
muutusena dr. Kui laeng liigub raadiuselt r1 raadiusele r2, peame
integreerima vastavates radades:
, st. elektron laeheneb tuumale lopmatu kaugelt, siis tema
potentsiaalne energia on alguses null ja kahaneb lopuks vaeaertusele
Kuna see energia kuhugi kaduda ei saa, siis muutub ta elektroni
liikumise kineetiliseks energiaks, st., laehenedes tuumale elektron
liigub kiirenevalt, nii nagu naeiteks asteroid liigub kiirenevalt
laehenedes Maa pinnale. Vahe on siiski selles, et elektron ei lange
kunagi tuumale, vaid jaeaeb tiirlema mingil kaugusel uember tuuma.
Tiirlemise kaugus (raadius, on maeaeratud sellega, millal elektriline
tombejoud vordub inertsiaalse kesktoukejouga. Matemaatiliselt avaldub
see tingimus jaergmiselt:
Selle valemi vasak pool on varasemast tuttav kesktoukejou valem keha
massiga m ringliikumisel joonkiirusega v uember tsentri kaugusel r.
Valemi parem pool on elektrostaatilise tombejou valem, kuid siin on juba
arvestatud, et aatomis positiivne ja negatiivne laeng on vordsed,
molemad vaeaertusega e.
Eelmisest valemist saab leida raadiuse, mille saab siduda nii elektroni
kiiruse kui tema kineetilise energiaga:
voi
Uember tuuma tiirleva elektroni kineetiline energia kasvab kui elektron
laeheneb tuumale (r kahaneb). Tuletame meelde, et potentsiaalne energia
samal ajal kahanes:
,
ja summaarne energia
Elektroni summaarne energia kahaneb kui elektron asub tiirlema orbiidile
mis on tuumale laehemal. Kuhu see energiavahe siis laeheb, millisesse
vormi muutub (kaduda ju ei saa)?
See energiavahe peab aatomist eralduma ja seda ta ka teeb, kas
valguskvandi kujul, voi kandub uele monele naaberaatomile, tostes selle
elektroni vastavalt korgemale energianivoole, voi eraldub soojusena,
s.o. muutub aatomi translatoorseks (kulgevaks) liikumiseks. Niisugune
elektronide ja tuuma vahelise kauguse muutumine, elektronide tiirlemine
erineva raadiusega orbiitidel, on peamine keemiliste ainete siseenergia,
keemilise energia olemus. Ained, mille molekulides elektronid tiirlevad
tuumadest kaugemal, on energiarikkamad ja voivad seda vabastada kui
keemilise reaktsiooni tulemusena toimuvad muutused, mille tulemusena
elektronid saavad tuumadele laehemale asuda. Bioloogiliste protsesside
energeetika on samadel alustel: fotosuenteesis tostetakse elektron
valguskvandi abil korgemale energianivoole, tuumast kaugemale orbiidile,
ja metabolismi kaeigus ta jaerkjaergult laeheneb tuumale, vabastades
niimoodi kvandi poolt talle antud energia.
Kas aga elektronid saavad tiirelda uember tuuma igasugustel kaugustel?
Kui see nii oleks, voiks ju vabastada vaega suuri keemilise siseenegia
koguseid lubades elektronil asuda tuumale vaega-vaega laehedale (lastes
raadiuse nulli laehedale). Toepoolest, klassikaline fueuesika seda
lubaks, kuid tegelikkuses seda ei juhtu. Siin tulevad sisse
kvantmehaanilised piirangud, mis klassikalise fueuesika abil ei seletu.
Jaergnevas tutvumegi atomaarse kvantteooria pohialustega.
BOHRI AATOMIMUDEL
Eelmises loigus tuletasime valemid, mis kirjeldavad uember tuuma
tiirleva elektroni kiirust ja energiat. Igale elektroni kineetilise
energia vaeaertusele Ek vastaks kindel raadius r. Klassikalise fueuesika
seisukohtade kohaselt tekitab aga tiirlev elektron muutuva
elektromagnetilise vaelja: elektron on perioodiliselt kord tuumast
parmal, siis jaelle vasemal, seega ‘pluss’ ja ‘miinus’ vahelduvad nagu
televisiooni saateantenni varrastes, vahe on ainult moodus ja tiirlemise
sageduses. Muutuva elektromagnetilise vaelja kaudu peaks elektroni
tiirlemisenergia vaelja kiirguma, elektron peaks tuumale laehenema ja
lopuks tuumale kukkuma. Tegelikult seda ei toimu, koik aatomid maailmas
on stabiilsed ja tavaliselt ei kiirga energiat. Selles on klassikalise
mehhaanika pohivastuolu tegelikkusega. Seda vastuolu ei saa eletada, see
tuleb lihtsalt teadmiseks votta ja postuleerida, et teatud kindlate
energiavaeaertuste puhul on elektronide orbiidid aatomis stabiilsed ja
energiat ei kiirgu, kuigi pohjus, miks ei kiirgu, ei ole teada. Kui see
aga teadmiseks votta, siis saab sellele ueles ehitada uut sorti mehanika
– kvantmehaanika. Esimeseses jaerjekorras tuleb postuleerida, missugused
on need orbiidid, millel elektron saab stabiilselt tiirelda ilma
energiat kiirgamata.
, kus ? on valguslaine vonkumise sagedus.
Laehtudes sellest postuleeris Bohr (1913): elektroni tiirlemisel uember
tuuma elektrmagnetilist lainet (=valgust) ei kiirgu, kui elektron
tiirleb orbiitidel millel potentsiaalne on
.
Kineetiline energia oli positiivne ja pool potentsiaalsest energiast:
,
Nendes valemites ? on elektroni tiirlemise sagedus, n aga mingi taeisarv
1, 2, 3, 4 jne.
Kasutades seost joonkiiruse ja nurkkiiruse vahel, mille abil sagedus
teisendatakse joonkiiruseks, saame:
ja voime kirjutada
ehk
.
Elektrostaatilise tombejou valemist (???) saame massiga m laebi
korrutades:
Kahe viimase valemi vasakud pooled on vordsed. Paremate poolte
vordsustamisel saame avaldada lubatud raadiuse
.
Need nn. Bohri raadiused ongi voimalikud raadiused millel elektron saab
asuda stabiilselt ilma energiat kiirgamata.
Avaldame elektroni kineetilise energia tema massi m ja laengu e kaudu.
Selleks asendame r valemisse (???) voi (???). Saame
Samale orbiidile vastav potentsiaalne energia
ja koguenergia, mis vastab orbiidile, mida iseloomustab taeisarv n
Voimalike naaberorbiitide energiate vahe
Elektroni tiirlemissageduste vahe kahel naaberorbiidil vordub
vaeljakiiratava (voi neelatava) valguse sagedusega kahe orbiidi
vahelisel ueleminekul:
kus c on valguse kiirus.
Arvulisi andmeid: e = 1. 6021892·10-19 kulonit; h= 6.626176·10-34 J·s;
me = 9.109534·10-31 kg
c = 299792458 m s-1 ke=???
Valem (???) naeitab, et elektroni voimalikud tiirlemisraadiused
suurenevad vordeliselt taeisarvude ruutudega, seega jada on 1, 4, 9, 16,
25, 36 …
Valem (???) naeitab,et elektroni koguenergia voimalikel orbiitidel
suureneb raadiuse kasvades poeoerdvordeliselt taeisarvu n ruuduga, seega
jada oleks
Koige suegavama energianivoo (pohinivoo) vaeaertus on vesiniku aatomis
-13.6 eV, nivoode jada elektronvoltides oleks siis
-13.6; -3.4; -1.5; -0.85; -0.54; -0.38 …eV
Volt (Itaalia teadlase Volta nimest) on elektrivaelja potentsiaali
(potentsiaalse energia) uehik. Elektrivaelja kahe punkti potentsiaalide
vahe on ueks Volt kui laengu ueks kulon viimisel uehest punktist teise
tehakse toeoed ueks J. Uehe elektroni viimisel laebi potentsiaalide vahe
ueks volt tehakse toeoed ueks elektronvolt. Energeetiliselt elektronvolt
on dzhaulist niisama palju kordi vaeiksem kui elektroni laeng on
vaeiksem kulonist, seega 1 eV = 1. 6021892·10-19 J.
Orbiitide ja energianivoode joonised.
Naehtav ja naehtamatu elektromagnetiline kiirgus, valgus.
Energianivoode-vahelisel ueleminekul kiiratakse kvant kui ueleminek
toimub tuumale laehemale ja neelatakse kvant kui ueleminek toimub
tuumast kaugemale. Kvandi energia on niisama suur kui vastavate
orbiitide energianivoode vahe. Votame teadmiseks, et vesiniku
suegavaimale energianivoole vastab 13.6 eV ja arvutame sellele
ueleminekule vastava lainepikkuse.
See on silmale naehtamatu luehilaineline ultraviolett-kiirgus. Silm
naeeb ‘valgust’, mis on defineeritud kui elektromagnetiline kiirgus
lainepikkuste vahemikus 400-700 nm ehk kvandi energiavahemik 3.10 kuni
1.77 eV. Vesiniku aatomisisestest ueleminekutest kiirguks naehtavat
kiirgust ueleminekutel korgematelt nivoodelt teisele nivoole, teiselt
esimesele nivoole ueleminek kiirgab kvandi lainepikkusega 121.7 nm.
Seega, valguse ja sellest luehemate lainepikkustega kvandid kiirguvad
elektroni ueleminekul korgema energiaga orbiidilt madalama energiaga
orbiidile, energiavahe kiirgub kvandina. Ka vastupidine protsess, kvandi
neeldumine aatomis pohjustades elektroni uelemineku madalamalt orbiidilt
korgemale, on voimalik. Nagu vesiniku aatomi analueues naeitas, on
lubatud taeiesti kindlad energianivood, seega niisuguses aatomis
kiirguvad ja neelduvad ainult vaega taepselt maeaeratud lainepikkustega
kvandid. Vesiniku aatomis on pohinivoo nii suegaval, et sinna
ueleminekul saavad kiirguda vaid ultraviolett-kvandid.
Paljelektroniliste aatomite vaeliste kihtide lubatud pohinivood ei asu
mitte nii suegaval ja neis kiirguvad/neelduvad ka naehtava valguse
kvandid. Naeiteks, tihti kasutatakse elavhobe-auru ja naatriumi-auruga
taeidetud lampe, kus elektrienergia abil sunnitakse metalliaatomeid
kiirgama naehtavat valgust. Kui aatomid asuvad gaasis tihedalt
laehestikku, siis nad porkuvad soojusliikumise tottu ja need porked
moonutavad orbiitide kuju. Tulemusena nihkub igas moonutatud orbiidiga
aatomis energianivoo veidi ja kogu gaas ei kiirga enam mitte
joonspektrit teatud kindlate lainepikkustega, vaid nn. ribaspektrit, kus
jooned on laienenud ribadeks.
Joonis: ribaspektri naeidis korgrohu elvhobeauru-lambis.
Tahkes kehas asuvad aatomid nii tihedasti koos, et iga ueksiku aatomi
energianivoo muutub vaega ebamaeaeraseks. Kui tahket keha, naeiteks
metalli voi suett kuumutada, siis see hakkab valgust kiirgama. Madalamal
temperatuuril on see kiirgus pikemalainelisem, naehtavaks muutub see
tumepunasena kusagil 600 °C juures. Temperatuuri edasisel tostmisel
hakkab domineerima jaerjest luehemalainelisem kiirgus, muutudes silmale
naehtavalt kollakaks, valgeks (nagu Paeike) voi isegi sinakaks (nagu
kuumad taehed). Niisugustes kuumutatud tahketes kehades on kiirguse
energiaallikaks aatomite (molekulide) soojusliikumine, mis porgetel
‘ergastab’ elektrone, luekates neid ajutiselt korgematele niivoodele,
kust nad siis kohe jaelle alla kukuvad, kiirates kvante. Kuna aatomid
asuvad vaega tihedalt, siis on ka lubatud energianiivood vaega tihedalt
ligistikku, nii et igasuguse energiaga kvantide kiirgumine on voimalik.
Sellest tulenevalt on kuumutatud tahkete kehade kiirgus pideva
spektriga. Kuumutatud gaasides aga kiirgub ikkagi joon- voi ribaspekter.
