.

Костюченко К.Л. 2003 – Математика и ее приложения в со-циально-правовой сфере (книга)

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 6775
Скачать документ

Костюченко К.Л. 2003 – Математика и ее приложения в социально-правовой сфере

Министерство внутренних дел Российской Федерации
Уральский юридический институт

К.Л. Костюченко

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
В СОЦИАЛЬНО-ПРАВОВОЙ СФЕРЕ

Учебное пособие

по дисциплине “Информатика и математика”
по специальности 021100 Юриспруденция

Екатеринбург
2003

Учебное пособие показывает роль и место математики в современном мире, исторические этапы развития математики, основные этапы и направления приложений математики в правовых, гуманитарных, социальных, экономических и естественных науках. Пособие содержит теоретические сведения о математических методах, применяемых в социально-правовой сфере, а также примеры приложения математики в различных правовых задачах.
Пособие предназначено для курсантов, слушателей и адъюнктов высших образовательных учреждений МВД России.

Обсуждено на кафедре совершенствования деятельности ОВД УрЮИ МВД России (протокол № 10 от 23.11.2000).

Рекомендовано к изданию Методическим советом УрЮИ МВД России (протокол №13 от 19.12.2000)

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом УрЮИ МВД России.
ББК 22.17

 Костюченко К.Л., 2003
 УрЮИ МВД России, 2003

ВВЕДЕНИЕ
”В любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней математики…”
Иммануил Кант, немецкий философ

“Всякий учащийся математике имеет две цели. 1-е. Делать из приобретенных им сведений непосредственное употребление. 2-е. Усовершенствовать свой ум…”
Михаил Илларионович Кутузов, великий русский полководец, генерал-фельдмаршал

Математика (математический аппарат, математические методы, математическое моделирование и т.п.) все шире проникает во все сферы человеческой жизни и деятельности. Без математики сегодня немыслимы естественные науки, техника, электроника, новейшие информационные технологии, экономика, бизнес, финансы, страхование, менеджмент, экология, военное дело. Все большее влияние оказывает математика и на такие “нематематичес-кие” науки, как история, медицина, психология, лингвистика, юриспруденция и др. Математика все в большей степени становится необходимым атрибутом юридической науки.
Современная социально-правовая сфера (криминалистика, криминология, социология, юридическая статистика, юридическая психология и др.) характеризуется значительным диапазоном приложений из самых разных направлений математики: арифметики, алгебры, геометрии, комбинаторики, теории вероятностей, статистики, теории информации, теории распознавания образов, теории принятия решений, теории игр, теории оптимального управления, теории исследования операций, теории катастроф, теории массового обслуживания и т.д.
Однако приходится сталкиваться с тем, что юристы не совсем верно определяют роль математики в их профессиональной деятельности и большей частью находятся на следующих позициях: с одной стороны (чаще) – категорическое отрицание – “гуманитариям, а тем более юристам, математика не нужна”, а с другой (реже) – явное преувеличение – “математика решит все проблемы”.
Такие суждения вполне объяснимы тем, что первоначальное представление о математике было неверно сформировано. Дело в том, что школьный курс данной науки весьма ограничен (только арифметика, геометрия, элементы алгебры), абстрактен (мало внимания уделяется практическим “живым” примерам), излишне перегружен громоздким математическим аппаратом (а ведь есть эффективные математические методы и приемы с минимальным количеством формул, доказательств, графиков и т.п.).
Современному юристу-профессионалу нужна Математика.
Математика – очень мощный инструмент науки и практики, поэтому требует серьезного изучения. По меткому определению величайшего математика всех времен и народов Карла Фридриха Гаусса: “Математика – это мельница. Она перемелет все, что угодно, но получится ли мука, будет зависеть от того, что в нее было засыпано”.
Данное пособие по дисциплине “Математика и информатика подготовлено в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности Юриспруденция и позволяет расширить кругозор, более полно (и в доступной форме) познакомить будущего юриста с Математикой, ее ролью в современном мире и культуре, ее историей, ее основными направлениями, методами и средствами, а также примерами приложений в правовой сфере.

10010011 11100001 10101111 10100101
11100101 10101110 10100010 00100000
10100010 00100000 10101000 10100111
11100011 11100111 10100101 10101101
10101000 10101000 00100000 10001100
10100000 11100010 10100101 10101100
10100000 11100010 10101000 10101010
10101000 00100001

1. РОЛЬ И МЕСТО МАТЕМАТИКИ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ
Математика (греч.  – mathematike, от  – mathema – знание, учение, наука) – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
Математика – самая древняя наука, игравшая важнейшую роль в жизни и деятельности человека на всех исторических этапах, т.к. людям всегда нужно было что-либо считать и чертить, измерять и вычислять, прогнозировать и проектировать, создавать новое.
Уже за несколько веков до новой эры на базе накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приемов арифметических вычислений (Древний Египет и Вавилон) математика определилась как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости развития ее основных понятий в достаточно общей форме.
Систематическое и логически последовательное построение основ математической науки было проведено в Древней Греции. Вот имена великих древнегреческих ученых-мыслителей: Аристотель, Пифагор Самосский, Евклид, Архимед, Апполоний Пергский, Эратосфен Киренский, Фалес Милетский, Диофант Александрийский, Демокрит, Птолемей Клавдий, Герон Александрийский… Созданная ими система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математической теории.
Значительных успехов добивались также китайские, индийские и арабские математики.
Сферами приложения математики постепенно становилось практически все: землемерие, строительство, гидротехнические работы, мореплавание, торговля, геодезия, картография, небесная механика, механизмы, боевые машины.
В эпоху Возрождения (XV–XVI вв.) еще больше возрастают запросы к математике со стороны механиков, инженеров, моряков, астрономов, географов, военных, купцов, чиновников и даже художников . Центром математических исследований становятся страны Европы. Благодаря свободной научной критике и конкуренции в университетах, общий характер европейской математической культуры отличается рядом существенных прогрессивных черт, обусловивших в последующие века стремительное развитие математики.
С XVII в. начинается принципиально новый период развития математики – период математики переменных величин, который так охарактеризован Фридрихом Энгельсом: “Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление…”.
Математика все больше объясняет течение отдельных природных явлений действием общих, математически сформулированных законов природы. Математическими методами решаются проблемы практики: оптики, навигации, гидравлики, баллистики, точных механизмов (например, хронометров).
В XVIII в. общий стиль математических исследований постепенно меняется. Успехи теперь обуславливаются не только новизной метода (смелость и глубина общих идей), но и искусством в овладении математическим аппаратом и изобретательностью в разыскании неожиданных обходных решений трудных задач.
В это же время научная работа математика становится самостоятельной профессией. До этого многие виднейшие ученые очень часто были просто любителями математики и одновременно (чаще даже в первую очередь) – философами, физиками-экспериментаторами, чиновниками, военными и т.д.
Следует отметить, что на историю математики влияет и политика. Так, Великая французская революция внесла в организацию науки новую струю – многие крупнейшие математики были привлечены в Париж (за государственные средства) к решению самых разнообразных задач.
XIX–XX века меняют математику не только количественно, но и качественно. Появляется современная математика. Большие теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания и техники, но также из внутренних потребностей самой математики.
Расширение предмета математики привлекло усиленное внимание к вопросам ее обоснования , т.е. критического пересмотра ее исходных положений (аксиом), построения строгой системы определений и доказательств, а также критического рассмотрения логических приемов, употребляемых при этих доказательствах. Сложился стандарт требований к логической строгости (на основе аксиоматического метода , теории множеств), остающийся и до настоящего времени господствующим в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий.
Одним из ярких примеров достижений науки, одним из свидетельств неограниченной познаваемости природы было открытие существования планеты Нептун путем математических вычислений – “на кончике пера”. Так, сначала учеными Леверье и Адамсом (1845 г.) при помощи расчетов была определена орбита неизвестной планеты, ее масса, место на небе, где она в данное время должна была находиться. И только после этого планета была найдена с помощью телескопа на указанном месте. Аналогичным способом век спустя была открыта еще одна планета – Плутон.
История науки XIX–XX вв. также дает многочисленные примеры успехов математического прогнозирования. Некоторые из них: Дирак разработал математическую теорию движения электрона и предсказал существование позитрона (1928 г.); несколько позже (1964 г.) физики-экспериментаторы искали частицу, указанную другой математической теорией, и открыли омега-минус-гиперон.
Математика часто намного опережала время. В середине XIX в., исходя из общих проблем геометрии, была разработана теория непрерывных групп, дано общее ”абстрактное” определение группы. И только в конце века было установлено, что теоретико-групповым закономерностям подчинено строение кристаллов.
Теория вероятностей, возникнув в XVII в. на основе анализа азартных игр и став в настоящее время одной из важнейших для деятельности человека теорией (в технике, коммерции, страховом деле, военном деле и т.д.), долгое время считалась второсортной наукой – своеобразным математическим развлечением, не заслуживающим серьезного внимания (исключая теорию артиллерийской стрельбы и теорию ошибок в начале XIX в.). Лишь после Первой мировой войны игнорирование науки о массовых явлениях стало невозможным. Благодаря разработке аппарата математической статистики теория вероятностей получает много новых приложений (механика, электротехника, статистическая физика и др.).
Примерно то же самое происходило и с “неевклидовой геометрией” гениального российского математика Николая Ивановича Лобачевского . Его открытие в начале XIX в. не получило признания при жизни автора. Современники считали его идеи чем-то вроде забавы. Применение же было найдено только через сто лет, когда Эйнштейном были сформулированы принципы теории относительности, и неевклидововы геометрии стали рабочим инструментом физиков.
Чем больше человек познавал природу, создавал механизмы, развивал науку, производство и торговлю, тем весомее становился вклад математики. И это влияние было взаимным – математика стала сложной и разветвленной.
Сегодня можно говорить, что современная математика – это “метанаука”, объединяющая комплекс дисциплин: арифметику – теорию чисел, алгебру, геометрию, математический анализ, теорию множеств, теорию вероятностей, математическую статистику, теорию игр и многие, многие другие (насчитывают несколько десятков крупных направлений). На стыках наук появляются разделы: математическая физика, математическая логика, математическая лингвистика, математическая экономика и др.
Математика – необходимый инструмент познания в любой отрасли человеческой деятельности – характеризуется высокой степенью абстрактности ее понятий и высокой степенью их обобщенности.
Математикой изучаются не только реальные отношения и формы, но и непосредственно абстрагированные из действительности (формы логического вывода, n-мерные пространства и др.) и логически возможные, определяемые на основе уже известных форм и отношений (“мнимые числа”, “комплексные числа”, “воображаемая геометрия” Лобачевского и т.п.).
Абстракция математики достигается использованием специального символьного языка, который освобождаясь от конкретного содержания, привносит в математику универсальность. Благодаря этому один и тот же математический аппарат можно применять в самых различных естественных и гуманитарных науках.
Так, например, колебания и в механических системах, и в электрических цепях представляются одними и теми же математическими уравнениями. Одинаковые математические подходы используются для описания сердечного кровообращения и управления зенитным огнем. Подобная же картина – при исследовании механизмов разрушения конструкций в технике и процессов образования социальных катастроф.
По меткому выражению известнейшего ученого Нильса Бора : “Математика – это больше, чем наука, это – язык”. То есть язык, на котором можно ставить вопросы и отвечать на них принципиально.
Математика – это также и форма мышления. Математика – наука, которая скорее тождественна философии, чем остальным “содержательным наукам”; наука инструментальная; наука, которая вступает в глубокие органические связи с целым рядом других дисциплин.
Математика занимает особое место среди других наук. Математику нельзя причислять к естествознанию (т.к. исключает наблюдение и эксперимент), хотя и зародилась она из практики как естественная наука.
Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математических методов не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математических методов в различных случаях не одинаковы. Никакая математическая схема не исчерпывает всей конкретности действительных процессов.
Типичным примером полного господства математических методов можно считать небесную механику, в частности, учение о движении планет. Имеющий очень простое математическое выражение закон всемирного тяготения почти полностью определяет изучаемый здесь круг явлений. При переходе от механики к физике несколько возрастают трудности применения математического аппарата (выбор предпосылок использования математики и трактовка результатов).
В других естественных науках (например, биологических) математические методы играют более подчиненную роль. В еще большей степени математика предоставляет свои возможности непосредственному анализу явлений и процессов во всей их конкретной сложности в социальных и гуманитарных науках (часто математика остается лишь в форме подсобной науки – математической статистики). В окончательном же анализе социальных (и правовых) явлений и процессов математика вообще уходит на задний план, полностью уступая свое место качественному своеобразию каждого временного (исторического) промежутка.
Причина, по которой без математических методов сейчас не обходится не только техника, механика, электроника, экономика, но и медицина, экология, психология, социология, лингвистика, история, юриспруденция и др., проста – для математических методов характерны:
* четкость формулировок и определений;
* использование точных количественных оценок;
* логическая строгость;
* сочетание индуктивного и дедуктивного подходов;
* универсальность.
Использование математических методов формирует так называемый математический стиль мышления, т.е. абстрактный, логический, идеально строгий и – самое главное – нацеленный на поиск закономерностей. Профессионал, грамотно и аккуратно применяющий математические методы, способен принести пользу в любой сфере деятельности, в том числе и правовой.
Сегодня можно утверждать, что математика становится необходимым атрибутом юридической науки. Вот основные причины этого: органическое единство природы и общества; содержательный понятийный аппарат (например, доказательство, множество, функция, модель, операция); правовые системы, явления и процессы наряду с качественными свойствами обладают и количественной мерой; в некоторых областях права (криминалистика, криминология, государственное управление и др.) просто не обойтись без количественных параметров.