Nagu oeeldud, on madala temperatuuriga kehades luehilaineliste (korge
energiaga) kvantide kiirgumine vaehetoenaeone ja neis domineerivad
pikemalainelised kvandid. Naeiteks Maa keskmine temperatuur on umbes 290
°K ja Maa kiirgab kosmosesse infrapunast kiirgust lainepikkuse
maksimumiga umbes 10 ?m. Seevastu Paeikese temperatuur on umbes 6000 °K
ja tema kiirgusmaksimum on 0.5 ?m lainepikkuse juures. Hooglampide niidi
temperatuur on umbes 2000-3000 °K ja kiirgusmaksimum umbes 1 ?m juures.
Nagu naeeme, on silm kohastunud naegema just selles spektripiirkonnas,
kus Paeike kiirgab maksimaalselt. Seevastu hooglampide spektrist suurt
osa silm ei naee. Sellepaerast ongi hooglampide valgusviljakus
(valguslik kasutegur) suhteliselt madal (10-20%).
Joonised: Paeikese ja hooglampide spektri naeited.
Mateeria lainelised omadused: kvantmehaanika kui lainemehaanika
Uurides musta tahke keha kiirgusspektrit leidis Max Planck (1900), et
see vastab energia juhuslikule jaotusele ainult tingimusel, et mitte
igasugune kiirgumine ei ole voimalik, vaid ainult kiirgumine
portsjonite, kvantide kaupa, mille igauehe energia ja vonkesagedus on
seotud jaergmiselt:
kus ? on vonkesagedus ja h nn. Planck’i konstant, mis on ueks
looduse universaalsetest konstantidest. Veidi hiljem leidis Alber
Einstein oma ueldrelatiivsusteooriast et elementaarosakeste (prootonite,
elektronide jne.) mass ja energia on omavahel seotud:
kus c on valguse kiirus. Nendest kahest valemist jaergneb, et kvandil
(footonil) kui elektromagnetiliste lainete ‘paketil’ peab siiski olema
ka mingi mass
.
Seega on footon kahesuguste omaduste, nii lainepakett kui ka massiga
osakene. De Brouglie (1927) arendas seda motet edasi, et absoluutselt
iga osakene, millel on mass, omab samaaegselt ka lainelisi omadusi. Kui
eelmine valem teisendada, saame
,
kust
See valem on kirjutatud footonite jaoks, mis alati liiguvad kiirusega c
ja ei saa kunagi liikuda vaeiksema kiiruega. De Brouglie aga oletas, et
massi ja lainepikkust siduv valem kehtib iga osakese kohta, ka nende
kohta, mis voivad seista paigal voi liikuda valguse kiirusest vaeiksema
kiirusega. Sellisel juhul valem sisaldaks valguse kiiruse asemel osakese
(keha) tegelikku kiirust
Vaatame, mida see huepotees taehendaks Bohri aatomimudelis tiirleva
elektroni kohta, milline oleks selle ‘lainepikkus”?
Elektroni kineetiline energia orbiidil, millele vastas taeisarv n oli
Avaldades siit kiiruse v saame
ja vastava elektroni lainepikkuse
Vordleme elektroni lainepikkust Bohri raadiusega
ehk
Viimases valemis lisasime raadiusele indeksi n naeitamaks, et tegu on
just nimelt taeisarvule n vastava raadiusega. Valem ise aga naeitab, et
taeisarvule n vastavale orbiidile mahub just nimelt n taeislainet.
Tuletame meelde, et korgemal orbiidil on elektroni kiirus vaeiksem,
seega lainepikkus suurem. Siit jaereldub, et orbiidi uembermoot (ka
raadius) suureneb kahel pohjusel: elektroni lainepikkus suureneb ja
orbiidile paigutatavate lainete arv ka suureneb. Siit tulenebki vaeliste
orbiitide laebimoodu kiire kasvamine kui elektroni summaarne energia
hakkab nullile laehenema (elektron kaugeneb tuumast vaega kaugele).
Lainemehaanika algmed
Lained on ruumis edasilevivad vonkumised. Edasilevimine tuleb sellest,
et mingis ruumipunktis toimuv muutus kutsub esile sarnase muutuse
naaberpunktis, aga veidi hiljem. Elektroni orbiidil ringlevad samuti
lained, kuid kummas suunas? Et eelissuunda ei ole, siis levivad lained
molemas suunas liikudes vastamisi. Kui seejuures on veel orbiidil
taeisarv laineid, siis tekib resultatiivselt nagu laine seiskumine,
vastassuunalised levimised kompenseeruvad. Seega, elektron aatomi
orbiidil moodustab seisva laine. Ueldse, madalama potentsiaalse
energiaga ruumiosas kinnihoitavad lained moodustavad alati seisvad
lained, ja seda madalama potentsiaaliga ruumiosa kutsutakse
‘potentsiaaliauguks’. Gravitatsioonivaeljas on kahemootmeline
potentsiaaliauk naeiteks kaev, kus ergastatud lained peegelduvad kaevu
seintelt ja moodustavad veepinnal seisvaid laineid. Kolmemootmeline
elektripotentsiaali auk on naeiteks tuuma uembrus, mis hoiab elektrone
kinni kui seisvaid laineid. Seisvat lainet kirjeldav matemaatika on
lihtsam kui levivat lainet kirjeldav, sest ajalisi muutusi ei esine ja
vastav diferentsiaalvorrand aega ei sisalda.
Juba varem leidsime, et vonkumiste vorrand on teist jaerku
diferentsiaalvorrand. Naeiteks massi ajaliste vonkumiste jaoks oli
pohiprintsiip, et tasakaalu poole suunatud joud on vordeline haelbega
tasakaalupunktist, seega kiirendus on vordeline haelbega
tasakaalupunktist. Ruumilise vorrandi pohimote on sama, ainult jou ja
kiirenduse moistet siin kasutada ei saa:
Vorrand on uehemootmeline, kus mingi suurus A lainetab x-telje suunas.
Kui lainetus voib esineda kolmes ruumisuunas, siis kirjutatakse
lainefunktsiooni luehidalt
saame
Et lainete oluliseks parameetriks on mitte kiirus, vaid energia, siis
avaldame kiiruse kineetilise energiaga kui koguenergia ja potentsiaalse
energia vahega:
ja
. Tuuma uember tiirleva elektroni korral on koguenergia maeaeratud
Bohri aatomi jaoks leitud tingimustega ja lainete arv mingil
energianivool on vordne taeisarvuga n, mis iseloomustas seda
energianivood.
Oluline on taehele panna, et Schroedingeri vorrand ei sisalda aega,
seega elektroni leidmise toenaeosus mingis punktis on kogu aeg ueks ja
seesama, elektron asub kogu aeg mingis piiratud ruumiosas. Elektroni
hoiab selles ruumiosas elektrivaeli, mille potentsiaal on negatiivne,
st., mis tombab elektroni. Tombavat, madalama potentsiaaliga (elektroni
potentsiaalse energiaga) ruumiosa nimetatakse ‘potntsiaaliauguks’,
analoogia pohjal auguga maapinnas, kuhu sissekukkunud kehad sealt ise
enam vaelja ei paeaese. Tuumale laehenenud elektron ongi kukkunud
potentsiaaliauku. Joonisel on naeidatud lihtsaim uehemootmelise
potentsiaaliaugu juht, kus vaeljaspool ‘auku’ on potentsiaal uehtlaselt
korgem ja augus sees uehtlaselt madalam, tuletades meelde naeiteks kaevu
maapinnas. Elektroni lainetamist niisugune potentsiaaliaugus on
matemaatiliselt lihtne arvutada, sest summaarne energia E-Ep on augus
sees koikjal sama ja vorrand (???) laheneb sinusoidaalsete vonkumistena.
Taehtis on, et vorrand ei lahene mitte igasuguse energiavaeaertuse
puhul, vaid ainult niisuguste puhul, mis voimaldavad augu mootmesse
paigutada taeisarvu poollaineid. Sisuliselt taehendab see tingimus, et
augu servas, kus potentsiaal jaersult touseb, peab elektroni leidmise
toenaeosus olema null (vt. joonist). Siit tulenebki potentsiaaliaugus
asetseva lainetava elektroni lubatud energia kvantiseeritus, mille
tulemusena vorrand laheneb ainult teatud taeisarvuliste kordajatega n
seotud energiavaeaertuste jaoks. Kvantarvu n mote on sama, mis Bohri
aatomis, ta seob elektroni lubatud energia Plancki konstandi h kaudu
vonkesagedusega, lainepikkusega, mis taepselt mahub ‘potentsiaaliauku’.
Kuigi elektroni leidmise toenaeosus mingis ruumipunktis on konstant,
soltub see oluliselt, millist ruumipunkti me vaatleme. Naeiteks
potentsiaaliaugu serval on see null ja on null iga poollaine jaerel.
Poollaineid on seda rohkem, mida korgem on elektroni energia. Muide,
taepselt null on elektroni leidmine seina-aeaeres ainult siis kui ‘sein’
on lopmatu korge, st. potentsiaaliauk on vaega suegav, vaega madala
pontentsiaaliga. Madalasse seina tungib elektron veidi sisse, ja kui see
sein ei ole mitte vaega paks, siis ulatub lektroni lainetus veidi ka
naaberauku (Joonis tunnelefekti kohta). Seega, elektron, mis asub
piiratud madala potentsiaaliga ruumiosas voib siiski teatud vaeikese
toenaeosusega sattuda ka naaberauku, kuigi nende vahel on sein. Seda
naehtust nimetatakse tunneleffektiks ja sellel on bioloogias suur
taehtsus elektroni uelekandeprotsessides: Kui laehestikku asuvad kaks
aatomit, siis voib elektron kanduda uele uehelt teisele, kuigi vahepeal
on korge potentsiaaliga ruumiosa (‘sein’).
Nagu oeeldud, on Schroedingeri vorrand lihtne lahendada ja annab
siinusekujulised lained ainult siis kui summaarne energia on
potentsiaaliaugus konstantne. Aatomituuma uembruses aga on
potentsiaaliauk hoopis suegava lehtri kujuline, langedes
poeoerdvordeliselt kaugusega tuumast. See teebki vorrandi lahendamise
keeruliseks ja annab tulemuseks mitte konstantse lainepikkusega
siinuselised lained, vaid pidevalt lueheneva lainepikkusega lained, seda
luehema lainepikkusega, mida madalam on potentsiaal antud kaugusel.
Kirjutame need lahendid vesiniku aatomi jaoks siiski vaelja, sest
nendest tulenevad kvantarvud, n, l, ja m, mis maeaeravad elektronide
voimaliku paigutuse aatomis.
Elektroni lainetus vesiniku aatomis
Schroedingeri vorrandi lahendamine uember tuuma asetseva elektroni jaoks
on eelmises punktis vaadeldust keerukam kahel pohjusel: esiteks, lahend
ei ole mitte uehemootmeline, vaid kolmemootmeline ja potentsiaaliauk ei
ole mitte sileda pohjaga, vaid lehtrikujuline. Kuna probleem on ilmselt
tsentraalsuemmeetriline, siis on otstarbekas Schroedingeri vorrand
kirjutada ruumilistes polaarkoordinaatides r, ??ja ???Tuletame meelde,
et rist-ja polaarkoordinaadid on omavahel seotud jaergmiselt:
Asendades need Scroedingeri kolmedimensionaalsesse vorrandisse saame
matemaatiliselt jaergmise ueldvorrandi elektroni kohta vesiniku aatomis
Siin me on elektroni mass. Selle vorrandi lahendamine ueldjuhul ei olegi
voimalik, vaid vaja on teha teatud eeldusi. Nimelt eeldatakse, et
kolmemootmeline lainefunktsioon ??avaldub kolme uehemootmelise
lainefuenktsiooni korrutisena:
See on fueuesikaliselt vaega oluline koht, eeldades, et vonkumised
kolmes eraldi ruumi suunas toimuvad soltumatult, ueksteist mojutamata.
Elektroni summaarne energia kujuneb vaelja kolmesuunaliste vonkumiste
energiate summana. Rakendades seda eeldust ja tehes matemaatilised
teisendused saame kolm eraldi vorrandit, igaueks oma koordinaadis
toimuvate vonkumiste kohta:
Nendes vorrandites m ei ole elektroni mass vaid mingi taeisarv, samuti
nagu ??
Esimene kolmest vorrandist lahendub vaega lihtsalt. Nagu oodatud, on
vonkumised polaarnurga suunas siinuselised, sest asimuudi ??suunas on ju
potentsiaalne energia konstantne. Taeisarv m on siin lubatud energiat
maeaerava kvantarvu rollis.
Samuti annab siinuselise lahendi teine vorrand, sest ka polaarnurga
??suunas on potentsiaalne energia konstantne. Siin on aga lahend
keerukam, sest sisldab kahte kvantarvu, m ja ?? Keerukaim lahend on aga
raadiusesuunaline, sest siin on potentsiaalne enegia muutlik,
poeoerdvordeline raadiusega. Ometi onkasee lahendatud ja leitud
tingimused kvantarvu n jaoks, mille puhul lahend on olemas (lubatud
energiate vaeartused).
Uelatoodud vorrandites on kvantarvud esitatud siiski keerukamal kujul
kui lihtsas Schroedingeri vorrandis. Pohjus on selles, et, nagu
mainisime, on elektroni summaarne energia nueued maeaeratud kolme
energia summaga, vastavalt igas koordinaadis toimuvale vonkumisele.
Keemiliste ja fueuesikaliste protsesside jaoks on aga tihti koige
taehtsam summaarne energia, pealegi voimaldaks uehe summaarset energiat
vaeljendava kvantarvu sissetoomine siduda kolmemootmeliselt vonkuva
elektroni uehemootmeliselt tiirleva elektroni kvantiseeritud energiaga,
nii nagu see oli Bohri aatomis. Seega, tuleks tuua sisse peakvantarv n,
mis naeitab koigis koordinaatides toimuvate vonkumiste energiate
summat, ja korvalkvantarvud, mis naeitavad, kui suur osa summaarsest
energiast on jaotunud uehe voi teise koordinaadi suunas. Niisuguset
loogikast tulenebki, et vorrandid ??ja ??jaoks sisaldavad juba ise
mingeid taeisarve, mis on allutatud taeisarvule n, mis ei sisaldu R
vorrandis vaid tuleneb selle lahenduvuse tingimusena. See alluvuste jada
on jaergmine:
Taeisarv n, peakvantarv, voib omada taeisarvulisi positiivseid
vaeaertusi alates nullist: n=0, 1, 2, 3, …
Fueuesikaliselt, n naeitab vongete (lainete) koguarvu raadiuse r ja
tousunurga ??suunas kokku.
kus l voib omada positiivseid taeisarvulisi vaeaertusi 0, 1, 2, 3,
…n-1. Suurust l nimetatakse orbitaalkvantarvuks ja see naeitab, mitu
vonget on tousunurga suunas. Vonked asimuudi ??suunas ei muuda elektroni
energiat muidu kui aatom ei asetse vaelises magnetvaeljas. Seetottu ei
olegi asimuudisuunalisi vonkeid energiat maeaeravate vongete koguarvu
sisse loetud ja kvantarvu m nimetatakse magnetkvantarvuks. Tema lubatud
vaeaertused on allutatud orbitaalkvantarvu l vaeaertustele ja voivad
olla vahemikus –l..0..+l.
Seega, seoses sellega, et ruum on kolmemootmeline, on elektronil kolm
kvantarvu, mis iseloomustavad vongete arvu iga koordinaadi suunas.
Selleks, et ueks kvantarv iseloomustaks voimalikult haesti koguenergiat,
on vorrandid lahendatud nii, et peakvantarv n vastab kahe koordinaadi
raadiuse ja tousunurga suunas toimuvate vongete koguarvule.Asimuudi
suunas toimuvad vonked ei mojuta elektroni koguenergiat muidu kui aatom
ei asetse vaelises magnetvaeljas, seetottu on magnetkvantarv m summast
vaelja jaeetud. Peame meeles jaergmised reeglid:
n=1,2,3,4,5….
l=0, 1, 2 …(n-1)
m=0, ±1, ±2, …±l.
Peakvantarv n voib omada positiivseid taeisarvulisi vaeaertusi.
Orbitaalkvantarv ehk korvalkvantarv l voib omada taeisarvulisi
vaeaertusi alates nullist kuni uehe vorra vaeiksema vaeaertuseni kui n.
See taehendab, et tousunurga suunas ei pruugi toimuda uehtegi vonget,
voib toimuda ueks, kaks jne, vonget, kuid vaehemalt ueks vonge peab
jaeaema raadiuse suunale, muidu kaotaks aatom raadiusemootme, mis on ju
ainuke pikkuse dimensiooniga suurus kolme polaarkoordinaadi hulgas.
Magnetkvantarv m on allutatud korvalkvantarvule ja voib omada vaeaertusi
alates –l laebi nulli kuni +l –ni. Keemikud on mugavuse mottes
taehistanud kvantarvude vaeaertusi ka taehtedega:
Peakvantarvu jaoks: K(n=1); L(n=2); M(n=3); N(n=4) jne
korvalkvantarvu jaoks: s(l=0); p(l=1); d(l=2) f(l=3).
Joonisel on illustreeritud rariaalkomponendi R kuju soltuvalt
peakvantarvu n ja korvalkvantarvu l vaeartustest. Kui n=1 siis on
elektronil ainult ueks laine ja see peab olema raadiusesuunaline (l=0).
Laine ei ole aga siinuseline, vaid muutub vaega korgeks ja teravaks
tuumale laehedases ruumiosas, seoses sellega, et seal potentsiaaliauk
kukub kiiresti suegavaks. Kui n=2 ja l=0, on raadiusesuunas kaks lainet,
kui n=3 ja l=0, on raadiusesuunas kolm lainet. Nueued on eriti selgesti
naeha, kuidas potentsiaali langemine tuuma suunas pohjustab lainepikkuse
pidevat luehenemist. Pange taehele ka, kui kaugele aatomi tsentrist
elektroni lained ulatuvad: uehe vonke puhul umbes 4 A (A=Ongstroem, =
10-10 m= 0.1 nm), kahe vonke puhul 6A ja kolme puhul 12 A. See arv
kahekordselt on vesinikuaatomi laebimoot soltuvalt sellest missugusel
energianivool elektron asub (kas n=1,2 voi 3). Seega, pohisesundis n=1
katab aatomi lainefunktsioon diameetri umbes 8A, kuid ergastatud
seisundis (n=2 voi 3) kuni 20 A. Kui l =1, on raadiuse suunas ueks vonge
vaehem, kui l=2 siis kaks vonget vaehem, kuid aatomi ueldmoot sellest ei
muutu, vaid raadiusesuunaline lainepikkus vastavalt suureneb. (Kuidas
see uehtib vaeitega, et muutujate lahutamine taehendab eeldust, et
vonked kolmes koordinaadis on soltumatud??).
Eelmises loigus leidsime, et elektroni leidmise toenaeosuse tihedust
esitab lainefunktsiooni ruut (lainefunktsioon voib olla ka negatiivne,
kuid ruut on ikka positiivne). Toenaeosuse tihedus korrutatud vastava
ruumi suurusega annab elektroni leidumise toenaeosuse selles ruumiosas.
Juhul kui l=0 on lainefunktsioon maksimaalne kohal r=0, seega tuuma
vahetus uembruses on elektroni toenaeosustihedus suurim. Kuna aga tuum
ise on tohutult pisike (ruum vaeheneb raadiuse kuubiga!) siis elektroni
leidumise toenaeosus otse tuumas on ikkagi vaega-vaega vaeike, nagu
naeha ka vastavalt jooniselt. Soltuvalt raadiusesuunaliste leinete
arvust moodustab elektron toenaeosuspilve millel on ueks, kaks, kolm voi
enam suurma tihedusega kohta, tuumast keskmiselt seda kaugemal, mida
suusrem on n. See langeb kokku Bohri aatomi analueuesil saadud
tulemusega, et elektron voib tiirelda kindlatel kaugustel, seda
kaugemal, mida suurem on energia, kuid lainemehaanikast naeeme, et
elektroni orbiit ei ole mitte kindel joon vaid muutuva tihedusega
toenaeosuse pilv.
Pilt laeheb veelgi huvitavamaks kui katsume lainefunktsiooni kolme
koordinaadi suunalisi komponente korraga ette kujutada, seega aatomi
ruumilist pilti ette kujutada. Aatom on lihtne kerakujuline ainult
juhul kui vonked on ainult raadiuse suunas (l=0 ehk s-orbitaalid). Kui
l=1 (p-orbitaalid) on tousunurga suunas ka vonge, mis moonutab
kerakujulise toenaeosuspilve kaheksakujuliseks. See kaheksakujuline
moodustis voib ruumis paikneda kolmel viisil, vastavalt m=-1,0+1, nii
nagu naeidatud joonisel. Kui vaelist magnetvaelja ei ole, siis need
erinevad paiknemisviisid koguenergiat ei mojuta. Magnetvaelja olemasolul
aga mojutavad ja vastavalt jagunevad spektrijooned kolmeks. Siit siis
kolmanda kvantarvu nimetuski – magnetkvantarv. Kui l=2 ja tousunurga
suunas on kaks vonget, tekivad veelgi kummalisema kujuga moodustised
viiel erineval moel. Seega, joonisel ?? toodud raadiusesuunalised
toenaeosuspilved l vaeaertuste 1 ja 2 jaoks on kehtivad nendes
ristloigetes kus raadiusesuunaline toenaeosus on maksimaalne.
Milleks me bioloogilises fueuesikas tungime nii suegavale
kvantmehaanikasse? Selleks, et moista, et ainult taenu aatomite
lainelisele ehitusele on elu voimalik. Elusstruktuurid moodustuvad
keerukast aatomite suesteemist, mis seostuvad ueksteisega kindlates
jaerjestustes ja kindlates suundades. Ruumiline struktuursus on ju valgu
molekuli peamine omadus. Kui koik valku moodustavad aatomid oleksid
kujult uemargused nagu herneterad (naeit. nagu Bohri aatomi
ringikujulised orbiidid), siis ei oleks aatomite sidumine kindlates
suundades voimalik. Ei ole ju herneteradest voimalik kokku panna
keerulisi ehitisi, kuell on see aga voimalik naeiteks Logo elementidest,
mis ei ole uemargused. Isegi lihtne vee molekul naeeks siis hoopis
teistsugne vaelja kui aatomid oleksid uemargused. Taenu sellele, et p
ja d orbitaalid (l=1 ja 2) moodustavad ruumilis kujundeid millel on
vaeljavenitused kindlates suundades, haakuvad nendega teiste aatomite p-
ja d-elektronid moodustades kindlasuunalisi sidemeid. Niimoodi,
ueksteisest kindlatel kaugustel ja kindlates suundades paigutatud
aatomitest ehituvad ueles elusaine molekulid, nendest omakorda rakud ja
koed ja organismid. Aatomite paigutus molekulis ja molekulide
omavaheline haakumine maeaerabki selle kuidas elusaine ueles ehitatakse.
Seega, elu olemust saab moista ainult moistes kvantmehaanika
pohialuseid.
Mitme elektroniga aatomid
Kuigi vesinik on ueks taehtsamaid looduses esinevaid elemente, on
bioloogias siiski taehtsad veel suesinik, laemmastik, hapnik ja veel
mitmed teised elemendid. Suesinikul on kuus, laemmastikul seitse ja
hapnikul kaheksa elektroni. Kvantmehaanilist lainevorrandit saab aga
taepselt lahendada ainult kahe keha jaoks, seega uehe elektroni ja uehe
prootoni jaoks. Mitme elektroniga aatomites on oluline veel elektronide
omavaheline moju ja selle taepne arvestamine ei ole voimalik. Meie siin
unustame elektronide vastatstikuse moju ja kujutame ette, missugune
oleks mitme elektroniga aatom kui elektronid omavahel ueksteist ei
mojutaks vaid koik oleksid vastasmojus ainult tuumaga.
Kui elektrone on mitu, on ka prootoneid mitu ja vastavalt on tuuma
laeng suurem ja elektriline kuelgetomme tugevam. Seega on tuuma
uembruses ‘potensiaaliauk’ suegavam (potentsiaalne energia langeb
kiiremini) ja pohisesundi n=1 lainefunktsioon koondub tuumale laehemale.
Samuti on tuumale laehemal ka teised, korgemale energiale vastavad
orbitaalid. Kuidas aga paigutuvad elektronid, kas koik uehel, koige
madalama energiaga orbitaalil? Ei, selgub, et taepselt uehesuguse
lainefunktsiooniga elektrone saab aatomis olla ainult ueks. See on nn.