2. ИСТОРИЧЕСКИЕ ПЕРИОДЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ
Математика прошла длинный путь своего развития. Ниже дается самая общая (глобальная) характеристика периодизации истории математики.
Древний мир Период зарождения математики
Практический счет, выработка приемов арифметических действий, формирование понятий числа и фигуры, создание устной и письменной системы счета.
VI в. до н.э. – XVII в. Период математики постоянных величин
Понимание того факта, что математика становится самостоятельной наукой, со своим предметом – числом и фигурой. Математика строится не только на основе дедуктивного, но и аксиоматического метода.
Возникновение и развитие арифметики, геометрии, некоторых разделов алгебры. Работы древнегреческих ученых: Пифагора Самосского, Аристотеля (по дедуктивной логике), Архимеда, Евклида (основополагающая работа по геометрии – “Начала”), Гиппократа Хиосского, Аристарха Самосского, Аполлония Пергского, Эратосфена Киренского, Фалеса Милетского, Диофанта Александрийского (трактат “Арифметика” из 13 книг), Евдокса Книдского, Демокрита, Птолемея Клавдия, Герона Александрийского.
Становление алгебры, математического анализа, тригонометрии обеспечивают потребности торговли, земельных работ, архитектуры, астрономии и т.п.
Работы аль-Хорезми, Омара Хайяма, Леонардо да Винчи, Иоганна Кеплера, Джона Непера, Франсуа Виета, Галилео Галилея, Джероламо Кардано.
XVII в. – XVIII в. Бурное развитие естествознания и техники (мореплавания, гидравлики, механики, баллистики и т.д.) приводят к появлению аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления.
Работы Исаака Ньютона, Рене Декарта, Пьера Ферма.
Формирование теории вероятностей на основе исследований в области азартных игр (Блез Паскаль, Христиан Гюйгенс, Яков и Даниил Бернулли, Абрахам де Муавр и др.).
Бурное развитие естествознания и техники (мореплавания, гидравлики, механики, баллистики и т.д.) приводят к появлению аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления.
Работы Исаака Ньютона, Рене Декарта, Пьера Ферма.

Формирование теории вероятностей на основе исследований в области азартных игр (Блез Паскаль, Христиан Гюйгенс, Яков и Даниил Бернулли, Абрахам де Муавр и др.).
Возникновение теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии. Совершенствование теории вероятностей и математической статистики . Становление криптографии и криптоанализа .
Работы Готфрида Вильгельма Лейбница, Жана Лерона Д’Аламбера, Леонарда Эйлера, Пьера Симона Лапласа, Жозефа Луи Лагранжа.
XIX в. Период математики переменных отношений
(современная математика)
Новое значительное расширение области приложений математики: термодинамика, электродинамика, оптика, теория магнетизма и др. Развитие математической физики.
Математика выходит за рамки классической концепции – поднимается на новую ступень абстракции. Изменяется предмет науки – теория абстрактных математических структур. Более точно определяются понятия и устанавливаются принципы доказательств, более логично и строго эти доказательства проводятся.
Формирование неевклидовой геометрии (Николай Иванович Лобачевский, а затем Феликс Кляйн, Анри Пуанкаре).
Выдающиеся результаты “короля математиков” Карла Фридриха Гаусса. Работы Эвариста Галуа, Давида Гильберта, Карла Вейерштрасса, Георга Кантора.
Укрепление школы российских математиков (Михаил Васильевич Остроградский, Пафнутий Львович Чебышев, Андрей Андреевич Марков (ст.), Александр Михайлович Ляпунов, Софья Васильевна Ковалевская, Андрей Андреевич Марков).
Развитие теории функций комплексного переменного, теории групп, проективной геометрии, теории множеств, математической логики, функционального анализа. Выделение численных методов математики в самостоятельную ветвь – вычислительную математику.
XX в. “Математизация” различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности.
Потребности науки, техники, а также развития самой математики и быстрого прогресса вычислительной техники обуславливают появление новых математических дисциплин и разделов: теории алгоритмов, теории информации, теории игр, теории оптимального управления, теории катастроф, теории распознавания образов и др.
Появление математической экономики, математической лингвистики . На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, теории графов, теории кодирования возникает дискретная математика. Происходит оформление “родственных” наук: прикладной математики, кибернетики , синергетики, информатики и др.
Работы Альберта Эйнштейна, Джеймса Клерка Максвелла, Поля Дирака, Норберта Винера, Алана Тьюринга, Клода Шеннона, Джона фон Неймана, Ричарда Беллмана, Никола Бурбаки , Андрея Николаевича Колмогорова, Сергея Натановича Бернштейна, Леонида Витальевича Канторовича, Мстислава Всеволодовича Келдыша, Николая Егоровича Жуковского, Льва Семеновича Понтрягина, Николая Николаевича Красовского .

3. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ И НАПРАВЛЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЙ
МАТЕМАТИКИ В ГУМАНИТАРНЫХ, СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ
Приложения математики сыграли важную роль в самых разных науках: гуманитарных, социально-экономических и естественных.
Философия
IV в.
до н.э. Древнегреческий мыслитель-энциклопедист Аристотель (384–322 гг. до н.э.), определяя математику как науку об абстрактных свойствах реальных вещей, тем самым вносит значительный вклад в классическую греческую философию.
XVII в. Английский философ Томас Гоббс (1588–1679) призывает к представлению человеческого мышления в форме вычислительного процесса: “Где уместны сложение и вычитание – уместен и здравый смысл. Геометрия и механика – идеальные образцы научного мышления. Природа – совокупность протяженных тел, различающихся величиной, фигурой, положением и движением (перемещением)”.
Великий французский мыслитель и математик Рене Декарт (1596–1650) выдвигает идею всеобщей математизации научного знания, т.к. он считает, что только математика приводит к твердым, точным, достоверным выводам. При этом математика истолковывается не просто как наука о величинах, но и как наука о порядке и мере, царящей во всей природе. Рационалистический метод Декарта (в основе которого дедукция) представляет собой, прежде всего, философское осмысление и обобщение тех приемов открытия истин, которыми оперировала математика.
Логика
IV в. до н.э. Знаменитые “Начала” Евклида – яркий пример взаимодействия математики и логики, а также проявления на практике дедуктивного метода построения научной теории. (Оценивая историческое значение этого труда Евклида, Альберт Эйнштейн подчеркивал, что это удивительное произведение дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была так необходима для его последующей деятельности.)
XVII в. Выдающийся английский ученый-естествоиспытатель Френсис Бэкон (1561–1626) становится родоначальником индуктивной логики.
Рене Декарт, основываясь на данных математики, совершенствует рациональную дедукцию.
Крупнейший немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1706) становится зачинателем символьной (математической) логики. Он стремится изобрести универсальный символический язык, посредством которого можно было бы рационализировать любую эмпирическую науку.
XIX в. Английский ученый Джорж Буль (1815–1864) дает математический анализ теории умозаключений, вырабатывает логическое исчисление (“Булева алгебра”). Немецкий ученый Г. Фреге применяет логику к исследованию математики, ее оснований; строит формализованную систему арифметики. Чарльз Пирс (1839–1914) начинает логико-семантические исследования. Математик и логик Эрнест Шредер (1841–1902) в своем труде “Алгебра логики” осуществляет первую попытку построения общей теории алгоритмов и исчислений.
Англичане Бертран Рассел (1872–1970) и Алфред Уайтхед (1861–1947) в своем труде “Принципы математики” открывают новое направление логических исследований, для которого характерно стремление применить средства математической логики к исследованию процесса познания. Математическое обоснование логики пытаются осуществить в форме дедуктивно-аксиоматического построения.
XX в. Логико-математической обработке подвергается вся информация (в том числе и правовая), поступающая в компьютерные системы.
История
4 в. до н.э. Первые работы по истории математики древнегреческого историка Евдема Родосского.
XII в. Кирик Новгородец – первый известный по имени русский математик – проводит арифметико-хронологические расчеты (работа “Наставление, как человеку познать счисление лет” 1136 г.).
XIX – XX вв. Изучение математических папирусов – памятников математической науки Древнего Египта, написанных иератическим письмом.
Наиболее известны папирус Ринда и “московский” папирус, представляющие собой собрание решений геометрических и арифметических задач.
Использование математических (и криптографических) методов в таких исторических дисциплинах, как египтология и палеография при изучении памятников древней письменности с целью расшифровки (точнее – прочтения), установления места и времени их создания (древнеегипетские иероглифы, послания древних жителей острова Пасхи и т.п.).
Вероятностно-статистические расчеты используются при определении авторства исторических документов, таких как, например, статьи конституции США 1787–1788 гг. (исследуется длина слов, частота их употребления и др.).
Культурология
XX в. В США в 1937–1941 гг. выходит четырехтомный труд “Социальная и культурная динамика” одного из величайших мыслителей ХХ века Питирима Александровича Сорокина (1889 – 1968), в котором была предложена оригинальная методика проведения не только качественного, но и количественного анализа культурных феноменов.
Математическими методами исследуется язык (информативность языка, избыточность; лексический объем; полисемия; коэффициент сохраняемости и др.).
Политология
XX в. В политологических исследованиях активно используется контент-анализ – количественный анализ любого рода политической информации.
В 1928 г. в США выходит книга С. Райса “Количественные методы в политике” – одна из первых работ по применению математических методов в изучении политики (корреляционный и факторный анализ).
Американский политолог Гарольд Лассуэлл (1902–1978) в своей работе “Анализ политического поведения. Эмпирический подход” (1948) на основе анализа статистических данных затрагивает широкий круг проблем взаимоотношений между людьми, морали и религии, науки и политики, методов познания политических явлений, понятий, терминов.
80-е гг. Советские и американские ученые под руководством В.В. Александрова и К. Сагана строят и исследуют математические модели последствий “ядерной зимы” и “ядерной ночи” (возможных после обмена ядерными ударами СССР и США), за время существования которых в течение нескольких суток жизнь на Земле практически исчезает. Эти выводы сыграли огромную роль в формировании во всех странах “нового мышления в ядерный век”.
90-е гг. “Карта политической температуры России” (1992) – одна из первых попыток в новейшей истории России на основе изучения поименных голосований депутатов применить математические инструменты в анализе политики.
Математический анализ и математические модели находят свое применение в избирательных технологиях.
Психология
Конец
XIX в. –
начало XX в. Френсис Гальтон (1822–1911) вводит понятие регрессионного анализа – метода математической статистики, позволяющего изучать зависимость среднего значения какой-либо величины от вариации другой величины (или нескольких).
Регрессионный анализ используется в эмпирических исследованиях и особенно необходим для конструирования психологических тестов.
Начинают широко применяться тестовые методы психической диагностики (Англия, 1890 г.). С помощью различных тестов с известной степенью вероятности может определяться одаренность детей (Франция, 1905 г.), производиться профессиональный отбор (Германия, 1910 г.), изучаться мыслительная деятельность и др.
XX в. Статистические методы повышают обоснованность выводов психологических, психолого-психиатрических, медико-психоло-гических и др. исследований.
Для нужд психологии Чарльз Спирмен (1863–1945) создает факторный анализ – метод многомерной математической статистики, применяемый при исследованиях статистически связанных признаков с целью выявления определенного числа скрытых от непосредственного наблюдения факторов (например, выделение основного фактора, определяющего интеллект).
Впоследствии такой анализ получил распространение в медицине, социологии, экономике и др.