Pauli printsiip, mille kohaselt elektronid jaotuved erinevate
energianivoode vahel taeites need madalamast korgemani. Seega peaks
igale orbitaalile mahtuma ainult ueks elektron, mis on iseloomustatud
kolme kvantarvuga n, l, m. Selgub aga, et elektronil on veel ueks
omadus, mis lisab veel uehe kvantarvu, spinn s, mis kirjeldab elektroni
sisemine poeoerlemise suunda. Kuigi on raske ette kujutada kuidas ueks
toenaeosuspilv veel sisemiselt iseenese uember poeoerleb nagu vaerten
(inglise keeles “spin”) ilmneb see sellest, et elektronil on
magnetmoment. Iga elektron on nagu pisike magnetike, mis voib olla
suunatud tuuma magnetvaelja suhtes (ka tuumal on magnetmoment) kahes
erinevas suunas. Vastavatest vorranditest tuleneb selle kvantarvu
vaeaertuseks kas +1/2 voi –1/2. Uehele ja samale orbitaalile mahub seega
kaks elektroni, ueks spinniga =1/2 ja teine spinniga –1/2. Nueued on
meil kaees koik tingimused, et asuda ueles ehitama paljuelektroniliste
aatomite elektronkatte struktuuri: elektrone tuleb juurde lisada
orbitaalidele jaerjekorras, alates madalamate energiatega seisunditest
korgemate suunas, mahutades igale orbitaalile mitte rohkem kui kaks
elektroni. Teeme selle programmi laebi kuni teise perioodi (n=2) koigi
nivoode taeitumiseni, sest see kaasab ka bioloogiliselt taehtsad
elemendid C, N, O.
H: n=1;l=0;m=0;s=1/2 ueks paardumata spinniga elektron, keemiliselt
aktiivne
He: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2 koik elektronid paardunud spinnidega, inertgaas
Li: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2 ueks paardumata spinniga elektron, keemiliselt
aktiivne
Be: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2 koik elektronid paardunud spinnidega, keemiliselt
inertne
B: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=-1;s=1/2 ueks paardumata spinniga elektron, keemiliselt
aktiivne
C: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=-1;s=1/2
n=2;l=1;m=0;s=1/2 kaks paardumata spinniga elektroni, keemiliselt
aktiivne
N: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=-1;s=1/2
n=2;l=1;m=0;s=1/2
n=2;l=1;m=1;s=1/2 kolm paardumata spinniga elektroni, keemiliselt
aktiivne
O: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=-1;s=1/2
n=2;l=1;m=-1;s=-1/2
n=2;l=1;m=0;s=1/2
n=2;l=1;m=1;s=1/2 kaks paardumata spinniga elektroni, keemiliselt
aktiivne
F: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=-1;s=1/2
n=2;l=1;m=-1;s=-1/2
n=2;l=1;m=0;s=1/2
n=2;l=1;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=1;s=1/2 ueks paardumata spinniga elektron, keemiliselt
aktiivne
Ne: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=-1;s=1/2
n=2;l=1;m=-1;s=-1/2
n=2;l=1;m=0;s=1/2
n=2;l=1;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=1;s=1/2
n=2;l=1;m=1;s=-1/2 koik elektronid paardunud spinnidega, inertgaas
Uelaltoodud orbitaalide taeitumise jaerjekorrast naeeme, et koigepealt
taeituvad orbitaalid uehe elektroniga ja alles nende voimaluste
ammendumisel asub teine, vastupidise spinniga elektron samale
orbitaalile.
Illustratsiooniks toome taeieliku perioodilise suesteemi tabeli, mis
naeitab orbitaalide taeitumise jaerjekorda ka korgema n vaeaertuse jaoks
kui n=2. Pohimote on see, et s-orbitaalidele (l=0) mahub kaks elektroni
2x(m=0); p-orbitaalidele (l=1) mahub kuus elektroni 2x(m=-1,0+1);
d-orbitaalidele (l=2) mahub kuemme elektroni (m=-2,-1,0,1,2). Aga juba
alates komanda perioodi lopust tekivad ebaregulaarsused, mis on
pohjustatud sellest, et vonked tousunurga suunas on monevorra
energiarikkamad kui vonked raadiuse suunas. Seetottu paerast Argooni
(Ar) oleks oodata elektronide asumist 3d nivoole, kuid K ja Ca aatomites
taeituvad enne hoopiski 4s orbitaalid, mis asuvad energeetiliselt
madalamal kui 3d orbitaalid. Alles seejaerel taeituvad jaerjekorras 3d
orbitaalid, jaettes 4s orbitaalile kogu aeg 2 (voi ueks ) elektroni.
Seetottu omab terve rida aineid Sc kuni Zn –ni keemiliselt sarnaseid
metallilisi omadusi ja terve see rida kannab uehist nimetust
muldmetallid. Samasugused ebaregulaarsused korduvad veelgi enam
korgemate n vaeaertuste puhul. Bioloogias on olulised elemendid Fe, Cu,
Mn, mis voivad kergesti loovutada uehe voi kaks vaeliskihi (n=4)
elektroni, kuigi eelmises, 3d kihis on veel vabu orbitaale. Neid
viimaseid, vabu 3d orbitaale, on loodus osanud kasutada nende aatomite
sidumiseks valkudega, et neid paigutada kindlatele kohtadele ja seal
fikseerida, samal ajal kui n=4 kihi elektrone saab aatom loovutada voi
juurde votta. Seetottu on nimetatud metallid koige tueuepilisemad
elektroni uelekandjad, olles kinnistatud nn. tsuetokroomidesse (Fe) voi
teistesse valkstruktuuridesse (Cu, Mn).
Huvitaval kombel on plaatina ja kulla (Pt, Au) vaeliskihi struktuur
sarnane kaaliumi (K) omaga. Viimane on aga keemiliselt vaega aktiivne,
samal ajal kui kuld voib kolmsada aastat merevees puesida tuhmumata.
Molekulide moodustumine – kovalentne side aatomite vahel.
Orbitaalil ueksi asuv elektron omab magnetmomenti ja pueueab paarduda
teise, vastassunalise spinniga elektroniga, nii nagu kaks pulkmagnetit
tombuvad kui pohja- ja lounapoolused satuvad vastatstikku. Seetottu on
keemiliste elementide aatomid ja ka molekulid, mille koosseisus on
paardumata elektrone, keemiliselt aktiivsed ja neid nimetatakse
radikaalideks. Kui laehedal juhtub olma teine aatom, millel vaba
elektron on vastasmaergilise spinniga, voiksid need kaks elektroni
pohimotteliselt paari moodustada, kuid selleks peavad nad enne
teineteisele kuellat ligidale saama. Probleem on selles, et dipoolsed
magnetid (kahepooluselised) magnetid tombuvad piisavalt tugevasti ainult
vaeikeselt kauguselt, vaelised elektronid aga toukuvad omavahel juba
suurelt kauguselt. Seetottu molekuli moodustumiseks peavad
elektronkatted alguses laehenedes isegi teatud maeaeral toukejoudude
poolt moonutatud saama, enne kui tombuvad joud piisava tugevuse
saavutavad. Molekuli moodustumine on kvantmehaaniliselt vaega keerukas
protsess ja vastavaid lainevorrandeid taepselt lahendada ei ole
niikuinii voimalik. Naeiteks on niisuguses kahe paardunud elektroni
lainefunktsioonis elektroni maksimaalne toenaeosustihedus otse tuumade
vahel. Seega, lisaks spinnide kui magnetite vastastikusele tombele on
oluline veel molema tuuma tomme nende vahel asuva elektroni suhtes. Meie
kursuse piires on piisav moista, et keemilise sideme kahe aatomi vahel
saavad moodustada ainult kaks paardumata elektroni, millel on
vastassuunalised spinnid, ja paardunud elektronidest tingitud tugev
aatomitevaheline tomme on mojus ainult vaeikestel kaugustel.
Vaatleme molekuli moodustumist energeetilisest aspektist. Kui kaks
aatomit asuvad kaugel, voib nende omavahelise moju potentsiaalse energia
lugeda nulliks (moju ei ole). Laehenedes hakkab tunda andma koigepealt
vaeliste elektronide omavaheline toukumine. Seda toukejoudu ueletades
potentsiaalne energia suureneb, muutudes positiivseks. Potentsiaalse
energia suurnemine toimub loomulikult kineetilise energia vaehenemise
arvel, s.t. molekulid laehenevad inersi tottu ja laehenedes kiirus
aeglustub. Kui algkiirus oli kuellalt suur voivad elektronid ueksteisele
nii laehedale sattuda (potentsiaalne energia saavutab maksimumi), et
antiparalleelsete spinnidega elektronide tomme hakkab domineerima
Seevastu elektronpilvede toukumine isegi vaeheneb, sest elektronid
asuvad nagu ueksteise sees, orbitaalid osaliselt kattuvad. Tombejou
sfaeaeris hakkab potentsiaalne energia uuesti kahanema, kineetiline
seevastu aga suurenema. Tuumade teatud omavahelise kauguse puhul saabub
potentsiaalse energia miinimum, aga muidugi uuesti kineetilise energia
maksimum. Kui selles seisus aatomipaar energiat aera ei anna, siis
stabiilset molekuli ei moodustu. Porgates naabermolekuliga voi
energiakvanti kiirates saab uelearusest energiat vabaneda ja siis
stabiliseerub potentsiaalse energia miinimumi seisund. Pange taehele, et
vabanenud energia muutub just kogu molekuli energiaks, mitte uuesti
nendesamade aatomite kineetiliseks energiaks, mis reaktsiooni astusid.
Reageerivad aatomid on oma kineetilise energia abil ueletanud nn.
aktivatsioonienergia barjaeaeri ja moodustanud stabiilse molekuli,
vabanedes seejuures uelearusest energiast. Uus energiamiinimum, mis
vastab molekuli olekule, voib olla kas madalam voi korgem kui aatomite
esialgne potentsiaalse energia nivoo (null). Kui loppnivoo on madalamal
kui algnivoo, siis selles reaktsioonis vabanes energiat (ka see muutus
molekulide liikumise energiaks, soojuseks). Kui loppnivoo on korgem kui
algnivoo, siis reaktsioonis kokkuvottes neeldus kineetilist energiat,
s.t. osa aatomite kineetilisest energiast ei muutunud mitte molekulide
kineetiliseks energiaks, vaid jaei molekulisiseseks potentsiaalseks
energiaks. Niisuguse reaktsiooni tulemusena segu jahtub, molekulide
kineetiline energia vaeheneb.
Uelaltoodud mudel ei kehti mitte ueksne molekuli moodudstumise puhul
aatomitest vaid ka teiste keemiliste reaktsioonide puhul, mis toimuvad
molekulide vahel ja mille tulemusena moodustuvad teised molekulid.
Molekulide moodustumise puhul aatomitest on molekuli potentsiaalne
energia tavaliselt negatiivsem kui reageerivate aatomite oma (energiat
vabaneb). Molekulidevaheliste reaktsioonide puhul esineb nii
negatiivsemat kui positiivsemat loppseisundit.
?-side, millel ei ole kindlat suunda. p-elektronidel on kaheksakujulised
orbitaalid ja need voivad s-elektroniga paarduda otstest. Sel juhul on
?-side kaheksakujulise p-orbitaali otsa pikenduseks, suund on maeaeratud
p-orbitaali poolt. p-orbitaalid voivad omavahel paarduda kahel viisil,
kas ka otstest (sel juhul on sideme nimetuseks ikkagi ?-side), voi
kuelgedelt. Viimasel juhul kutsutakse sidet ?-sidemeks. ?-sideme oluline
omadus on see, et ta ei lase sidet moodustavaid aatomeid omavahel
poeoerelda, kuna ??side seda lubab. ?-sideme naeiteks s- ja p-orbitaali
vahel toome vee molekuli, kus s-orbitaaliga vesiniku elektron on
paardunud p-orbitaaliga hapniku elektroniga (joonis). ?-sidemete
naeiteks toome laemmastiku molekuli, milles N aatomites on kolm omavahel
risti olevat paardumata p-orbitaali. Ueks neist paardub teise N aatomi
p-elektroniga ?-sideme abil, kuna kaks paarduvad ?-sidemete kaudu,
moodustades nii kolmekordse sidemega seotud (vaega stabiilse, raskesti
lohutava) molekuli.
Voimalike kovalents-sidemete arv aatomis (aatomi voimalik valents).