Статистика
IV в. до н.э. – Философ и математик Аристотель впервые составляет количественные описания городов и государств своего времени.
XVIII в. Великий русский ученый Михаил Васильевич Ломоносов (1711–1765) в своих работах переходит от чистого описания социальных явлений к исследованиям с элементами анализа.
XIX в. Бельгийский ученый-математик, статистик, астроном, метеоролог, антрополог и социолог Адольф (Ламбер Адольф Жак) Кетле (1796–1874) вносит значительный вклад в становление статистики как науки.
Вырабатывает правила переписи населения и регулярности ее проведения, организовывает в 1853 г. Первый международный статистический конгресс в Брюсселе; основывает Международный статистический институт, который функционирует и сейчас.
Немало плодотворных исследований в области статистики проводит англичанин Карл (Чарльз) Пирсон (1857–1936), в частности, в теории корреляции, величин признаков в рядах распределения.
XX в. Существенное воздействие на современную статистику оказывают труды английского математика и генетика Рональда Фишера (1890–1962).
Социология
XVII – XVIII вв. Положено начало методам количественного исследования социальных процессов – работы представителей школы политической арифметики Эдмунта Галлея (1656–1674), Джона Граунта (1620–1674) и Уильяма Петти (1623–1687) по изучению движения населения (например, в Лондоне), анализу уровня смертности, исчислению народного богатства, дохода, численности и состава населения.
Начало
XIX в. А.Н. Радищев (1749–1802) первым затрагивает сущность важнейших статистических методов в целях законотворчества и организации борьбы с преступностью.
Пьер Симон Лаплас (1749–1827) в своей работе “Философ-ские очерки о вероятности” количественно описывает динамику народонаселения.
30-е гг.
XIX в. Адольф Кетле вводит понятие “социальная физика”, осуществляет переход к эмпирическому выведению статистически рассчитанных закономерностей с применением сложных математических процедур.
2-я пол.
XIX в. Карл Маркс (1818–1883) (“Капитал”) и Фридрих Энгельс (1820–1895) (“Положение рабочего класса в Англии”) при создании марксистской социологии исходят из того, что необходимо рассматривать социальные явления как факты и строить обществоведение по образцу естественных наук, с характерным для них причинно-следственным объяснением фактов.
Поль Лафарг (1842–1911) обнаруживает тенденции в движении общественных явлений, в т.ч. в количественном и качественном формировании преступности. Методологический интерес к его идеям остается и по сей день.
Работа Ю.Э. Янсона (1835–1893) “Сравнительная статистика России и западноевропейских государств” с анализом богатого фактографического материала.
Конец XIX – начало XX в. В США социология формируется как прикладная эмпирическая наука. Исследования базируются на значительной финансовой основе.
Социология, благодаря использованию математического аппарата, превращается в точную науку.
Фредерик Уинслоу Тейлор (1856–1915) произвел комплексные исследования (расчеты, моделирование) на предприятиях и создал первую в мире систему научной организации труда.
2-я пол.
XX в. Широко используются количественные методы: тестирование, шкалирование, факторный анализ, латентно-структурный анализ и др.
Развивается социальное прогнозирование: метод экстраполяций (построение динамических рядов показателей прогнозируемого процесса); метод экспертных оценок (в т.ч. метод Дельфи); моделирование.
Науки экономического направления (математическая экономика,
эконометрика, финансовая математика и др.)
XVII в. С возникновением капитализма появилась необходимость в специальных финансовых вычислениях (“коммерческие вычисления” или “коммерческая арифметика”).
Жак Савари (1622–1690) становится родоначальником систематизированного экономического анализа как составного элемента бухгалтерского учета.
Потребности страхового и банковского дела (и не только) потребовали появления одного из важнейших разделов математики – теории вероятностей – науки о случайных событиях.
XVIII в. Математические модели используются с иллюстративными и исследовательскими целями: Франсуа Кенэ (1694–1774), Адам Смит (1723–1790) – классическая макроэкономическая модель, Давид Рикардо (1772–1823) – модель международной торговли.
XIX в. Моделирование рыночной экономики (Л. Вальрас, О. Курно, В. Парето, Ф. Эджворт и др.).
Джузеппе Чербони (1827–1917) создает учение о синтетическом сложении и аналитическом разложении бухгалтерских счетов.
Первые работы по эконометрике – науке, исследующей количественные закономерности и взаимозависимости в экономике при помощи методов математической статистики.
XX в. Широчайшее применение математических моделей (Д. Хикс, Р. Слоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон и др.)
В экономических исследованиях применяется дисперсионный анализ (Р. Фишер), исследование производственных функций (модель американцев Кобба и Дугласа в 1928 г.).
Джон фон Нейман (1903–1957) и Оскар Моргенштерн (1902–1978) в 1944 г. впервые систематически излагают математическую теорию игр (на основе большого количества экономических примеров).
В 50-е гг. Х. Марковиц и Д. Тобин (лауреаты Нобелевской премии) выделяют новое направление математики  финансовую математику.
Леонид Витальевич Канторович (1912–1986) за разработку метода линейного программирования  общего метода решения целого ряда экономико-производственных проблем  получает Нобелевскую премию (совместно с К. Купмансом). Канторович также один из создателей теории оптимального планирования и теории оптимального использования сырьевых ресурсов.
Макроэкономика и микроэкономика развиваются за счет более высокого уровня их формализации. Используется достижения математической статистики, математического программирования, теории игр и др.
В коммерческой и производственной сфере все большее влияние оказывает логистика – наука об оптимизации материальных потоков, потоков услуг и т.п., а также об управлении ими.