Aatomite pohiseisundis (madalaimal energiatasemel) on nende kovalents
vordne paardumata elektronide arvuga, mis oleks
H: 1
He: 0
Li: 1
Be: 0
B: 1
C: 2
N: 3
O: 2
F: 1
Ne: 0
Tegelikult aga ei ole valentssidemete arv alati niisugune ja voib olla
isegi muutlik soltuvalt uehenditest. See tuleneb asjaolust, et 2s
elektronpaar ei ole mitte vaega tugevasti omavahel seotud ja termiline
energia on juba voimeline seda sidet lohkuma, viies uehe 2s
elektronidest uele 2p seisundisse. Selle tulemusena on naeiteks Be ja ka
Ca tavaliselt kahevalentsed, kuigi molemad sisaldavad pohiseisundis 2s
paari ja mitte uehtegi p-elektroni. Sama lugu on suesinikuga: see peaks
teoretiliselt olema kahevalentne (2s paar ja kaks paardumata 2p
elektroni), kuid on peaaegu koigis uehendites, seljuures koigis
orgaanilistes hendites neljavalentne. Ueks 2s elektronidest ergastub
kolmandale vabale 2p orbitaalile ja koik neli teise nivoo elektroni
osutuvad mittepaardunuiks. Kui niisugusest ergastusseisundist kiiresti
moodustuvad valentssidemed, nii et lisandunud tekkinud sidemetest
vabaneb rohkem energiat kui kulus ergastusele, siis on niisugune
vahepealse ergastuse kaudu moodustunud neljavalentne loppseisund
energeetiliselt madalalmal tasemel kui ergastumata seisundist
moodustunud kahevalentne loppseisund. Kuna valentssidemete moodustumisel
vabanenud energia voib olla mitmesugune soltuvalt moodustunus
uehenditest, siis ei ole ka aatomi valents mingi kindel suurus. Kuell
aga on kindlam suurus maksimaalne voimalik valents, mis on maeaeratud
antud peakvantarvule n vastavate s ja p-nivoode ueldhulgaga, eeldades,
et teatud ergastusseisundites voivad need koik olla asustatud paardumata
elektroniga. Niisiis oleks teise perioodi elementide maksimaalne valents
4 (1 s ja 3p orbitaali) ja kolmanda perioodi elementidel 6 (1 s ja 5
p-orbitaali). Kahjuks tekib ka siin erandeid juhtudel kus korgema n
vaeaerusega s-orbitaalid on energeetiliselt madalamad kui uhe vorra
madalama n-ga d orbitaalid.
Doonor-aktseptorside. Valents-sideme polariseeritus. Vesinikside.
Siiani oleme eeldanud, et kovalents-sideme moodustavad paardudes
elektronid, millest ueks kuulub uehele ja teine teisele aatomile.
Kvantmehaanika lainevorrandid aga ei tunnusta elektroni ‘kuuluvust’ vaid
ainult tema kvantarve (energiaseisundeid). Seetottu on peaaegu
samavaeaerselt toenaeone juht, kus uehe aatomi elektronpaar moodustab
sideme kasutades teise aatomi tuehja orbitaali. Taehtis on ainult, et
kuuludes kahele aatomile korraga omaks see paar madalamat energiat kui
kuuludes ainult uehele aatomile. Niimoodi moodustuvad nn.
koordinatsioonilised ?-sidemed, mis kasutavad naeiteks Fe aatomi vabu
d-orbitaale, et fikseerida seda aatomit erilises valkstruktuuris, nn.
tsuetokroomis, kus ta osaleb elektroni uelekandjana. Tsuetokroomidel on
bioenergeetikas esmajaerguline roll.
Kui elektronpaar on moodustanud valents-sideme ja kuulub seega kahele
aatomile korraga, siis see ei taehenda sugugi, et elektronid kuuluvad
kummalegi aatomile vordselt. Aatomitel on omadus tommata kogu paari
suuremal voi vaehemal maeaeral omaenda orbitaalile, jaettes naabri
orbitaali vastavalt tuehjemaks. Selle tulemusena omandab eltronpaari
tombav aatom negatiivsema kogulaengu kui tema partner ja seda omadust
iseloomustatakse aatomi elektronegatiivsusena. Hapnik on ueks
elektronegatiivsemaid elemente (Tabel), seega uehendites tombab ta
elektronpaari tugevasti enesele, jaettes partneri orbiidi osa aega
tuehjaks. Niimoodi kovalentne side polariseerub. Polariseerumise
aeaermuslikuks vaeljenduseks on nn. ioonside, kus ueks aatom on
elektroni taeielikult teisele uele andnud. Tueuepilised ioonsidemega
seotud uehendid on leelismetallide soolad, nagu NaCl, kus Na on kaotanud
elektroni ja muutunud positiivseks iooiks, Cl aga liitnud elektroni ja
muutunud negatiivseks iooniks.
Kovalents-sideme polariseerituse ja doonor-aktseptor-sideme
kombinatsioon on bioloogias uelitaehtis vesinikside. Vesinikside
moodustub positiivse osalaenguga aatomi vabaksjaeaenud orbitaali ja
mingi teise aatomi olemasoleva elektronpaari kaudu. Naeiteks vees on
positiivse osalaenguga aatomiks vesinik, millelt hapnik on elektroni
osaliselt aera tommanud, ja millel seetottu 1s orbitaal on osa aega
elektroniga asustamata. Mingi vee molekuli hapnikuaatomi 2s voi 2p
elektronpaar voib moodustada doonor-aktseptorsideme teise vee molekuli
vesiniku osaliselt vaba orbitaali kasutades ajal mil see on vaba.
Niimoodi saavad tekkida kovalentse iseloomuga sidemed erinevate vee
molekulide vahel, mis neid seovad. Tulemusena on vesi vedelas olekus
looduslikel temperatuuridel samal ajal kui tema analoog H2S on
gaasiline. Vee juurde poeoerdume tagasi vedelike vaatlemisel. Teiste
vesiniksidemete naeidetena bioloogias on valgu sekundaarstruktuuri
kujundavad vesiniksidemed ja DNA kaksikspiraali kujundavad
vesiniksidemed.
Orbitaalide huebridisatsioon
Nagu oeeldud, on suesinik tueuepiliselt neljavalentne, sest ueks tema 2s
elektronidest ergastub 2p nivoole ja tekib neli paardumata elektroni,
kolm 2p nivool ja ueks 2s nivool. Nende orbitaalid peaksid olema erineva
kujuga, mistottu ka koos suesinikuga tekkinud molekulid ei tohiks olla
suemmeetrilised. Vaadeldes aga tueuepilist suesinikuehendit metaani
(CH4) on leitud, et koik neli H aatomit on taeiesti identse energiaga
seotud ja paigutatud suemmeetriliselt tetraeedri (ruumilise nelitahuka)
tippudesse. Seega peavad koik neli orbitaali olema taeiesti sarnase
kujuga. See on fakt, mis otse ei tulene kvantmehaanilisest teooriast ja
millele tuli otsida seletust, pueuedes leida loogilisi voimalusi
erinevate orbitaalide kombineerumiseks. Leitigi voimalus, et uued
suemmeetrilised orbitaalid on koik sarnased kombinatsioonid nelja
erineva orbitaali lainefunktsioonidest, erinevused on ainult selles,
missugused p-orbitaali funktsioonid liidetakse ja missugune lahutatakse
(s-orbitaal on summas alati positiivselt). Sisuliselt taehendab see,
nagu erinevate orbitaalide lainetused liituksid ja lahutuksid erinevates
kombinatsioonides, kuid igas kombinatsioonis esinevad koigi nelja
orbitaali lainefunktsioonid. Niisugune orbitaalide
huebridisatsiooninaehtus on uesna sagedane ja isegi vee molekulis ei ole
hapniku 2p orbitaalidega moodustunud s-sidemete vaheline nurk mitte 90°
vaid 104.5°. See naeitab, et hapniku kaks vesinikuga paardunud orbitaali
ja kaks hapniku enese paari (2s ja 2p paarid) huebridiseeruvad koik
vordseteks sarnase kujuga orbitaalideks mis suunduvad tsentrist
tetraheedri nurkadesse, sarnaselt nagu metaani molekulis, kuid kahel
puudub partner H-aatom. Selle tulemusena on doonor-aktseptor iseloomuga
vesiniksidet voimelised moodustama kas elektronpaari, nii 2s kui 2p
paarid. Nendest naeidetest on naeha, kuidas tekkiva uehendi
suemmeetrilisus voimaldab saavutada uehendmolekuli koige madalamat
energiaseisundit, hoolimata sellest, et hapniku enese (samuti kui
suesiniku) elektronstruktuur ei ole minimaalse energia seisundis.
Teisest kueljest taehendab see ka seda, et individuaalsete aatomite
kvantmehaanilisi orbitaalide kujusid ei saa votta aluseks keerukamate
uehendite stereo-struktuuri arvutamisel, vaid maeaeravaks jaeaevad
keerulise molekuli struktuurist tulenevad energiaseisundid, mis on
minimaalsed tavaliselt maksimaalse suemmeetriaga olekutes.
Resonants
Resonantsi olemuse selgitamiseks vaatleme lihtsat struktuuri,
nitraatiooni NO3-(joonis). Selles esineb laemmastik neljavalentsena,
olles saatnud uehe oma 2s elektronidest praktiliselt taeielikult
hapnikule ja vabastades nii maksimaalse koguse valents-sidemeid. Kuigi
niimoodi tekkinud struktuur peaks olema ebasuemmeetriline, on katsed
naeidanud, et koikide O-aatomite seoseenergiad on vordsed. See on
voimalik kui kaksik- ja ueksiksidemed on pidevas vaheldumises, nii et
kaksiksidet ei saa lugeda kuuluvaks kindlale O-aatomile. Sarnane naeide
on ka bensooli molekul, kus niisugune kaksik- ja ueksiksidemete
vahelduvus katab pikema ringi, sidudes tervelt kuus C aatomit.
Kvantmehaanilises kaesitluses taehendab resonants-ringi voi ka lineaarse
resonants-ahela lainefunktsioon, sarnaselt huebridisatsiooniga,
lineaarkombinatsiooni koikidest osalevatest lainefunktsioonidest.
Seejuures on resoneeruvad sidemed tunduvalt tugevamad kui ilma
resonantsita. Samuti voib resoneeruva lainefunktsiooni ruumiline ulatus
olla tunduvalt pikem kui uehel aatomil. Vastavalt pikeneb ka neelatava
(kiirtava) elektromagnetilise kiirguse lainepikkus. Seetottu on loodus
kasutanud resoneeruvaid struktuure naehtavat valgust neelavate
pigmendimolekulide ehitamiseks. Fotosuenteesis kasutatavate pigmentide,
klorofuelli ka karotenoidide molekulides on kas ringstruktuuriga voi
lineaarsed reonants-ahelad ja need ained omavad neeldumisribasid
naehtava valguse piirkonnas, samal ajal kui tavalised valgud,
aminohapped ja enamik teisi bioloogilisi molekule neelavad
ultravioletses piirkonnas.
Ueleminekumetallide kompleksid
Ueleminekumetallideks nimetatakse esimese suure perioodi (n=3)
metalliliste omadustega aineid, millel jaergmise perioodi (n=4) 4s
nivool asub ueks voi kaks elektroni, kuid samal ajal on vabu orbitaale
veel 3d nivool (Sc, Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni, Cu). Neist bioloogias
omavad elektroni edastajatena suurt taehtsust Mn, Fe, ja Cu.
Bioloogilistes struktuurides on oluline, et aktiivsed aatomid, mis
tegelikult osalevad metaboolsetes protsessides, oleksid kinnstatud ja
asuksid vajalikul kaugusel ja vajalikus asendis oma metaboolsete
partnerite suhtes, millega neil tuleb suhelda naeiteks elektrone vastu
vottes ja edasi andes voi monel muul moel. Valkstruktuurid taeidavadki
seda uelesannet, et kinnistavad metaboolselt aktiivsed aatomid
vajalikesse asukohtadesse. Loomulikult ei saa valkudega seotus
vaelistada aatomite termilist vonkumist uember keskasendi, kuid
vaelistab poeoerlemise ja kindlasti translatoorse liikumise. Aatomite
kinnistamiseks saab kasutada kovalentseid sidemeid, mida peab aga olema
piisaval hulgal, et takistada liikumist koikides suundades, jaettes
samal ajal moned valentsid vabaks ka metaboolse aktiivsuse tarbeks.
Nendele tingimustele vastavadki kolmanda perioodi ueleminekumetallid,
millel on piisavalt taeidetud voi taeitmata d-orbitaale (kokku viis), et
aatomit kinnistada. Seejuures sidemete suemmeetria kindlustatakse s, p
ja d-orbitaalide huebridisatsiooniga. Tabelis toome moned andmed
bioloogiliselt oluliste aatomite jaoks.
Elektronkonfiguratsioon Mn Fe Cu
M 3d54s2 3d64s2 3d104s1
M2+ 3d5 3d6 3d9
M3+ 3d4 3d5 –
Ionisatsioonipotentsiaal (eV)
esimene 7.43 7.87 7.72
teine 15.64 16.18 20.29
kolmas 33.69 30.64 37.08
Iooni raadiused (A)
M 1.17 1.16 1.17
M2+ 0.80 0.77 0.72
M3+ 0.66 0.63 –
Orbitaalide huebridisatsioon ja aatomi geomeetriline struktuur
Huebridisatsioon Aatomi kuju Sidemetevaheline nurk
sp Lineaarne 180°
sp2 Tasapind, kolmnurk 120°
sp3 Tetraeeder 109°28’
dsp2 Tasapind, ruut 90°
dsp3 Trigonaalne kaksikpueramiid 90°
120°
d2sp3 Oktaeeder 90°
Rauaaatomi kasutamise naeiteks bioloogias on heemid, kus Fe aatom
(klorofuellis aga raua asemel Mg) asetseb tasapinnalise porfueriiniringi
keskel, olles kinnitatud koordinatsioonisidemetega. Heemid moodustavad
aktiivosa sellistes valksuesteemides nagu hemoglobiin, mueoglobiin,
tsuetokroomid ja mondes fermentides, nagu katalaas, peroksuedaas. nII
nagu aromaatilistes molekulides (naeit. bensool) tavaliselt, on ka
porfueriiniringis pikk resonants-ahel, mille tulemusena elektronid on
‘delokaliseeritud’ ja nende lainefunktsioonid haaravad tervet ringi.
Ringis osalev N aatom, soltuvalt asukohast, on ise ringi seotud kas
kahevoi kolme sidemega ja moodustab sideme rauaga vastavalt kas uehe
paardumata elektroni voi oma 2s elektronpaari abil, doneerides selle
raua vabale 3d orbitaalile. Nii fikseeritakse N aatom neljast nurgast
nelja ligandiga. Viiendaks ligandiks ristisuunas on tihti aminohappe
histidiini ueks N aatomitest mis doneerib oma elektronpaari teisele Fe
3d orbitaalile. Niisiis on Fe aatom fikseeritud jaettes selle 4s2
elektronid vabaks bioloogilistereaktsioonide tarbeks. Tavaliselt on
need elektronid lahkunud ja aatom asub F2+ seisundis. Hemoglobiinis,
mille molekulmass on 65000, on neli subuehikut nelja heemiga.
Mueoglobiinis on ueksainus subuehik uehe heemiga. Hemoglobiinis on
kuuendaks ligandiks kas hapnik voi vesi, soltuvalt kas hemoglobiin on
hapnikuga rikastatud voi mitte. Ka siin moodustub side sel teel, et
hapnik doneerib oma elektronpaari Fe orbiidile, jaettes O2 molekuli (voi
H2O molekuli) terveks. Vee ja O2 korval on seostumisaktiivsed veel CO ja
NO, kusjuures CO seostub mueoglobiinile umbes 50 korda ja hemoglobiinile
isegi 200 korda tugevamalt kui O2.
Tsuetokroomides on Fe viis ligandi samad kui hemo- ja mueoglobiinis,
kuid kuna tsuetokroomid ei kanna molekule, vaid ainult elektrone, siis
on ka kuues suund seotud bioloogiliselt passiivse ligandiga, kasutades
selleks tavaliselt aminohappe metioniini S aatomi elektronpaari.
Elektronide vahetus toimub F2+/F3+ seisundite vaheldumise teel.
Peptiidside
Valkude struktuur on suuresti maearatud peptiidsideme omadustega, mis
seob aminohapped pikaks ahelaks, poluepeptiidiks. Side moodustub uehe
aminohappe karboksueuelruehma –COOH ja teise aminohappe aminoruehma –NH2
vahel, vee eraldumise teel, andes tulemuseks -CO-NH- sideme.
Struktuurselt naeeb side vaelja jaergmine:
?-spiraal (alternatiivne voimalus on siiski ka nn. ?-voldik).
Seega, valgu moodustumisel osalevad koik eespool kirjeldatud
kovalents-sidemete omadused, nagu ?- ja ?- konfiguratsioon,
polariseeritus (elektronegatiivsus), doonor-aktseptor-iseloom,
huebridiseerumisvoime, delokaliseerumine (resonants). Kuigi
kvantmehaanika ei ole voimeline taepselt ette ennustama koiki neid
kombinatsioone, on tema abil nende esinemine vaehemalt seletatav. See
demonstreerib veel kord, kuivord olulised on kvantmehaanilised naehtused
elu alusena. Pealegi, tundub, et sedalaadi kombineeritud sidemed voivad
esineda ka molekulide vahel, avardades molekulaarstruktuuri moistet
korgematele organisatsioonitasemetele, ja miks mitte kuni organismi
tasemeni vaelja. On ju vaega raske uskuda, et paerilikkuse detailid,
nagu naeojooned, konnak, haeaelekola jne. on ainult geenide
ekspressiooni regulatsiooni tulemusel suenteesitud valkude erinevate
koguste kombineerumise tulemus. Ehk on siingi maengus suunatud suentees,
struktuuride laienemine kindlates suundades, mis on voimalik ainult
molekulidevaheliste sidemete suunatuse tulemusena. Kursuse jaergnevates
osades vaatlemegi molekulide uehendusi, kuid siiski koige lihtsamaid,
neid mida fueuesika seaduste alusel veel kuellalt haesti kirjeldada
saab. Need on gaasid, vedelikud ja tahkised ueldises mottes.
Gaasid
Aine on gaasilises olekufaasis kui molekulid ei ole omavahel seotud,
vaid liiguvad vabalt ruumis, elastselt porkudes nii omavahel kui nou
seintega. Elastsed porked on niisugused, kus impulsi jaeaevuse seadus on
rahuldatud, s.t. molekulide liikumise energiast osa ei muutu molekuli
siseenergiaks (naeiteks nagu piljardikuulide porked). Nou peab gaasi
uembritsema selleks, et molekulid ei liiguks ruumis laiali lopmatu
kaugele. Niisugusel nous oleval gaasil on rida omadusi, mida saab moota
ja mis on omavahel fueuesikaseadustega seotud. Need omadused
iseloomustavad mitte enam individuaalset molekuli, vaid molekulide
kollektiivi tervikuna.
Gaaside naeited. Toatemperatuuril on gaasilised ained naeiteks H2, He,
N2, O2, F, Ne, Cl, Ar. Taehtsaim on ohk, mis on gaaside segu (ruumala
protsentides, kuiv ohk): N2 (28%), O2 (21%), Ar (1%), CO2 (0.037%).
Tavaliselt aga on ohus veel veeauru kuni 2-3%, vastavalt siis teiste
komponentide osa vaeheneb. Nagu naeeme, voivad gaasid koosneda
ueheaatomilistest (n. vaeaerisgaasid), kahe- ja kolmeaatomilistest
molekulidest.
Gaasi mass. Gaasi hulga mootmiseks voib kasutada tema massi
kilogrammides. Kuna erinevate gaaside ueksikmolekulid on erineva
massiga, siis erinevate gaaside puhul vastab uehele kg-le erinev hulk
molekule. Gaaside fueuesikaliste omaduste maeaeramisel on aga molekulide
arv ruumiuehikus olulise taehtsusega. Seetottu on massi mootuehikuks
sobiv valida niisugune, mis jaetaks molekulide arvu konstantseks
(loomulikult ei ole siis mass kg-des konstantne). Massi moodetaksegi
seetottu gramm-aatomites voi gramm-molekulides (gramm-molekuli
kutsutakse luehidalt mooliks). Gramm-molekul on aine hulk grammides, mis
on arvuliselt vordne selle aine molekulkaaluga. Gramm-aatom on siis
vastavalt aine hulk grammides mis on arvuliselt vordne selle aine
aatomkaaluga. Aatomi ja molekuli kaalu maeaerab peamiselt tuuma(de)
kaal. Tuumas on nii prootonid kui neutronid, kusjuures element (aine) on
maeaeratud prootonite je elektronide arvuga, neutronite arv ei ole aga
paeris kindel. Erineva neutronite arvuga kuid sama prootonite arvuga
aineid nimetatakse isotoopideks, ja neil on vastavalt erinev aatom-mass.
Seetottu tuleb erinevate isotoopide segu puhul gramm-mooli arvuliseks
vaeaertuseks lugeda keskmine aatom-mass. Aatom-massi uehikuks loetakse
1/12 suesiniku isotoobi 12C aatomi massist. See uehik on uesna laehedane
vesiniku aatomi massile (vaeike erinevus tuleb sellest, et prootoni ja
neutroni massid ei ole paeris vordsed, vesinikus aga neutron puudub).
Keskmiste aatom-masside naeited (sulgudes taehtsamad isotoobid,
nurksulgudes radioaktiivsed, tehislikud):
H: 1.008(1,2,[3]); C: 12.011(12,13,[14]); N: 14.007(14,15); O:
15.999(16,17,18); P: 30(31,[ 32])
6800/1 98.89/1.108% 99.4/0.4% 99.76/0.037/0.204% 100%
Nagu naeeme, on isotoopide segus domineeriv ueks ja aatomkaalude
erinevused taeisarvudest on suhteliselt vaeikesed. Gaasidena esinevad
H2, N2 ja O2, nende gramm-molekul on siis vastavalt 2, 28ja 32g ainet.
Kuna mooli mass suureneb proportsionaalselt uehe molekuli kaaluga, siis
on moolis alati uehepalju molekule, soltumata molekuli massist. See arv
on 6.0228×1023 ja on tuntud Avogadro arvuna.
Gaasi olekuparameetrid
Kuna gaasis molekulid ei ole ueksteisega seotud vaid liiguvad vabalt,
porkudes omavahel janou seintega, siis on gaasi ruumala alati maeaeratud
seda mahutava nou ruumalaga. Peale ruumala on gaasi olekuparameetriteks
veel rohk ja temperatuur. Rohk on fueuesikaline suurus, mida moodetakse
pinnauehikule mojuva jouga, uehikuks on N/m2 = Pascal (Pa). Gaasi rohk
tuleneb sellest, et molekulid porkuvad nou seintelt tagasi, mojutades
sellega seinu (Newtoni III seadus). Temperatuur iseloomustab gaasi
molekulide liikumise kineetilist energiat. Temperatuur on null kui
molekulid on paigal ja kasvab vordeliselt molekulide ruutkeskmise
kiiruse ruuduga (E=mv2/2). Temperatuuri moodetakse Kelvinites
(absoluutse temperatuuri kraadides), igapaeevases elus aga Celsiuse
skaala jaergi, kus vee kuelmumistemperatuur loetakse 0° ja
keemistemperatuur 100°. USAs moodetakse temperatuuri Fahrenheiti skaala
jaergi, mille kohaselt 0°C=???°F ja 100°C=???°F. Pange taehele, et ka
temperatuuri puhul on uehikute suesteem ebajaerjekindel, temperatuur ei
vordu uehe uehikuga kui molekulide kineetiline energia on ueks J.
Gaasi olekuvorrand
Kui gaasi ruumala vaehendada sel teel, et nou ruumala vaehendatakse
(naeiteks kui kolb liigub silindris voi kui pall jaeaeb auto ratta
alla), siis rohk touseb poeoerdvordeliselt ruumala vaehenemisega, nii et
Kui aga gaasi temperatuuri langetada jaettes ruumala konstantseks, siis
rohk langeb vordeliselt absoluutse temperatuuriga:
Neid kahte valemit saab kombineerida ja konstandile saab leida
absoluutvaeaertuse, nii et saame seose, mida nimetatakse gaasi
olekuvorrandiks:
kus R on nn. ggaside universaalkonstant ja n on gaasi moolide arv
vaadeldavas nous. Gaaside universaalkonstandi vaeaertus on 8.3147 ja
dimensioon on
Rakendades olekuvorrandit arvutame uehe mooli gaasi ruumala 0°C ja
101300 Pa juures, mis on normaalne atmosfaeaerirohk merepinnal.
Peame meeles, et uehe mooli gaasi ruumala standard-tingimustel (0°C,
101.3kPa) on 22.5 l. Rohu toustes see ruumala vaeheneb
poeoerdvordeliselt rohuga, temperatuuri toustes suureneb vordeliselt
absoluutse temperatuuriga. Naeiteks toatemperatuuril ja standardrohul on
mooli ruumala
Keemias kasutatakse ainete kontsentratsioonide vaeljendamiseks uehikut
mooli/liitris (molaarsus, M). Mitmemolaarne on ohk toatemperatuuril? Kui
ueks mool on 24.15 l siis uehes liitris on 1/24.15=0.041 M = 41 mM. Kui
suur on seejuures hapniku kontsentratsioon? [O2] = 0.21×41 = 8.61 mM.
Kui suur on CO2 kontsentratsioon? [CO2]=0.000365×41= 0.0149 mM =15?M.