Информатика, кибернетика, искусственный интеллект
4 – 2 тыс. до н.э. Используется шестидесятичная система счисления. Месопотамские математики использовали табулированные величины.
Изобретена масштабная линейка.
IV – V вв. до н.э. Исследования Аристотелем, а также Платоном и Сократом природы знаний и природы размышлений – корни искусственного интеллекта.
Изобретена доска для счета – “абак” – устройство для облегчения процесса вычислений.
II в. н.э. Герон Александрийский создает первые технические автоматические устройства: водяные часы; открывающий механизм; “Поющая птичка и сова”.
XIII в. Испанские ученые впервые описывают механические часы.
XV в. Великим творцом эпохи Возрождения Леонардо да Винчи (1452–1519) – математиком, механиком, художником, скульптором, фортификатором – разрабатывается эскиз суммирующего устройства с зубчатыми колесами.
XVI в. Изобретена логарифмическая линейка.
XVII в. Блез Паскаль создает первую модель вычислительной машины.
Г.В. Лейбниц дает описание своей счетной машины, которая механически производит сложение, вычитание, умножение и деление.
. Французский математик Марен Мерсен (1588–1648), немецкий ученый Атанасиус Кирхен (1602–1680) исследуют возможности сочинения музыки при помощи машин.
Нидерландский ученый Хейгенс Гюйгенс (1629–1695) реализует в маятниковых часах принцип обратной связи – один из важнейших принципов кибернетики.
Лейбниц и Декарт независимо друг от друга развивают идею универсальных научных языков, тем самым закладывая основу теоретических разработок в области создания искусственного интеллекта.
XIX в. Английский ученый Чарльз Беббидж (1791–1871) в 1830 г. разрабатывает проект “аналитической машины” – прообраза современной программно-управляемой автоматической машины. “Машина Беббиджа” предполагала в своем составе три основные части: “склад” для хранения чисел; “фабрику” для операций над числами; устройство для управления операциями с помощью перфокарт.
Леди Августа Ада Лавлейс (1815–1852) – дочь английского поэта лорда Байрона – разрабатывает первые программы для “машины Беббиджа”, заложив идеи и введя ряд понятий, сохранившихся до наших дней.
Французский математик и физик Андре Мари Ампер (1775–1836) в 1834 г. впервые применяет термин “кибернетика” для обозначения гипотетической науки об управлении (государством, обществом и т.д.).
Сэмуэл Морзе (1791–1872) на основе статистических исследований частоты встречаемости букв разрабатывает систему кодирования букв, цифр и знаков препинания – “азбуку Морзе”, которая значительно увеличивает скорость передачи сообщений.
Жан Морис Эмиль Бодо (1845–1903) создает первую практически пригодную систему телеграфной связи на основе пятизначного кода.
Русский ученый (математик, механик, а также министр финансов в 1888–92 гг.) И.А. Вышнеградский (1831–1895) закладывает основы теории автоматического регулирования.
XX в. Американский математик Джон Янош Нейман (1903–1957) сформулировал (1928 г.) основы теории игр, ныне широко применяемых в практике машинного моделирования сложных ситуаций.
Математики англичанин Алан Тьюринг (1912–1954) и американец Эмиль Леон Пост (1897–1954) (независимо друг от друга) выдвигают концепцию “абстрактной вычислительной машины” – универсального преобразователя дискретной информации (1936 г.).
Значительные работы Клода Шеннона, Джона Стибница (США), Конрада Зюса (Германия) по созданию автоматических вычислительных машин.
В 1938–1939 гг. в Америке демонстрируется сначала механическое, а затем и электронное говорящее устройство – синтезатор речи – “Вокодер”.
40-е гг. Сконструированы первые универсальные цифровые вычислительные машины: MANIAC, “Зюс–2”, “Белл II”, “Колосс–1”, “Марк–1”, “ЭНИАК”.
Американский математик Норберт Винер (1894 – 1964) выпускает в свет книгу “Кибернетика, или Управление и связь у животных”, что положило начало развитию теории автоматов и становлению кибернетики.
Клод Шеннон в 1946 г. вводит понятие меры информации (“Математическая теория передачи информации”).
Создатели теории информации указывают на то, что математические методы, применяемые в военных целях для раскрытия шифровок противника (и не только!), могут быть использованы для машинных переводов текстов с одного языка на другой.
50–70-е гг. Бурное развитие электронно-вычислительной техники, программирования, систем передачи информации.
В США разработана первая программа, обладающая свойствами искусственного интеллекта – “Экспертная система”.
Активно ведутся работы по моделированию музыки на ЭВМ.
Профессор Стэнфордского университета Джон Маккарти вводит в 1956 г. термин “искусственный интеллект”. Он же разрабатывает язык символьного проектирования ЛИСП.
Начинает работать семинар “Автоматы и мышление” под руководством советского математика Алексея Андреевича Ляпунова (1911–1973).
Исследования по искусственному интеллекту разделяются на два направления: нейрокибернетика и кибернетика “черного ящика”.
80–90-е гг. Создаются компьютеры V поколения (Япония), а затем и VI поколения – нейрокомпьютеры.
Развиваются параллельные вычисления. Появляются транспьютеры.
При кодировании компьютерной информации начинают использоваться достижения фрактальной геометрии (нового направления в современной математики).
Криптология (криптография и криптоанализ)
До
XVI в. Используются различные простейшие шифры и методы, для создания которых не требовались специальные математические знания (“скиталь”, “шифр Цезаря”, “Квадрат Полибия” и др.).
XVI в. “Полиграфия” – первая обобщающая работа по криптологии (1508). Работы известных ученых-математиков: итальянцев Леонардо да Винчи (1452–1519), Джероламо Кардано (1506–1576) (“решетки Кардано”), Джовани Батиста Порты; англичанина Френсиса Бэкона (1561–1626) (двоичное кодирование букв); французов Франсуа Виета (1540–1603) и Блеза де Вижинера.
Первые значительные практические результаты работы криптоаналитиков – получение стратегической информации из расшифровок (яркий пример – разгром англичанами Великой Армады – испанского военного флота).
XVII в. Значительные работы ученых: англичанина Джона Валлиса (1616–1703); немца Г. В. Лейбница.
Создание в 1712 г. Петром I (при участии Г.В. Лейбница) Цифирной палаты – российской шифровальной службы.
XVIII в. Криптография складывается в самостоятельную науку.
Многие выдающиеся математики привлекаются к криптографической службе (государственной), например Леонард Эйлер (1707–1783) в России.
Появляются попытки автоматизировать процесс шифрования. Томас Джеферсон (1743–1826) – будущий президент США – изобрел цифровое шифрующее колесо.
XIX в. Работы математиков: Карла Фридриха Гаусса (1777–1855); Чарльза Бэббиджа (1791–1871) по исследованию стойкости шифров; Э. Галуа (1811–1832); А. Керкхоффа (1835–1903).
XX в. Во время Первой мировой войны широко используются шифровальные устройства, например, германская шифрующая (и расшифровывающая) роторная машина “Энигма”.
30-е гг. В криптоанализе применяются методы комбинаторного анализа и теории вероятностей. Формируется теория алгоритмов.
40-е гг. Военные криптографы и криптоаналитики активно влияют на ход боевых действий во время Второй Мировой войны (например, в битвах на Курской Дуге, в сражении у атолла Мидуэй, перед бомбардировкой Ковентри и др.).
Для расшифровки перехватываемых немецких радиосообщений в Англии в 1942 г. создана первая ЭВМ. Появляются новые методы криптоанализа на основе использования ЭВМ.
Теорема Клода Шеннона о существовании абсолютно стойкого шифра, который невозможно вскрыть (“Математическая теория секретной связи”).
70-е гг. Работа У. Диффи и М.Э. Хэллмана “Новые направления в криптографии” (1977) по математической теории односторонних функций, доказательств с нулевым разглашением.
Исследования Р. Ривестом, А. Шамиром, Л. Адлеманом в области теории чисел приводят к созданию американского стандарта шифрования RSA.
Конец
XX в. Криптография широко входит в жизнь человека: шифрование передаваемых персональных сообщений в сети Интернет; электронная коммерция; электронная цифровая подпись; использование магнитных и микропроцессорных карточек (банковских и систем контроля доступа). Можно считать, что сегодня криптографические меры являются одними из самых эффективных при защите информации и противодействии преступным посягательствам в компьютерных системах.
Математические методы проникают и в родственное с компьютерной криптографией направление – компьютерную стеганографию, занимающуюся способами сокрытия (не шифрования!) информации.
Криптография и стеганография активно используют достижения современной математики (фрактальное кодирование и др.).
Естественные науки
(физика, астрономия, география, биология и др.)
3 в. до н.э. Архимед, отвечая на запросы практики, делает расчеты сложных гидротехнических сооружений (архимедов винт), метательных машин, а также устойчивости плавающих тел.
2 в. до н.э. Древнегреческий ученый Эратосфен Киренский закладывает основы математической географии, определяет размеры земного шара, а также проводит работы в области геодезии и картографии.
XVII в. Немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) открывает законы движения планет. Галилей и Кеплер на основе расчетов сооружают зрительные трубы.
Исаак Ньютон (1643–1727) – английский физик и математик создает теоретические основы механики и астрономии, разрабатывает дифференциальное и интегральное исчисление (наряду с Г.В. Лейбницем), изобретает зеркальный телескоп.
XIX в. Небесная механика во многом обязана математическим трудам П.С. Лапласа (объяснение движения планет, новый способ вычисления орбит, динамическая теория приливов, определение величины сжатия Земли у полюсов и др.).
С применением математического аппарата рассматриваются вопросы термодинамики паровых машин, технической механики, баллистики.
Французский физик и математик Андре Мари Ампер (1775–1836) математически обосновывает теорию электромагнетизма.
Немецкий астроном, геодезист и математик Фридрих Вильгельм Бессель (1784–1846) определяет расстояния до звезд.
Французский ученый Ж.Л. Пуазейль (1799–1840) и английский ученый Д.Г. Стокс (1819–1903) производят математическое описание процессов, происходящих в биологических системах (например, протекание крови в сосудах).
Немецкий биофизик Г. Гельмгольц (1821–1894) изучает физиологию рецепторов, строение органов зрения и слуха, описывает физические принципы их работы.
Немецкий ученый Г.Р. Кирхгоф (1824–1887) проводит математические исследования электрических цепей – формулы Кирхгофа в теории потенциала; представление электрических схем в виде графа.
Английский ученый Д.К. Максвелл (1831–1879) применяет математический аппарат (дифференциальные уравнения, векторное исчисление) в теории электромагнитного поля; становится одним из создателей статистической физики.
XX в. Основоположник современной гидро- и аэродинамики, российский ученый Николай Егорович Жуковский (1847–1912), изучая механизмы полета птиц, разрабатывает теорию полета. Его основные работы: “К теории летания” – 1890, “О парении птиц” – 1891. Жуковский в своих разработках нашел и некоторые виды сложных траекторий полета самолетов (например, будущую “петлю Нестерова”).
Английский ученый Пирсон изучением кривых распределения числовых характеристик человеческого организма закладывает основы современной математической статистики, изучает корреляцию в биологии.
Константин Эдуардович Циолковский (1857–1935) создает математическую теорию динамики ракеты.
Мстислав Всеволодович Келдыш (1911–1978) (впоследствии Президент Академии наук СССР) математическими расчетами решает проблему флаттера (внезапная вибрация самолета, приводящая к разрушению) и шимми (самовозбуждающиеся колебания шасси). Важные результаты были получены также и в области аэрогидродинамики.
Американский математик Норберт Винер в 1948 г. разрабатывает математическую модель работы мышцы.
Возникают и развиваются такие дисциплины, как математическая лингвистика и математическая биология (А.А. Ляпунов и др.).

4. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ И НАПРАВЛЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЙ МАТЕМАТИКИ В ПРАВОВЫХ НАУКАХ
Приложения математики благодаря универсальному характеру нашли свое достойное место и в правовых науках.
Юридическая (правовая) статистика
Начало XIX в. В различных странах начинается систематический сбор уголовной статистики: Россия (1802) – организация министерств и сбор данных по их работе; Бавария (1803) – перечень уголовной статистики; герцогство Баден (1809) – “уголовные таблицы”, (1830) “обзор судопроизводства”; Франция (1827) – первый уголовно-статистический ежегодник (за 1825 г.); североамериканский штат Нью-Йорк (1829) – первый сборник судебной статистики; Швеция (1832) – первый уголовно-статисти-ческий отчет; североамериканский штат Массачусетс (1834) – первый справочник об исполнении наказаний, Великобритания (1857) – полицейская уголовная статистика.
А.Н. Радищев (1749–1802), российский философ, писатель, юрист и статистик, в своей работе “О законоположении” (1802) приходит к исключительно важным выводам о роли уголовной статистики. Радищев предлагает конструктивную методику статистического наблюдения, разрабатывая для этого систему таблиц (“ведомостей”).
30-е гг.
XIX в. В работе Анри-Мишеля Герри (1802–1866) “Исследования моральной статистики во Франции” (1833) впервые появилось понятие “моральной статистики” (статистические сведения о преступности и иных явлениях, отражающих уровень морали в обществе).
Адольф Кетле утверждает, что задача статистики заключается в том, чтобы выявить и изучить законы общественной жизни, которые (по его мнению) не менее точны, чем законы природы. Он доказывает, что некоторые массовые общественные явления (рождаемость, смертность, преступность и др.) подчиняются определенным статистическим закономерностям.