Gaaside molekulaarkineetilise teooria alged
Gaaside molekulaarkineetiline teooria seob makroparameetrid (rohk,
temperatuur) molekulide energiaga. Tuletame naeitena gaasi rohu
molekulide liikumise kiirusest.
Rohu seos molekulide kineetilise energiaga. Gaasi rohk nou seinale
tekib sellest, et molekulid porkudes avaldavad seinale joudu. Joud mojub
tegelikult iga ueksikporke ajal, aga suure hulga molekulide puhul
hetkelised joud keskmistuvad.
Olgu meil n molekuli kuubis kueljega ?l. Kuigi nad liiguvad igasugustes
suundades, vaatleme x, y ja z-suunalisi liikumise komponente eraldi. Iga
molekuli porkumisel risti seinaga (molekul ei porku risti seinaga, vaid
ainult vastavasuunaline komponent) tema liikumise hulk (impulss) muutub
suuruselt mv suurusele –mv, seega 2mv vorra.
Kahe jaerjestikuse porke vahelise aja leiame, arvutades selle kui aja,
mille jooksul molekul liikus teise seinani ja sealt uuesti tagasi.
Kuigi molekul liikudes porkub paljude teistega, voib impulsi jaeaevuse
seaduse alusel ette kujutada, nagu liikumise x, y ja z-suunalised
komponendid kanduksid ueheklt molekulilt teisele uele ja kuigi lopuks ei
saabu seina juurde tagasi enam seesama molekul, on kulunud aeg siiski
seesama, mis oleks olnud uehe molekuli likumisel ilma porgeteta. Nueued
teeme olulise fueuesikalise eelduse: teame kuell, et molekuli porge
seinaga toimub momentselt, meie aga kujutleme, et porkeprotsess
keskmistus uele kahe porke vahelise aja. Rakendame selle aja kohta
eespool tuletatud seost impulsi muutuse ja jou mojumise aja vahel:
ehk asendades
,
kust
Kuna me keskmistasime porkeprotsessi uele kahe porke vaheaja, siis
niisugune oleks keskmine joud uele kahe porke vaheaja, seega pidevalt
mojuv joud, mis mudaks molekuli liikumise vastassuunaliseks. Newtoni
kolmanda seaduse kohaselt mojub samasuur joud ka seinale. Meie kuubis
kueljega ?l oli n molekuli. Kuigi nad liiguvad koikides suundades ja
ainult liikumise komponendid on kuubi seintega risti, voib siiski
kujutleda, et pilt oleks sama kui molekulidest n/3 liiguks iga seina
suunas risti. Seega oleks koigi molekulide poolt kuubi kueljele avalduv
joud
Rohu arvutamiseks tuleb joud jagada kuelje pindalaga:
Paneme taehele, et n/?l3=n0, mis on molekulide arv ruumalauehikus. Seega
Viimane valem eeldab, nagu liiguksid koik molekulid uehesuguse kiirusega
v. Kui molekulide kiirused on erinevad, tuleb arvutada kiiruste ruutude
keskvaeaertus
ja asendades saame
Gaasi rohk on vordeline molekulide tihedusega ruumalauehikus ja uehe
molekuli keskmise kineetilise energiaga. Kas dimensioonid klapivad?
Temperatuuri seos molekulide kineetilise energiaga. Olles sidunud rohu
molekulide kineetilise energiaga kasutame edasi gaaside olekuvorrandit,
mis seob rohu temperatuuriga. nII saame temperatuuri siduda molekulide
kineetilise energiaga. Kuna
siis voime viimase valemi kirjutada kujul
Siin ?l3 on nou ruumala n on selles nous olevate molekulide arv. Kui
votame molekulide arvuks uehe mooli ehk n = Na, siis on nou ruumala
vordne mooli ruumalaga V0 ja selle rohk on seotud temperatuuriga
olekuvorrandi kaudu:
Valemi keskmises liikmes on uehe mooli gaasi koigi molekulide
kineetiliste energiate summa, Ek
Seega,
Oleme leidnud vaega taehtsa suuruse, uehe mooli gaasi keskmise
kineetilise energia soltuvalt temperatuurist. Tuletaud seos on oige
kerakujuliste molekulide jaoks, mis liiguvad ainult translatoorselt,
kuid ei sisalda vonke- ega poeoerlemisenergiat. Tegur 3/2 tuleneb
sellest, et iga teljesuunaline liikumise komponent kannab energiat RT/2.
Kaheaatomsetes molekulides voivad aatomid (lisaks molekuli
translatoorsele liikumisele) veel omavahel vonkuda ja tiirelda. Need kas
viimast liikumisvoimalust kannavad ka kumbki sellesama hulga energiat,
RT/2, ja kaheaatomse molekuliga gaasi mooli koguenergia on seega 5/2RT.
Niisugust liikumisvoimaluste arvu nimetatakse molekulide vabadusastmete
arvuks ja see maearab, kui palju energiat tuleb kokku kulutada gaasi
temperaturi tostmiseks uehe kraadi vorra voi kui palju seda vabaneb
gaasi jahtumisel. Peame meeles suuruse RT vaeaertuse toatemperatuuril:
kust v = 410 m s-1 (siin M on mooli mass, ohu puhul ligikaudu 0.029
kg).
Kuigi tuletasime temperatuuri ja molekulide liikumise kineetilise
energia vahelise seose gaaside jaoks, on temperatuuride tasakaalu korral
energiad vabadusastme kohta vordsed ka vedelikes ja tahketes kehades
(tahkistes). Molekulide vabadusastmete arv gaasides, vedelikes ja
tahkistes on aga erinev.
Soojamahtuvus, erisoojus
Eelnevast on selge, kui palju energiat tuleb kulutada uehe mooli gaasi
soojendamiseks uehe kraadi vorra. Soltuvalt vabadusastmete arvust
(molekuli ehitusest) on see kas 3/2R?T voi 5/2R?T. kus ?T taehistab
temperatuuri tousu. Saadud vaeaertus on aga oige ainult juhul, kui gaasi
ruumala jaeaeb soojenedes samaks ja rohk seejuures touseb. Seetottu
tuleb alati taepsustada, et tegu on mooli soojamahtuvusega ehk
erisoojusega Cv konstantse ruumala puhul. Kui me soojendame gaasi ja
lubame tal seejuures paisuda, naeiteks nii et rohk jaeaeb konstantseks,
siis teeb paisuv gaas lisaks veel toeoed, tougates seinu eemale rohuga
p. Gaasi paisumisel tehtud toeoe on p?V. Teame aga, et uehe mooli gaasi
puhul
Arvestades ka gaasi paisumisel tehtavat toeoed tuleb konstantsel rohul
(suurenrval ruumalal) gaasi soojendamisel teha rohkem toeoed:
ueheaatomse gaasi puhul 3/2R?T+ R?T=5/2R?T ja kaheaatomse gaasi puhul
5/2R?T+R?T=7/2R?T. Seega on gaasi erisoojus konstantsel rohul (Cp)
suurem kui konstantsel ruumal (Cv). Kasutatud soojusenergiast suurem osa
(ueheaatomsete gaaside puhul 60%) jaeaeb gaasi siseenergiaks (molekulide
kineetiliseks energiaks), ja vaeiksem osa (40%) teeb kasulikku
mehaanilist toeoed. Niimoodi toeoetavad koik soojusmasinad, naeiteks
automootorid, kus bensiini polemise teel soojendatakse silindris olevat
gaasi ja lastakse sel siis paisuda kolvi alla liikudes ja autot edasi
luekata. Uelaltoodust on ka naeha, et mida suurem on suhe Cp/Cv seda
suurem on gaasi soojendamisel tehtava mehaanilise toeoe osa vorreldes
kogu kulutatud energiaga. Ueheaatomsetel gaasidel on see suhe 5/3
kaheaatomsetel aga 7/5.
Gaasi kokkusurumisel tehtav toeoe.
Eelmises loigus votsime teadmiseks, kuidas gaasi kokkusurumisel
(paisumisel) tehtav toeoe soltub gaasi ruumala muutusest. Tuletame
siiski selle valemi. Toeoe on jou ja jou suunas kaeidud teepikkuse
korrutis. Gaasis mojub nou pinnauehikule joud p. Mingile pinnale S mojub
joud pS. Kui kujutleme, et see pind on nagu kolb, mis voib liikuda rohu
mojul, siis liikudes teepikkuse ?s vorra tehakse toeoed pS?s. Aga S?s=?V
ja tehtud toeoe ongi A=p?V. Liikumist komponentideks jagades ei jaeaevad
maeaeravaks ainult pinnaga ristisuunalised komponendid ja gaasi nou kuju
muutustele viivad tangentsiallkomponendid toeoed ei tee. Seega, ei ole
taehtis, kuidas ruumala muutub ja missugused on seejuures toimuvad nou
kuju muutused. Kuell on aga oluline, et gaasi rohk jaeaeks ruumala
suurenemisel samaks. See on aga voimalik ainult siis kui gaasi samal
ajal soojendada.
Kui me aga surume gaasi kokku ja seda ei soojenda, vaid hoopis hoiame
temperatuuri konstantsena, siis kokkusurumisel paratamatult gaasi rohk
touseb. Selles protsessis tehtava toeoe arvutamiseks tuleb rakendada
integreerimist. Elementaartoeoe vaeikesel ruumala muutusel
Aga gaasi olekuvorrandist saame rohu avaldada ruumala kaudu:
.
Asendades ja tuues konstantsed liikmed integraali ette saame
Gaasi oleku vorrandit kasutades saab avaldada sellesama toeoe ka alg ja
lopprohkude kaudu:
Kuna konstantsel temperatuuril rohk ja ruumala on poeoerdvordelised,
,
siis
Viimast valemit kasutame allpool, et leida rakumembraanil ainete
kontsentratsioonide erinevusest tulenevat energiat, nn. membraani
eneergiseritust. Tuletame meelde, et see valem esitab gaasi
paisumistoeoe (kokkusurumistoeoe) konstantsel temperatuuril, samal ajal
kui valem ?? esitas selle konstantsel rohul.
Adiabaatne protsess.
Molemad uelalkaesitletud protsessid nouavad pidevat gaasi temperatuuri
jaelgimist ja vaelise soojuse voi jahutaja kaudu reguleerimist, sest
neis molemis peab temperatuur igal juhul konstantne olema. Jalgratta-
voi autikummi pumbates oleme taeheldanud, et pump kuumeneb, kuigi me
seda otse ei soojenda, vaid ainult surume gaasi kokku. Me lihtsalt ei
jahutanud pumpa kuellalt kiiresti, et hoida temperatuuri konstantsena.
Niisuguseid protsesse gaasidega, kus vaeline soojusvahetus on
taeielikult vaelditud, nimetatakse adiabaatseteks. Gaasi adiabaatsel
kokkusurumisel gaasi temperatuur touseb. See tuleb sellest, et
kokkusurumisel seinad liiguvad sissepoole ja seintelt tagasi porkuvad
molekulid suurema kiirusega kui nad seintele laehenesid, s.t., seina
liikumise kiirus liitb molekuli liikumise kiirusele. Kokkuvottes gaasi
molekulide kineetiline energia suureneb. Gaasi ruumala vaehendamisel on
effekt vastupidine, tagasi porkudes molekulid aeglustuvad. Selle
tulemusena on adiabaatne protsess uesna keerukas: gaasi kokku surudes
rohk touseb koigepealt ruumala vaehenemise tottu, aga lisaks veel
temperatuuri tousu tottu, seega adiabaatses protsessis rohk muutub
rohkem kui isotermilise protsessi korral. Lahustes toimuvates
protsessides, mis on bioloogias peamised, on temperatuur tavaliselt
konstantne ja adiabaatseid naehtusi esineb harva.
Molekuli suurus, molekulidevaheline kaugus, vaba tee pikkus
Molekulide keskmine kaugus ohus on umbes kuemme korda suurem kui nende
diameeter. Ohku tuleks umbes 1000 korda kokku suruda, et molekulid
laeheneksid kokkupuuteni (molekulidevaheline kaugus vaeheneb kuupjuurega
ruumalast). See on ka piir mille juures uelaltoodud gaaside olekuvorrand
kehtivuse kaotab. Taepsuse kaotab ta aga juba kuemme korda madalamal
rohul, monede gaaside puhul, nagu CO2 ja veeaur, isegi palju varem.
. Kuna 1 m tweepikkusel oli nimitu porget, siis iga porke vaheline
keskmine vaba tee pikkus oli
,
kus d taehistab molekuli porkediameetrit. Taepsem arvutus, mis arvestab
ka porgetel toimuvat trajektoorimuutust, annab veidi suurema keskmise
vaba tee pikkuse:
Arvutame jaergmiste andmetega:
Molekuli vaba tee keskmine pikkus on 1000 A =100 nm, kui molekulide
keskmine kaugus on 33 A ja diameeter 3 A.