Конец XIX в. –
начало
XX в. Александр фон Эттингтон (1827–1905) совершенствует уголовную статистику. Он считает, что необходимо: фиксировать не только окончательные приговоры, а и заявления в полицию; классифицировать уголовные дела по видам преступлений и основным мотивам; составлять обзор по вынесенным приговорам; регистрировать рецидив; вести учетные карточки; разделять случайную и профессиональную преступность; а самое главное – различать первичную и вторичную статистику.
Георг фон Майар (1841–1925) предлагает организовать полицейскую уголовную статистику; выступает за то, чтобы учитывать в уголовной статистике экономический ущерб, наносимый преступными действиями, особенно имущественными преступлениями.
XX в. Важность математического анализа данных в правовой сфере и его адекватности происходящим процессам подтверждается тем фактом, что политическое руководство СССР с 30-х по 90-е гг. засекречивает данные уголовной статистики, хотя работы по сбору информации и исследования в этой области не прекращаются.
В 1954 г. состоянием международной уголовной статистики начинает заниматься Международная организация уголовной полиции (Интерпол).
В 1977 г. ООН осуществляет первый всемирный учет преступности.
Криминология
Начало XIX в. А.Н. Радищев составляет программы статистического наблюдения “язв” общества, связанных с преступностью. Высказанные им идеи и сейчас используются в исследованиях.
К.Ф. Герман (1767–1838) в докладе “Изыскания на тему смертоубийств и самоубийств в России” (1823), основываясь на данных уголовной статистики, отражает результаты своих исследований с применением сводок, группировок, коэффициентов преступности и др.
Используя статистический материал, Н.Г. Юлиус делает сравнение преступности в США и некоторых европейских странах (1828).
30-е гг.
XIX в. Адольф Кетле в своих работах (например, “Расчет вероятных преступлений”), опираясь на статистические данные, показывает влияние на преступность целого ряда факторов (факторный анализ): возраста, пола, климата, бедности, образования и др. Кетле также изучает проблемы прогнозирования – доказывает стабильность преступности в прошлом, настоящем и факт устойчивости закономерностей ее развития в будущем. Так, в 1829 г. Кетле удивительно точно предсказывает не только число, но и различные виды преступлений, которые будут иметь место во Франции в 1830 г.
2-я пол.
XIX в. Карл Маркс (1818–1883) в работе “Население, преступность и пауперизм” показывает важную закономерность: преступность растет быстрее, чем численность населения.
Анри-Мишель Герри (1802–1866) на основе статистических данных проводит значительные исследования по сравнению преступности.
XX в. Поль Лафарг доказывает на конкретных материалах, что тенденции в изменении преступности совпадают с неустойчивостью производства.
Математические модели широко используются при прогнозировании различных негативных социальных явлений; в профилактике преступлений и правонарушений.
Криминалистика, судебно-экспертная деятельность
XVIII в. “Донаучное” использование математики (арифметики). Так, например, в германских судебных установлениях определялось, какие доказательства равны не только 1/2, но и 1/4, 1/8 и меньшим долям совершенного или полного доказательства (за единицу принималась “царица доказательств” – признание обвиняемым своей вины). Деятельность судьи при этом сводилась к элементарному арифметическому подсчету.
30-е гг.
XIX в. Адольф Кетле на основе серьезных антропологических и статистических исследований утверждает, что шанс (вероятность) встретить двух совершенно одинаковых по росту людей не выше чем 1/4, тем самым закладывая основы криминалистической идентификации.
Конец
XIX в. В XIX в. в Европе особенно активное развитие получила рецидивная преступность. Отчасти это происходило из-за того, что было очень сложно установить факт привлечения в прошлом к уголовной ответственности человека, задерживаемого по подозрению в совершении преступления (клеймение заключенных было отменено, описательные карточки и “полицейские парады” не давали должного эффекта, а фотография только зарождалась).
Решая задачи точного (и быстрого!) установления личности, служащий французской полиции Альфонс Бертильон (1853–1914) заметил, что размеры отдельных частей тела у различных людей могут совпадать, но почти никогда не совпадают размеры четырех или пяти частей тела одновременно. Поддерживая идеи Кетле, Бертильон пришел к заключению, что если помимо измерения роста человека добавлять еще одно измерение (например, длины указательного пальца), то вероятность совпадения станет 1/16 (=1/4•1/4) , при 11 измерениях – 1/4191304, а при 14 – вероятность совпадения всех показателей еще снизится – до соотношения 1/286435456, т.е. один шанс на почти 286 млн. (а это значение уже может быть сопоставимо с населением Земли). Так как каждый набор результатов измерений в этом случае будет уникален, то, следовательно, появляется возможность идентифицировать любого человека.
Учитывая, что при увеличении количества измерений, надежность идентификации еще повысится (с помощью специального инструментария определяется также размах рук, объем груди, размеры отдельных частей головы, пальцев, предплечий, ступней и др.), в 1879 г. Бертильон разрабатывает антропометрический метод уголовной регистрации – “бертильонаж”, суть которого в занесении полученных данных в карточки, которые в дальнейшем систематизируются.
В 1883 г. А. Бертильон впервые осуществляет идентификацию лица, ранее прошедшего регистрацию по его методу, а до конца года им были определены 26 преступников. В картотеке к этому времени было уже 7 336 карточек, причем не было обнаружено ни одного случая полного совпадения результатов измерений частей тела зарегистрированных лиц, т.е. данный метод был несравненно более надежен и эффективен, чем другие методы, применявшиеся ранее в практической деятельности по раскрытию преступлений.
С разработки бертильонажа начался первый этап процесса использования математики в борьбе с преступностью.
Бертильоном в это же время разрабатывается сигналетика – способ точного фотографирования преступников (в масштабе 1:7 и 1:20 с помощью метрического фотоаппарата) и их идентификации.
Конец
XIX в. Английский антрополог и психолог, один из создателей евгенетики, Френсис Гальтон (1822–1911), чиновник британской колониальной администрации в Индии Уильям Хершел (1833–1917), а также врач-шотландц Генри Фолдс на основе использования богатого статистического материала исследуют возможности идентификации людей по их отпечаткам пальцев.
После решения проблемы классификации отпечатков пальцев англичанином Эдвардом Генри (1850–1931) и аргентинцем Хуаном Вучетичем (1858–1925) независимо друг от друга появляется новая система идентификации – дактилоскопия.
XX в. “Бертильонаж” уступает место дактилоскопии, как более надежному и простому методу идентификации.
На основе передовых научных разработок и хорошего технического оснащения в ФБР США создается самая крупная служба дактилоскопической идентификации.
Выдающийся русский криминалист Е.Ф. Буринский (1849–1912) в работе “Судебная экспертиза документов” (1903 г.) пишет: “Почерковедение имеет все данные, чтобы сделаться точной наукой, потому что материал, которым она оперирует, поддается измерению, и исследуемые ею явления – правильному наблюдению и эксперименту… Измерения и математика откроют нам постоянные законы и поставят эту отрасль знания в ряд точных наук”.
Криминалистами, разделяющими идею А. Бертильона о возможности и необходимости количественной оценки вероятности встречаемости признаков почерка, разрабатываются различные элементы почерковедческих экспертиз: немцем Б. Мюллером (оценка идентификационной значимости некоторых признаков почерка); американцем С. Смитом (измерение и сравнение протяженности и угла наклона элементов букв – метод “плюс-ноль-минус факторов”); французом Э. Локаром (статистические кривые не менее 27 качественных особенностей почерка – “графометрический” метод).
Французский профессор судебной медицины Бальтазар выдвигает идею, суть которой состоит в том, что, используя математический аппарат, представляется возможным сделать более научно обоснованным любой вид криминалистического исследования.
Бальтазару в 1911 г. в дактилоскопии удается достичь первых реальных результатов в плане разработки количественного идентификационного критерия. Так, например, долгое время считалось классическим такое положение, рассчитанное им: для безошибочной идентификации человека по следам пальцев его рук необходимо выделять не менее 17 признаков, при этом совпадение 12 из них является надежной гарантией, количественным критерием тождества.
В дактилоскопии применяются формульные системы регистрации (описание папиллярного узора на десяти пальцах заменяется формулой-дробью с основной и дополнительной частью).
Профессор Лозаннского университета Рудольф Арчибальд Рейсс (1876–1928) продолжает развитие сигналетики (его известная работа, изданная в 1904 г., – “Словесный портрет. Опознание и отождествление личности по методу Альфонса Бертильона” со схемами элементов изображения лица). Им создается также цифровой код, с помощью которого можно было передавать по телеграфу формулу “словесного портрета” разыскиваемого преступника.
Н. Бокариус в 1924 г. в Харькове составляет “Справочный подручный альбом для работников уголовного розыска и милиции при составлении портрета”, используя вспомогательные геометрические фигуры.
На научной основе развивается судебная баллистика. С применением математических методов более полно исследуются механизм выстрела и полет пули.
2-я пол. XX в. Начинаются фундаментальные работы по использованию математики в криминалистике. Обосновывается применимость математических, в том числе вероятностно-статистических, методов в различных видах судебной экспертизы (почерковедческой, дактилоскопической, судебно-портретной, судебно-медицинской и др.).
60-е гг. Второй этап процесса использования математики в криминалистике в значительной степени связан с широким применением электронно-вычислительной техники. Развивается аппарат различных разделов математики: аналитической и проективной геометрии, теории распознавания образов, математической логики, теории множеств и др.
Начинают проводиться научные конференции по проблемам математизации и кибернетизации криминалистической деятельности и судебного доказывания. Юристами и математиками обсуждаются также вопросы автоматизации обработки информации и оптимизации управления системой уголовной юстиции на базе использования ЭВМ.
70-е гг. Математика совершенствует криминалистическую тактику.
Идут поиски математических методов для формализации (и оптимизации) процесса расследования преступлений (например, система “трафаретов”).
Осуществляются попытки алгоритмизации действий следователя.
Развитие фоноскопии на основе совершенствования математических методов анализа-синтеза речевых сигналов. Исследуется устойчивость признаков устной речи (время, амплитуда, частоты, интенсивность, скорость, диапазон, флюктуации, речевой поток, ритмика и т.д.) для определения возможности идентификации личности. Производятся вероятностные расчеты для определения надежности технических средств звукозаписи при судебно-электроакустической экспертизе.
Графические (геометрические) методы находят место при расследовании пожаров.
80–90-е гг. Экстраполяция, моделирование и другие математические методы “приходят” в криминалистическое прогнозирование – одну из частных криминалистических теорий.
Создаются компьютерные моделирующие программы: для расследования дорожно-транспортных происшествий; для реконструкции лица по частям черепа (идентификация останков); для проведения баллистических экспертиз и т.п.
В России эффективно эксплуатируется автоматизированная дактилоскопическая идентификационная система (АДИС) “Папилон”. В Российском федеральном центре судебной экспертизы разрабатываются автоматизированные системы для проведения экспертиз: автотехнической – “АВТОЭКС”, судебно-баллисти-ческой – “БАЛЭКС”, почерковедческой – “ГРАФОЭКС”, дактилоскопической – “ДАКТОЭКС”.
После длительных исследований (в основном вероятностно-статистических) в Великобритании, ФРГ и США в качестве метода судебно-криминалистической экспертизы утверждается в юридической практике генная идентификация.
Вычисления показывают, что генная “дактилоскопия” надежнее традиционной, т.к. вероятность совпадения участков ДНК у двух людей – 1/30 млрд., т.е. практически нулевая (исключение составляют однояйцевые близнецы).
В экспертной практике закрепляется вероятностно-статистический метод оценки совпадающих частных признаков почерка, основанный на подсчете частоты их встречаемости в почерках разных лиц.
Метод позволяет объективизировать суждение эксперта об индивидуальности и достаточности для обоснования вывода совокупности выделенных признаков почерка.
Проводятся исследования корреляционных признаков устной и письменной речи для более качественного проведения экспертиз.
Статистические и математические исследования позволяют утверждать, что появились новые научные направления: статистическая дактилоскопия, криминалистическая дерматоглифика .
Начинают использоваться автоматизированные габитоскопические системы (для идентификации внешнего облика человека) с демографическим, корреляционным, размерным (по расстояниям между антропометрическими точками), векторным поиском информации.
Появление вейвлет-анализа – одного из лучших математических достижений последнего времени – оказывает непосредственное влияние на дактилоскопию. Вейвлет-преобразования позволяют разложить любой сигнал (рисунок, звук и т.п.) более эффективно, чем классическим способом – на сумму гармоник (синусоид) разной частоты.

Благодаря вейвлетному сжатию изображений отпечатков пальцев Федеральному бюро расследований США удалось на порядок уменьшить объемы хранимой дактилоскопической информации (десятков миллионов человек), увеличить скорость поиска данных и, соответственно, значительно снизить финансовые затраты на регистрацию.
В настоящее время при решении криминалистических задач применяются самые разнообразные математические методы. Вот некоторые из них:
• измерения на месте происшествия;
• вычисление размеров сфотографированного на снимках;
• предположительное суждение о росте человека по следам рук и ног;
• предположительное определение пола и возраста человека;
• вычисление скорости движения автомобиля по тормозному пути;
• вычисление дистанции безопасного движения;
• оценка величины отклонения при падении тела с высоты;
• определение пробивного действия пули;
• вычисление дистанции стрельбы и нахождение места стрелявшего;
• расчетная оценка массы заряда взрывного устройства;
• установление возможности узнавания человека, наблюдаемого на расстоянии и др.
Другие направления права
IX в. Гражданско-правовые задачи.
Как прием решения правовых задач используется алгоритмизация (термин получил свое название в честь узбекского ученого аль-Хорезми). Аль-Хорезми (787–ок. 850) составляет сборник правил разрешения юридических казусов, возникающих при торговых сделках, разделе имущества и др.
Нач.
XIX в. Юридическая психология.
Французский математик (а также физик и астроном) Пьер Симон Лаплас изучает психологические вопросы надежности свидетельских показаний (“Опыты философии теории вероятностей”). Он пытается численно оценить вероятность свидетельских показаний и связать их с вероятностью исходов судебных приговоров. В его исследовательскую схему (модель) входят:
вероятность самого события и вероятности следующих четырех гипотез в отношении допрашиваемого:
а) свидетель не ошибается и не лжет,
б) свидетель лжет, но ошибается,
в) свидетель не ошибается, но лжет,
г) свидетель и ошибается, и лжет.
XVIII – XIX вв. Конституционное (государственное) право.
Первые попытки совершенствования избирательной системы при помощи расчетов. Проводится численный анализ: пропорционального представительства политических объединений, избирательных квот (предложен английским барристером Томасом Хэром в 1855 г.), распределения избирательных округов и т.п. Для манипуляций с избирательными округами, в которых нарушается принцип равного представительства, появился даже термин “избирательная геометрия”.
XX в. В США в 50-е гг. возникает правометрия – новое направление в юриспруденции, основное внимание которого уделяется количественно-статистическим методам исследования и использованию символьной логики для анализа правового материала, а также применению электронно-вычислительной техники для обработки эмпирического материала.
В теории государства и права математические расчеты проводятся при анализе осуществления права, эффективности права.
Математический аппарат используется при создании автоматизированных информационно-логических систем (АИЛС) для органов дознания и предварительного следствия правоохранительных органов.
В следственной практике (следственная деятельность, судебные разбирательства и др.) находит свое место математическая теория игр. Один из типичных примеров рассмотрения в правовой сфере теоретико-игровых моделей конфликтных ситуаций в условиях неопределенности (“Дилемма заключенного”) – поиски изолированным задержанным ответа на вопрос “Сотрудничать или не сотрудничать со следствием?” в ситуации, когда подельники также ищут удобные для себя решения.
Комбинаторные, вероятностные и статистические вычисления помогают раскрывать мошенничества.
В юридической практике (после длительных исследований с начала века) широко применяются полиграфы (иначе “детекторы лжи”) – устройства, регистрирующие во время ответов человека
на вопросы его психофизиологические показатели: дыхание, кожно-гальванические реакции, сердечно-сосудистая деятельность, двигательная активность, речевые функции и т.п. Математический анализ (именно математический!) изменений параметров позволяет судить о правдивости ответов (как показывает практика, с достоверностью  90 %).
Полиграфы внедряются также и в коммерческую сферу: прием на работу, работа с персоналом, раскрытие мелких краж и т.п.
В оперативно-розыскной деятельности математические методы анализа также находят место. Создаются автоматизированные системы поиска в сети Интернет оперативной информации для расследования или профилактики преступлений; составляются матрицы ассоциаций, например, матрицы телефонных соединений при определении активности абонентов; строятся диаграммы связей, например, диаграммы потоков оружия и денег.
В правоохранительной деятельности (органы внутренних дел, службы безопасности, частные охранные предприятия и др.) математическими методами решаются задачи о расстановке сил и средств. Например, определяются минимальные потребности в количестве сотрудников патрульно-постовой службы милиции общественной безопасности в соответствии с криминологической обстановкой.
В управленческой деятельности юристов самых различных направлений наряду с другими математическими разработками используются элементы теории массового обслуживания  математический аппарат помогает организовать эффективную работу коллективов (фирм) адвокатов, нотариусов, юрисконсультов, дежурных и справочных служб и т.п.
В законотворческой и нормотворческой деятельности для повышения качества нормативно-правовых документов широко применяются математические методы обработки статистической информации: корреляционный, регрессионный, факторный и другие виды анализа.