Difusioon
Nagu naegime, on molekulide kiirus toatemperatuuril uele 400 m/s ja
porkumisteta kataksid nad ka sellesama vahmaa sekundi jooksul.
Tegelikult nad porkuvad ja muudavad liikumise suunda iga 100 nm jaerel,
mille tulemusena nende tegelik edasiliikumine ruumis on juhuslik ja
tunduvalt aeglasem. Aga nad liiguvad siiski ja niisugune molekulide
juhuslik uemberpaiknemine ruumis kannabki nimetust difusioon.
Difusioonil on bioloogias suur taehtsus, olles peamine ainete transpordi
mehhanism raku piires, samuti taime ja keskkonna vahel.
Difusiooniprotsessis molekulid liiguvad juhuslikult igas suunas.
Seejuures korgema tihedusega (kontsentratsiooniga) piirkondadest eemale
toimub likumine suurema toenaeosusega kui madalama kontsentratsiooniga
piirkondadest korgama kontsentratsiooniga piirkondadesse. Niimoodi
toimub difusiooni kaeigus aine kontsentratsiooni uehtlustumine. On
loogiline, et molekulide difusiooniline uemberpaiknemine ruumis toimub
seda kiiremini, mida kiiremini molekulid liiguvad ja mida suurem on
kskmine porgetevahelise vaba tee pikkus. Kontsentratsiooni uehtlustumine
toimub seda kiiremini, mida jaersem on kontsentratsiooni muutus ruumis,
s.t., mida suurem on kontsentratsiooni gradient. Gradient on mingi
pideva suuruse muutumise kiirus ruumi koordinaadi jaergi.
Naeiteks toome valemi difusioonikiiruse kohta silindrilises torus, kus
uehes otsas hoitakse kontsentratsiooni C1 ja teises otsas C2, toru
pikkus on l ja ristloikepindala on s:
kus
Nendes valemites l ja S on geomeetrilised parameetrid, mis
iseloomustavad difusiooniteed, difusioonikonstant D aga iseloomustab
difundeerivat ainet ja difusioonitingimusi:
Nagu naeeme, on difusioonikonstant soltuv molekulide lineaar-keskmisest
kiirusest ja vaba tee pikkusest, kordaja 1/3 tuleneb jaellegi sellst, et
liikumist vaadeldakse iga koordinaadi suunas eraldi. Difusioonikiiruse
valem, nn Fick’i seadus, on sarnane Ohmi seadusele, mis maeaerab
elektrivoolu kiiruse laebi takistust omava traadi.
Difusiooni kiirus ajas ja ruumis
Eelnevad seosed voimaldavad arvutada difusioonivoo kiirust ruumis
konstantse kontsentratsioonivahe (voi gradiendi) puhul. Gradiendi
konstantsuse saeilitamiseks peab molekule pidevalt kuhugi aera kaduma.
Naeiteks, taimelehes suesihappegaas pidevalt neeldub fotosuenteesi
kaeigus ja seetottu saeilib lehes madalam CO2 kontsentratsioon kui
vaelisohus. Kui molekule aera ei kao, siis esialgu tekitatud
kontsentratsioonivahe kaob moninga aja paerast. Aga kui kiiresti see
toimub? Difusioonilise liikumise kiiruse teadmine voimaldab hinnata kui
kiiresti molekulid raku sees uember paiknevad.
Vaatleme lihtsuse mottes uehemootmelist juhtu. Oletagem, et
suenteesisime mingi kogse metaboliiti raku keskel asuval tasandil ja
kuesime, kui kiiresti see difundeerub rakus laiali? Tuletame koigepealt
meelde Fick’i seaduse statsionaarse difusioonivoo J kohta ja defineerime
voo tiheduse:
Siin dC/dx on kontsentratsiooni gradient e. kontsentratsiooni muutumise
kiirus x-telje suunas, J on defineeritud kui aine voo tihedus, mida
moodetakse pinnauehikut ajauehukus laebinud aine hulgaga, seega mooli
m-2 s-1. Voo tiheduse moiste sissetoomine voimaldab Fick’I seaduse
lihtsasti kirjutada, ilma difusioonitee pikkust ja ristloiget
kasutamata.Valime kaugusel x meie tasapinnast, kus aine eraldus, uehe
uehikulise pindalaga ruudu ja selle korvale kaugusele x+dx kohe teise
ruudu, nii et saame nagu ohukese kasti (Joonis). Kohal x, kasti
sisenedes, on voo tihedus J, kohal x+dx, kastist vaeljudes, on voo
tihedus muutunud. Kuna see muutus on vaeike, kasutame Taylori ritta
arendust ja avaldame
Kuna vaeljavoolukiirus ei vordu sissevoolukiirusega, peab kasti ainet
kogunema (voi sealt kaduma), sest ruumilisi neeljaid me praegu ei
arvesta. Meie uehikulise pinnaga kastikeses olgu aine hulk alguses Cdx
(C on kontsentratsioon, pindala=1). See muutub taenu aine kogunemisele
(lahkumisele) jaergmise kiirusega
Paerast dx ja J taandamisi saame nn. pidevuse seaduse:
Seadus pohineb aine jaeaevusel ja vaeidab, et kui voo tihedus ruumis
muutub, siis aine koguneb. Asendame nueued J Fick’i seadusest
See on difusiooni ueldine ajalis-ruumiline diferentsiaalvorrand.
Kolmemootmelisel juhul tuleb teised tuletised votta kolme koodinaadi
suunas. Meie uehemootmelisel juhul on selle vorrandi lahendiks
funktsioon
Kus M on aine kogumass, mis eraldus protsessi alguses tasapinnal x = 0.
Vorrandi lahend on eksponent, mis kahaneb x kasvades ruumis kiiresti,
kuid ulatub siiski koikjale, seega peame konkretiseerima kuesimust, ‘kui
kaugele aine difundeerub mingi aja jooksul’. Utleme, et meid huvitab,
kui kaugel on frondi koige jaersem osa, seal kus funktsiooni vaeaertus
on e-1=0.36. Tingimus, et e astendaja = 1 taehendab, et
Difusioonifrondi levides selle koige jaersem koht kaugeneb vordeliselt
ruutjuurega ajast, naeiteks 2 korda kui aeg kasvab neli korda. Aeg, mis
kulub mingi distantsi laebimiseks kahaneb vordeliselt kauguse ruuduga.
Siit tulenebki, et vaeikestel distantsidel on difusiooniline transport
efektiivne, kuid kaotab efektiivsuse distantsi kasvades vaega kiiresti.
Anname moned difusioonikonstandi vaeartused (uehikutes cm2 s-1):
Vees: suhkur 0.52 10-5 Ohus: CO2 0.16
gluekoos 0.67 veeaur 0.24
gluetsiin 1.1 O2 0.20
Ca(Cl)2 1.9
Proteiin 0.1
DNA 0.01
Rusikareegel on, et ohus on difusioonikiirused ligikaudu 10000 korda
suuremad kui vees. Vahe tuleneb vaega vaeikesest molekuli vaba tee
pikkusest vees vorreldes gaasiga. Raskemad molekulid difundeeruvad
aeglasemalt, sest nende liikumise kiirused on vaeiksemad, kuna samal
temperatuuril on energiad samad, suurema massiga molekulid aga liiguvad
aeglasemalt. Kui votame difusioonikonstandiks 10-5 cm2 s-1 siis
difundeerumiseks kulub jaergmine aeg:
5 ?m (raku organellid) 0.006 s = 6 ms
50?m (rakud) 0.6s
1 m (organism) 8 aastat
Nagu naeeme, on organellis difusioonikiirus sedavord suur, et molekul
voib umbes 200 korda sekundis laebi organelli difundeeruda. Terve raku
mootmes on see aga ainult paar koda sekundis. Difusiooniline ainete
transport organismi piires on aga lootusetult aeglane. Seetottu
metaboliitide kaugtransport toimubki peamiselt voolamise abil,
naervierutus aga liigub elektri-impulsside abil.
Soojusjuhtivus
Tahkes kehas on eriti haesti naeha, et soojendades keha uehte osa jouab
soojus varsti jaguneda uehtlaselt uele kogu keha. Soojus nagu
difundeeruks laiali. Sama toimub ka gaasides ja see ongi kehade
soojusjuhtivus. Kuna soojus on pohimotteliselt molekulide kineetiline
energia, siis selle ‘laialidifundeerumine’ taehendab energia uelekannet
porgetel, kus kiiremini liikuvad molekulid jagavad oma energia teiste
molekulidega. Nii kujuneb kehas lopuks uesna uehtlane molekulide
kiiruste jaotus. Et soojusjuhtivuse mehhanism on difusioonile sarnane,
siis on ka vastavad valemid sarnased. Naeiteks soojuse liikumine laebi
varda pikkusega l ja ristloikepinnaga S on
kus kontsentratsioonide vahet asendab temperatuuride vahe ja
difusioonikonstanti soojusjuhtivuse konstant
.
Sisehoordumine, viskoossus
Voolamine on molekulide samaaegne uehesuunaline liikumine. Voolamine
toimub naeiteks torudes rohkude vahe mojul. Elusolendites toimub
voolamine veresoontes loomadel ja juhtsoontes (ksueleem, floeem)
taimedel. Voolamine on peamine viis molekulide transportimiseks
pikematel distantsidel kui uehe raku piires. Voolamine voib olla
laminaarne ja turbulentne. Laminaarse voolamise puhul vedeliku voi
gaasikihid torus segunevad ainult difusiooni tottu, seega vaehe, ja
kihid, mis alustasid teekonda toru seinte laehedal, on seal toru lopuni.
Molekulid, mis alustasid teekonda toru keskosas jaeaevad samuti sinna
kuni lopuni. Laminaarne voolamine on tavaline peentes torudes, nagu
kapillaarsooned ja taimede juhtsooned. Tubulentsel voolamisel toimub
pidev keeriseline liikumine toru sees, selgeid kihte asendavad keerised,
milles molekulid liiguvad kord sente laehehedale, kord jaelle kaugemale.
Turbulentne voolamine on tavaline jaemedates torudes. Vaadake naeiteks
korstnast vaeljuvat suitsu, aga sarnane keeriselisus on ka vere
voolamisel jaemedamates veresoontes.
Ka voolamine allub sama tueuepi proportsionaalsele seadusele nagu
difusioon ja soojusjuhtivus, ainult siin on liikumapanevaks jouks
rohkude vahe:
Pange taehele, et voolamise puhul on tavaks vordetegurit esitada
poeoerdsuurusena, viskoossusena. Mida suurem on viskoossus ?, seda
aeglasem on voolamine sama rohkude vahe ja sama voolu geomeetria puhul.
Vedelike puhul on viskoossus pohjustatud peamiselt molekulidevahelistest
sidemetest (tombejoududest). Kuna need temperatuuri toustes norgenevad
(molekulid liiguvad kiiremini ja kaugenevad ueksteisest, keha paisub),
siis vedelike viskoossus temperatuuri toustes vaeheneb, voolamine
kiireneb. Gaaside viskoossus pohineb teisel alusel, kuna nendes
molekulidevahelised tombejoud ei ole taehtsad. Toru seinte laehedal
liikuvad molekulid porkuvad sageli seintega ja nende edasiliikumine piki
toru on takistatud. Soojusliikumine aga pillutab molekule ka toru
seintest eemale ja vastupidi, eemal olevaid molekule seinte suunas. Nii
jaeavad seinte poolt tulevad molekulid tsentri pool liikuvatele jalgu ja
pidurdavad neid, aga tsentrist seinte poole liikuvad molekulid
kiirendavad seinte laehedal asuvate voolusuunalist likumist. Kujuneb
vaelja keskmine kiiruste profiil, mis on ruuthueperbooli kujuga,
kusjuures koige kiiremini voolavad molekulid toru keskel ja seinte
aeares on need peaaegu paigal (voolamise mottes, mitte termilise
liikumise mottes). Kuna gaaside puhul viskoossus on tingitud molekulide
difusioonist risti voolu suunaga, on ka viskoossustegur seotud
molekulide soojusliikumise keskmise kiirusega ja vaba tee pikkusega:
,
kus ? on gaasi tihedus. Viskoossus ei soltu gaasi rohust, kuna rohu
suurenedes tihedus kuell kasvab, kuid vaba tee pikkus proportsionaalselt
kahaneb.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