Правовая информатика и правовая кибернетика с привлечением самых разнообразных математических методов решают проблемы создания и оптимального функционирования правовых систем и процессов, а также информационных комплексов и систем в области права.

5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ПРАВОВОЙ СФЕРЕ
В правовой сфере, как и в науке, технике, экономике, применяются методы из самых разных направлений и разделов математики. Вот основные из них.
Математические
методы Тип решаемых задач
Аксиоматический Построение научной теории в самых различных сферах.
Моделирование Исследование различных объектов и процессов; нахождение характеристик; оптимизация; прогнозирование (например, криминологическое).
Арифметические
(доли, проценты, пропорции) Простые вычисления в различных сферах правовой деятельности.
Алгебраические
(уравнения, функции) Расчеты количественных характеристик в криминалистике, криминологии, социологии и др.
Арифметические
и геометрические прогрессии Расчеты в задачах, содержащих последовательности взаимосвязанных показателей и объектов (например, так называемые “финансовые пирамиды”).

Комбинаторные Вычисления, связанные с сочетанием различных объектов (событий), их перестановкой и размещением.
Геометрические Геометрические построения в баллистке, в почерковедении, при идентификации портретов, при расследовании пожаров (“очаговый конус”) и др.

Логические Оценка правовых ситуаций, связанных с определением истинности или ложности информации.
Оптимизации –
линейное и нелинейное
программирование Выбор оптимального варианта решения задачи для случая, когда условия описываются уравнением 1-й степени (типа y = a + b•x) либо 2-й и более степени.
динамическое
программирование Выбор оптимального плана операции, когда результаты каждого последующего этапа зависят от предыдущего.

Вероятностные Расчеты, связанные с величинами и процессами случайного характера (например, при выдвижении версий, при проведении экспертиз).

Статистические Методика сбора, обработки, анализа разнообразных статистических материалов; прогнозирование (например, при планировании профилактических мероприятий).

Метод статистических
испытаний
(метод Монте-Карло) Расчеты, связанные с величинами и процессами случайного характера, на основе искусственно произведенных статистических материалов (например, при моделировании сложных систем, таких как управление уличным движением).
Метод
статистических
решений Выработка решений в условиях неопределенности ситуации, вызванной объективными обстоятельствами.

Методы теории игр Выработка решений в условиях неопределенности ситуации, вызванной сознательными злонамеренными действиями конфликтующей стороны (например, при поиске преступников; при подготовке и рассмотрении дел в суде и др.).

Методы теории массового обслуживания
(теории очередей) Расчеты показателей (чаще производственно-экономических) и выработка необходимых рекомендаций в массовых повторяющихся случайных процессах (например, организация работы нотариальной конторы, дежурной или спасательной службы, определение сил и средств охраны).

Сетевое планирование Составление и реализация рациональных планов проведения операций, предусматривающих решение задачи в кратчайший срок и с наилучшими результатами (например, эффективная расстановка персонала по объектам и этапам работы).

Некоторые из перечисленных математических методов далее рассмотрены более подробно.

Вероятностные методы
Вероятностные методы вырабатывает теория вероятностей – математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях и позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с ними.
Практически не найти такую сферу человеческой деятельности, в которой не использовались бы вероятностные методы (чаще – вероятностно-статисти-ческие). Эти методы базируются на понятиях случайного события и вероятности (подробнее об основных понятиях и теоремах теории вероятностей см. Приложение). Окружающие нас явления носят случайный характер (состояние атмосферы, физические эксперименты, производственные процессы, курс доллара, количество ДТП, общественно-политические ситуации и т.п.).
Вероятность представляет собой количественную характеристику возможности наступления некоторого случайного события. Исторически сложились различные подходы к определению вероятности: интуитивный, классический, статистический, аксиоматический.
Интуитивный подход – “неточный” подход, при котором вероятность понимается как некая степень уверенности человека в появлении событий. Примером могут служить такие высказывания: “маловероятно, что сегодня документы будут подготовлены”, “завтра, возможно, пойдет дождь”, “шансы 50 на 50” и т.п.
Классический подход к определению вероятности сформировался в XVII в. в результате анализа азартных игр и основан на понятии равновозможности событий. Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим. Например, появление орла или решки при одном подбрасывании монеты; случайный выбор какой-либо карты из колоды и т.п.
Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятных событию А, к числу всех исходов испытания
Р(А) = m(A) / n

При статистическом подходе вероятность (или статистическая вероятность) события определяется как относительная частота , т.е. отношение числа реализаций, благоприятных данному событию, к общему числу проведенных испытаний
Р*(А) = m(A) / n.
При небольшом числе опытов частота события носит случайный характер, который все более исчезает при увеличении числа опытов и проявляет тенденцию к стабилизации (с весьма малыми колебаниями) у некоторой постоянной величины. Свойство “устойчивости частот”, подтвержденное всем опытом практической деятельности человечества, есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях. Математическую формулировку этой закономерности впервые дал Я. Бернулли в своей теореме, которая представляет собой простейшую форму закона больших чисел .
Аксиоматический подход описания вероятности предложен в 1933 г. А.Н. Колмогоровым. Аксиоматическое определение вероятности включает в себя и классическое, и статистическое определения как частные случаи.

Некоторые примеры использования понятия вероятности в правовой практике.
Пример 5.1. Вероятностные расчеты использованы как улика.
В статистической литературе описан такой случай из американской судебной практики. Во время нападения на женщину мужчина оставил на полу следы своей крови. Жертва не видела лицо нападавшего, но была совершенно уверена в том, что это был мужчина с рыжими волосами, рост которого более шести футов. Анализ крови показал, что это группа крови АВ, содержащая спирохеты (возбудители сифилиса). Через некоторое время был задержан один субъект с аналогичными характеристиками.
Поскольку группа крови АВ встречается у 3 (частота встречаемости Р1*= 0.03) населения, около 5 (Р2*= 0.05) имеют рыжие волосы, не более 1 % (Р3*= 0.01) белого населения больны данной болезнью и около 10 (Р4*= 0.1) взрослых мужчин ростом свыше шести футов, то вероятность того, что взятый наугад американец обладает всеми указанными выше признаками, в соответствии с теоремой умножения вероятностей определяется Р = 0.03 • 0.05 • 0.01 • 0.10 = 0.0000015.
Такая ничтожно малая вероятность указала на неслучайность данного совпадения и послужила одной из серьезных улик для обвинения задержанного.

Пример 5.2. Понятие вероятности в документах экспертизы.
В практику судебной медицины входят новые методы идентификации, основанные на анализе дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК). При установлении этими методами тождества сравниваемых объектов возможны такие формулировки выводов: 1) “При исследовании пятен крови на ноже… выявлены те же генетические признаки, что и в крови гражданина П. Вероятность их случайного совпадения составляет 1:250000, т.е. обнаруженные признаки в их сочетании встречаются в среднем у одного человека из 250 тысяч”.
2) “Результаты генетического анализа крови ребенка Н. и гражданки К. не исключают возможности происхождения этого ребенка от данного лица. Вероятность случайного совпадения признаков, выявленных в генотипах ребенка Н. и гражданки К., составляет 2•10 4. Это означает, что ребенок с обнаруженными генетическими признаками может родиться в среднем у двух женщин из 10 000”.

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины, под которой понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее определять вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет какое-то значение или попадет на какой-то интервал). Если случайная величина Х имеет данный закон распределения, то про нее говорят, что она “распределена” по этому закону (“подчинена” этому закону).
Некоторые важные для практики распределения случайных величин: 1) непрерывных  равномерное, показательное, нормальное (распределение Гаусса), Гамма-распределение и распределение Эрланга; 2) дискретных  биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, распределение Пуассона и др. Аппарат теории вероятностей позволяет вычислять различные числовые характеристики этих распределений (среднее, моменты, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и др.) и использовать их при описании различных реальных процессов.

Комбинаторные методы
Комбинаторные методы (комбинаторика) используются в вероятностных расчетах, а также в ситуациях, когда нужно из некоторой группы выбрать объекты (предметы, события, информацию о них и т.п.) по заданному критерию, расположить их в определенном порядке и узнать число возможных комбинаций.
Простые комбинаторные задачи решаются с использованием метода составления так называемого дерева (графа).
В более сложных задачах используются понятия перестановок, размещений, сочетаний; соответствующие формулы и правила (подробнее см. Приложение).
Статистические методы
Под статистическими методами понимают методы математической статистики – раздела математики, посвященного систематизации, математической обработке и использованию статистических данных в научной и практической деятельности.
К статистическим методам относятся: статистическое описание; статистическое оценивание; проверка статистических гипотез; корреляционный анализ; регрессионный анализ; кластерный анализ; факторный анализ; выборочный метод; методы исследования и контроля массового производства; методы планирования эксперимента и др.
Статистические методы получили широчайшее распространение благодаря их тесному взаимодействию с вероятностными методами, а также благодаря тому, что формальная математическая сторона этих методов безразлична к специфической природе изучаемых объектов.

Пример 5.3. Статистические и комбинаторные методы в дактилоскопии.
В дактилоскопии одной из основных проблем является выявление статистических связей: между признаками внутри папиллярного узора (“внутренняя статистика”) и между признаками папиллярного узора и характеристиками (“внешняя статистика”).
Для решения задач “внутренней статистики” используются вероятностные и комбинаторные методы. Результатами исследований установлено, что реальный объем информации в следе определяется не только числом и видом деталей (см. рис. 5.1), но и другими параметрами: частотой встречаемости деталей (более редкие детали обладают большей значимостью); размещением деталей в потоке папиллярных линий (чем больше возможных комбинаций, тем больше информационная ценность каждой из них); величиной следа, выраженной длиной папиллярных линий.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Рис. 5.1. Детали папиллярных узоров
1 – сплошная линия; 2 и 3 – начало и конец линии; 4 – фрагмент (короткие линии); 5 – фрагмент-точка; 6 и 7 – крючки, обращенные вверх и вниз; 8 – мостик; 9 и 10 – разветвления вверх и вниз; 11 – глазок (островок); 12 – петля; 13 и 14 – открытая и закрытая дельты.

Задачи “внутренней статистики” (установление статистических связей между признаками папиллярного узора с одной стороны и полом человека, его ростом, возрастом, группой крови, расовой принадлежностью и т.п. – с другой) решаются средствами статистики (регрессионный анализ, корреляционный анализ и др.).

Пример 5.4. Использование в адвокатской практике статистических данных, комбинаторных и вероятностных расчетов.
В 1968 г. известному американскому доктору, писателю и общественному деятелю Бенджамину Споку, активно протестовавшему против войны во Вьетнаме, в районном суде Бостона (суд присяжных) было предъявлено обвинение в проведении незаконной деятельности, препятствующей осуществлению на практике закона о воинской службе. Адвокаты Спока подвергли сомнению объективность процедуры, использованной при определении состава присяжных, поскольку среди присяжных не оказалось ни одной женщины. Последнее обстоятельство весьма немаловажно, так как симпатии женщин-присяжных скорее всего были бы на стороне Спока (его всемирно известные книги об уходе за младенцами являются настольными для миллионов матерей).
Процедура отбора присяжных была проанализирована следующим образом. Вообще отбор состоит из нескольких этапов. На первом этапе секретарь суда случайным образом отбирает имена 300 потенциальных присяжных. На втором этапе снова (как предполагается) наугад из этих 300 выбираются около 30 человек, на имена которых выписываются повестки в суд. И наконец, перед началом суда из числа пришедших отбирается 12 человек, которые и выполняют соответствующие функции. Со статистической точки зрения важным является то, что в населении Бостона доля женщин несколько выше доли мужчин. Поэтому можно ожидать, что в списке отобранных кандидатов на первом этапе женских имен окажется чуть больше 150, а на втором и третьем этапе – около половины.
Рассмотрение списков суда показало, что в выборки, как правило, попадает не более 90 женщин. Однако и в этих случаях, как показывают простые расчеты, шанс того, что в составе суда присяжных не окажется женщин, будет не более чем один из нескольких миллионов. Таким образом, в соответствии с логикой метода проверки гипотез, гипотеза о случайном характере формирования выборки присяжных должна быть отвергнута.
Математическое моделирование
Моделированием называется процесс создания моделей.
Модель  это искусственно созданный объект в виде словесного описания, схемы, логико-математических знаковых формул, физической конструкции и т.п., который отображает и воспроизводит в более простом виде свойства, взаимосвязи и отношения между элементами исследуемого объекта, процесса или явления. Различают словесные, знаковые, графические, физические, математические модели.
Математическая модель  это модель в которой изучаемое явление или процесс представлены в виде математических закономерностей.
Модели бывают: динамические и статические; детерминированные и стохастические; аналитические и имитационные; абстрактные и реальные.
Моделирование  мощный метод исследования, основными принципами которого являются: адекватность исследуемому объекту (процессу); универсальность; блочность (для сложных моделей); минимальные время, трудоемкость и стоимость разработки.

Основные этапы процесса моделирования.
Определение целей и задач исследования;
Выявление и формулирование требований, предъявляемых к модели;
Формализация задачи, составление формальной модели;
Сбор исходных данных;
Выбор математического аппарата;
Подбор и разработка программного обеспечения (если необходимо) ;
Проверка модели (и отладка программного обеспечения) ;
Проведение расчетов (реализация модели).
Анализ результатов.
Корректировка (если необходимо) программного обеспечения, математического аппарата, модели и др.

Существуют самые разнообразные математические модели: социологические, криминологические, криминалистические и др .

Пример 5.5. Модель – “эффект воронки”.
Статистические данные и математический анализ позволяют создавать криминологические модели, позволяющие прогнозировать различные негативные явления.
Широко известна, например, модель под названием “эффект воронки” – уменьшение числа преступлений и преступников в процессе их учета инстанциями формального социального контроля.

.
Совершенные преступления, известные жертвам
Преступления, известные правоохранительным
органам
Подозреваемые
Условно осужденные
Осужденные
Заключенные

Рис. 5.2. Модель “Эффект воронки” (без числовых данных).

Пример 5.6. Криминологическая модель “доходы – преступность”.
Давно разрабатываемая криминологическая модель – влияние разрыва в доходах населения на уровень преступности. Серьезные исследования на эту тему проводятся с XVIII в. Начало им положил Платон. Он в свое время в целях уменьшения числа (предупреждения, профилактики) преступлений предлагал устанавливать разницу между бедностью и богатством в пределах 1:4.
Подтверждение правильности подобных моделей можно видеть на примере бурного роста криминогенности в России в 90-е гг. Статистические данные показывают, что в эти годы интенсивно увеличивался разрыв в доходах населения (коэффициент, раскрывающий соотношение 10 % самых бедных и 10 % самых богатых). В 1991 г. он составлял 1:4.5, в 1992 – 1:8, в 1993 – 1:10, в 1994 – 1:15. Официальные данные за 1997 г. показывают разрыв 1:24. Скрытый же разрыв еще больше.
Для сравнения следует отметить, что в демократических европейских государствах этот показатель близок к пятикратному. Вывод же, базирующийся на данных уголовной, моральной и социально-экономической статистики, таков: социально опасным считается соотношение 1:10.

Пример 5.7. Математическое моделирование при расследовании дорожно-транспортных происшествий.
Математическое моделирование помогает расследовать дорожно-транспортные происшествия, связанные с опрокидыванием транспортного средства на поворотах. В данном случае необходимо определить, не превысил ли водитель скорость при движении на повороте (схема на рис. 5.3).

Рис. 5.3. Параметры движения автомобиля на повороте.

Модель в данном случае строится следующим образом. Формулируется задача  определить каким-либо способом скорость движения автомобиля, т.к. только по этому параметру (превышена  не превышена) можно сделать правовые выводы.
Используется аналитический аппарат математики (формулы).
Определяется условие устойчивости автомобиля. На автомобиль (на его центр тяжести), движущийся по кривой, действуют две силы (см. рис. 5.4): сила тяжести и центростремительная сила. Первая из них прижимает автомобиль к земле, а вторая – стремится перевернуть его (вокруг центра О). Если произведение силы тяжести на его плечо (можно принять как 1/2 колеи  расстояния между осями шин) больше произведения центростремительной силы на высоту центра тяжести, то положение автомобиля устойчиво. В противном случае  автомобиль опрокинется.

Рис. 5.4. Силы, действующие на автомобиль, движущийся на повороте.

После подставления FЦ = m V2/R в уравнение mgB/2 = FЦ h , получается формула для определения критической скорости движения по радиусу поворота VОПР (т.е. минимальной скорости на повороте, при которой начинается опрокидывание транспортного средства).
В этой формуле: g  ускорение свободного падения (9.81 м/с); B  ширина колеи, м; h  высота расположения центра тяжести автомобиля (зависит от марки автомобиля, а также расположения пассажиров и груза), м; R  радиус поворота, м.
Радиус поворота можно вычислить по формуле, представленной на рис. 5.3. Для этого проводятся измерения: длины хорды АС  l и расстояния от центра хорды АС до дуги АС (траектории автомобиля)  k.
Использование модели происходит следующим образом. Сначала производятся необходимые измерения (участка дороги и автомобиля). Затем вычисляется критическая скорость движения по радиусу поворота. Полученное значение сравнивается с допустимой скоростью для данного участка. После этого делаются требуемые правовые выводы.
При необходимости модель может быть скорректирована (несколько усложнена). Например, поверхность на участке поворота может иметь поперечный уклон (в сторону поворота машины или в противоположную). В этом случае формула для расчета имеет другой вид (см. рис. 5.5).

Рис. 5.5. Расчетная схема для участка дороги с поперечным уклоном.

Модель корректируется и в случае несимметричной загрузки автомобиля: один водитель в легковом автомобиле, тяжелый груз на одной стороне грузового автомобиля и др. (формулы из-за громоздкости не приводятся).

Пример 5.8. Модель выстрела из дробового ружья.
При установлении обстоятельств выстрела из дробового ружья может быть построена следующая модель. Траектории вылетевших из ствола дробинок (картечи) распределяются конусообразно. Если дробинки попали в какую-либо плоскую преграду, то по размерам зоны дробовых повреждений можно определить угол, под которым был произведен выстрел (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Схема определения угла выстрела по дробовым повреждениям.

Если выстрел был произведен под прямым углом, то зона дробовых повреждений имеет форму круга.
Если выстрел был произведен под острым углом  форму эллипса. В этом случае искомый угол определяется по формуле Sin  = MN/AB, где MN и AB  малая и большая оси эллипса.
По вычисленному углу может быть найдена траектория полета дробового заряда (например, при помощи графических построений).
Следует отметить, что вычислить по размерам эллипса и дистанцию выстрела практически невозможно (хотя такие попытки предпринимались). Простой, однозначной зависимости между этими параметрами нет, так как на них влияет большое количество самых разнообразных факторов: тип дроби, количество пороха, способ снаряжения патронов (ручное, заводское), дульное сужение ружейного ствола (чок), исправность ствола, сила ветра и т.д.

Методы теории игр или игровые методы исследования операций
Теория игр  это математическая теория анализа конфликтных ситуаций и выработки наилучшего (наиболее рационального, оптимального, выгодного) варианта поведения  стратегии. Под конфликтными понимают ситуации с элементами неопределенности, когда сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующих разные (или противоположные) цели. Причем результат любого действия каждой из сторон зависит от того, какой образ действий выберет “противник”.
Конфликтные ситуации возникают довольно часто. Например, в операциях по поиску и преследованию преступников, в ходе следствия и судебного разбирательства, при ведении боевых действий, в ходе спортивных состязаний (гонки), в маркетинге предприятия, в политике и т.д. Кроме того, “противником” могут быть и “стихийные силы” (в так называемых “играх с природой”). В таких условиях, как правило, нет достаточных сведений о том, что задумал “противник”, и решение методами теории игр принимается в условиях неопределенности.
Под игрой понимаются мероприятия, состоящие из ряда действий множества заинтересованных сторон (игроков). Если в конфликте участвуют две стороны, игра называется парной, если более двух  множественной.
Система условий, регламентирующая возможные варианты действий сторон, объем информации каждой стороны о поведении другой, а также результат, к которому приводит данная совокупность действий, составляют правила игры. Ход в игре  выбор одного из предусмотренных правилами игры действий.
Совокупность возможных действий называется стратегией. Интересы сторон, обычно выражаемые в количественной форме, представляются функциями выигрыша для каждого из игроков (так называемые платежи).
Оптимальной стратегией является такая, которая при многократном повторении игры обеспечивает данной стороне максимально возможный средний выигрыш. Игры, в которых одна из сторон выигрывает столько, сколько проигрывает другая, называются играми с нулевой суммой.
Условие игры обычно записывается в форме платежной матрицы  таблицы-матрицы, имеющей несколько столбцов и несколько строк. Столбцы соответствуют вариантам стратегии одной стороны, а строки – вариантам стратегии другой.

Ai \ Вj В1 В2 … Вn i
A1 a11 a12 … a1n 1
A2 a21 a22 … a2n 2
… … … … … …
Am am1 am2 … amn m
j 1 2 … n

Используются следующие понятия и обозначения.
Сторона А (мы) имеет m стратегий, а сторона В (противник)  n (игра m х n).
Выигрыши обозначены aij (математическое ожидание выигрыша стороны А, сделавшей свой i-й ход при j-м ходе стороны В).
Нижняя цена игры  = max i = max min aij  максимин.
Верхняя цена игры  = min j = min max aij  минимакс.
Для выбора стратегии используются принципы максимина (выбор максимальной величины из минимальных выигрышей) и минимакса (выбор минимальной величины из максимальных проигрышей).
В тех случаях, когда  =  игра имеет “седловую точку”  элемент матрицы, являющийся одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Общее значение нижней и верхней цены игры  =  =  называется чистой ценой игры. Седловой точке соответствует пара стратегий сторон Аi и Вj, которые являются оптимальными (решение игры в чистых стратегиях).
В тех случаях, когда   , решение находится в смешанных стратегиях, которые получаются путем случайного чередования чистых стратегий. Наиболее ответственным этапом всей работы по выработке решения является выбор критериев эффективности, т.к. величины, их определяющие, носят вероятностный характер. Конкретные значения назначаются при помощи экспертной оценки по условной шкале величин. Решение конфликтной ситуации заключается в том, чтобы найти одинаковую величину как для максимина, так и для минимакса.

Некоторые общие замечания по теории игр .
В теории игр рассматриваются игры с любым числом ходов, с несколькими платежными матрицами, с коалициями игроков, с меняющимися правилами игры, многошаговые, иерархические и др. игры. При больших объемах вычислений используют ЭВМ (существуют соотношения, по которым, зная возможные стратегии игроков и матрицы платежей, можно найти цену игры и оптимальные стратегии для каждого игрока).
В теории игр, обычно, принимается допущение, что каждый игрок не знает о планах другого (если игроки заранее договариваются между собой о выигрыше, как, например, в “договорных футбольных матчах”, применять математические методы для выбора оптимальной стратегии в такой игре чаще всего бессмысленно).

Вот несколько простых примеров игр.
Пример 5.9. “Военная игра”.
У нас имеется два вида вооружения  А1 (зенитные пушки) и А2 (ракеты типа “земля-воздух”); у противника – два типа самолетов. Ход противника состоит в том, что он выбирает один из своих самолетов и посылает его бомбить нашу базу (два варианта  Б1 и Б2). Наш ход состоит в том, что мы выбираем один из видов вооружения и пытаемся сбить самолет (так же два хода  А1 и A2). Рассматриваемая игра  антогонистическая (в ней проигрыш одного игрока равен выигрышу другого).
Назначаются “платежи”. В качестве платежей используются вероятности поражения самолетов. Пусть оружие А1 поражает самолеты Б1 и Б2 с вероятностями 0.5 и 0.6 соответственно, а оружие А2  с вероятностями 0.6 и 0.7 .
Платежная матрица с выигрышами первого игрока выглядит так:

Б1 Б2
А1 0.5 0.6
А2 0.6 0.7

Главная идея теории игр состоит в том, что игрок А считает своего противника не глупее себя, поэтому при каждом своем ходе он рассчитывает получить хотя бы наименьший выигрыш. Наименьший выигрыш при первом ходе игрока А  это наименьшее число в первой строке матрицы, т.е. 0.5 (1). Наименьший выигрыш игрока А при втором ходе будет 2 = 0.6. Но из двух ходов игрок А должен сделать тот, при котором его наименьший выигрыш будет больше, т.е. 0.6 ().
В то же время второй игрок должен действовать так, чтобы его наибольший проигрыш был как можно меньше. Наибольший проигрыш игрока Б при первом ходе будет 1 = 0.6; при втором ходе  2 = 0.7. Следовательно, игрок должен сделать первый ход, тогда его проигрыш будет не более  = 0.6.

Б1 Б2
А1 0.5 0.6 1 = 0.5
А2 0.6 0.7 2 = 0.6  = 0.6
1 = 0.6 2 = 0.7
 = 0.6

Итак, оптимальная стратегия игрока А  сделать ход А2, а оптимальная стратегия игрока Б  сделать ход Б1. В этом случае наименьший выигрыш игрока А будет максимальным  0.6, а наибольший проигрыш игрока Б  минимальным, т.е. тоже 0.6. Легко проверить, что если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то и другому тоже невыгодно отклоняться от нее.
В игре есть седловая точка, т.к.  =  = 0.6, следовательно, оптимальные стратегии игроков описываются весьма просто.

Пример 5.10. Игра “Поиск” (“вор и сыщик” или “преступник и полицейский”).
Выбор оптимальной стратегии более сложен, чем предыдущем примере.
Игрок А прячется, игрок Б ищет. Игрок А имеет два места – П1 и П2, где он может спрятаться. Игрок Б знает, где они находятся. Каждый из них может по своему усмотрению выбрать то или иное место.
Игрок А: первый ход (А1)  спрятаться в П1, второй ход (A2)  спрятаться в П2.
Игрок Б: первый ход (Б1)  искать в П1, второй ход (Б2)  искать в П2
Назначаются платежи. Если Б нашел А, то А платит ему 1 условную платежную единицу (у.п.е.). Если Б не находит А, то он платит игроку A 1 у.п.е. Платежная матрица, состоящая из выигрышей игрока А, выглядит так:

Б1 Б2
А1 -1 1 1 = -1
А2 1 -1 2 = -1  = -1
1 = 1 2 = 1
 = 1

Рассматриваются два принципиально разных случая.
1) Играют один раз. Поскольку 1 = 2 =  = 1, игроку А совершенно безразлично, какой шаг делать, А1 или А2. В любом случае минимальный выигрыш не меньше 1. То же самое можно сказать и о поведении игрока Б, как бы он не ходил, его максимальный проигрыш не больше 1.
2) Игра повторяется многократно. Игрок А не может делать все время один и тот же ход, иначе его противник разгадает стратегию. Следовательно, игрок А должен чередовать свои ходы. Чередовать их в каком-то определенном порядке нельзя, т.к. противник через некоторое время разгадает его тактику и опять начнет выигрывать.
Поэтому игрок А должен вести себя как можно более непредсказуемо, т.е. выбирать каждый последующий ход каким-то случайным образом, например, подбрасывая монету. Ходы каждого игрока имеют одинаковую цену (равноправны), и нет никаких оснований предпочитать один ход другому.

Пример 5.11. Игра “Выбор предпринимателя” (постановка задачи).
Предприниматель располагает тремя видами товаров А1, А2, А3, которые он стремится реализовать на рынке, где возможна продажа конкурентом аналогичных товаров  В1, В2, В3 соответственно. Предпринимателю неизвестно, какой вид товаров, преимущественно, конкурент будет продавать на рынке, а конкуренту неизвестно, какие товары предпринимателя на этом рынке появятся. Предприниматель располагает также данными о том, какова вероятность продать тот или иной товар при наличии на рынке товаров конкурента.

Конкурент
Предприниматель В1 В2 В3
А1 0.5 0.4 0.9
А2 0.2 0.9 0.1
А3 0.8 0 1.0
Предпринимателю необходимо дать рекомендации по рациональному выбору товаров для продвижения их на рынок в условиях конкуренции, при котором обеспечивается получение наилучшего возможного результата  наибольшей вероятности продаж.

Пример 5.12. Игра “Выбор командировочного” (постановка задачи).
У командировочного есть два варианта выезда в другой город: поездом (это займет 10 ч.) или самолетом (2 ч.). Однако, при нелетной погоде, на второй вариант могут уйти 1 сутки. Прогноз погоды обещает, что шансы “тумана” и “ясно” находятся в соотношении 50 на 50, т.е. вероятность “тумана” равна 0.5.
Требуется выбрать оптимальную по времени стратегию.

Пример 5.13. Игра “Дилемма заключенного” (постановка задачи).
Теоретико-игровые модели конфликтных ситуаций исследуются и в правовой сфере. Одна из них известна как “дилемма заключенного”.
Два подозреваемых находятся под стражей изолированно друг от друга. В их виновности сотрудники правоохранительных органов убеждены, однако нет полной уверенности, что имеющихся доказательств будет достаточно в суде для привлечения к ответственности в полном объеме. У каждого подозреваемого имеется альтернатива: сотрудничать с правосудием (признаваться в совершении преступления и давать необходимые показания) или не сотрудничать.
Следовательно, могут возникнуть следующие ситуации:
1) Оба подозреваемых ни в чем не сознаются и получают некоторый срок заключения (не очень большой, т.к. суду не хватает доказательств).
2) Сотрудничает с правосудием, надеясь на снисхождение суда, только один из подозреваемых  дает показания (против своего сообщника) и получает незначительный срок заключения, а несотрудничавший  длительный срок.
3) Сотрудничает с правосудием второй подозреваемый.
4) Оба подозреваемых сотрудничают с правосудием, давая показания против второго, и получают длительные сроки заключения  “на всю катушку”.

Широкий интерес теоретиков игр и психологов к “дилемме заключенного” обусловлен парадоксом, который в данной ситуации понимается как противоречие между собственными интересами игрока и коллективным интересом “шайки”: каждому в отдельности выгоднее признаться, но обоим вместе выгоднее “держаться”. Природа же этого парадокса кроется в логической структуре оснований для принятия решений, которыми оперирует игрок. Главенствующая роль здесь принадлежит “платежной матрице”, которая обусловлена “суровостью” Уголовного кодекса, предусматривающего наказание за данный вид совершенного преступления, а также зависит от традиций вынесения приговора, состава суда и некоторых других факторов.
Необходимо отметить, что полное исключение из рассуждений игроков морально-этических моментов не облегчает их положения. Дилемма не снимается даже предварительной договоренностью игроков или их контактами в ходе следствия. Каждый принимает свое решение независимо и может нарушить любую “конвенцию”: каждому выгодно разорвать договор, обманув сообщника, хотя риск достаточно велик, и рациональная политика диктует, что договор должен соблюдаться.
Сетевое планирование
Методы сетевого планирования  методы составления рационального плана решения так называемой производственной задачи в кратчайший срок и с минимальными затратами. Они дают возможность своевременно оценивать “узкие” места, определять резервы, вносить необходимые коррективы в организацию решения. Широко используются в управленческой деятельности, строительстве, транспорте.
Все мероприятия решаемой задачи в их взаимосвязи составляют схему – сетевой график (рис. 5.7), включающий работы и события.

Рис. 5.7. Пример сетевого графика.

Работа представляет собой выполнение некоторого мероприятия, например, определенной технологической или транспортной операции. Работа связана с затратами ресурсов и времени, имеет начало и конец. На графике работа обозначается стрелкой, над которой указывается ее номер (прописная буква с индексом), а под ней – продолжительность (часы, сутки и т.п.). Событиями называются начальные и конечные точки работы (кружок с буквенным обозначением).

Сетевой график обладает следующими основными свойствами:
* ни одно событие не может произойти до тех пор, пока не будут закончены все входящие в него работы;
* ни одна работа, выходящая из данного события, не может начаться до тех пор, пока не произойдет данное событие;
* ни одна последующая работа не может начаться раньше, чем будут закончены все предшествующие ей работы.

В результате построений, логических рассуждений и расчетов (из-за значительных объемов не приводятся) определяются показатели сетевого графика, по которым выполняется его анализ:
1) критический путь (на рис. 5.7 показан жирной линией), т.е. полный путь, на котором суммарная продолжительность работ является максимальной и который лимитирует выполнение задачи в целом (любая задержка на работах критического пути, в отличии от ненапряженных, увеличивает время всего процесса);
2) полный резерв ненапряженного пути;
3) временные оценки работ.

6. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА
В КРИМИНАЛИСТИКЕ
Одна из правовых наук, где более всего используются математические методы, является криминалистика.
Дело в том, что в криминалистическом исследовании, как нигде более, наряду с качественными должны быть выявлены и исследованы количественные и структурные характеристики объекта познания, а также его функциональные связи и отношения с другими объектами. Поэтому математический аппарат здесь играет определяющую роль.
При производстве косвенных измерений  простейшем способе получения количественных характеристик  используются математические расчеты по формулам, математические способы нейтрализации погрешностей и случайных ошибок.
Криминалистическая информация может быть представлена не только числами и алгебраически, но и графически. При этом применяется геометрия, (проективная и аналитическая). Несомненным достоинством геометрических и графических методов является их наглядность.
Бурное развитие электронно-вычислительной техники сказалось и на расширении сферы использования в криминалистике математического моделирования. Нельзя недооценивать и тот факт, что перевод криминалистических понятий и представлений на математический язык приводит к существенному уточнению, совершенствованию и развитию системы представлений и понятий, к совершенствованию языка криминалистики.

Пример 6.1. Функции в криминалистике.
Аналитически заданные функции довольно часто используются в криминалистических вычислениях.
1) При расследовании дорожно-транспортных происшествий с помощью аналитически заданной функции можно по длине тормозного пути автомобиля определить скорость его движения  V = f(S).
Для случая, когда дорога не имеет продольного уклона и тормоза действуют на все четыре колеса, используется формула

V = (254 •  • SТ)1/2 / KЭ ,

где SТ  длина тормозного пути (длина следа торможения);
  коэффициент сцепления шин с дорожным покрытием;
KЭ  коэффициент эксплуатационных условий торможения (зависит от состояния и характера покрытия дороги, состояния протекторов шин и величины нагрузки автомобиля).
Если же дорога имеет продольный уклон, то функциональная зависимость усложняется .
2) При установлении обстоятельств наземного взрыва вес заряда взрывчатого вещества (полная энергия взрыва в тротиловом эквиваленте) на поверхности грунта подчиняется следующей зависимости

С = К •(В / 0.84)3 ,
где В  радиус воронки (м); К  поправочный коэффициент (не вся энергия заряда расходуется на образование воздушной ударной волны  15…18 % может уходить на образование воронки и рыхление грунта).
3) Функция может быть также задана с помощью нескольких формул.
Один из примеров  известная экспертно-криминалистическая задача определения примерного роста человека по длине оставленного следа обутой ноги. Функциональная зависимость в этом случае выглядит следующим образом (P (мм)  рост человека, x (мм)  длина оставленного следа):

7.14 • x, при 0

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019