Реферат
на тему:
Похибки вимірювань фізичних величин
1. Похибки вимірювань
При вимірюванні фізичних величин слід чітко розмежувати два поняття:
істинні значення фізичних величин та результати їх вимірювань.
Істинне значення фізичної величини — це значення, що ідеально відображає
властивості об’єкта як у кількісному, так і в якісному відношеннях.
Істинні значення не залежать від засобів нашого пізнання і є абсолютною
істиною, до якої наближається спостерігач, намагаючись виразити її як
числове значення.
Похибка результатів вимірювання — це число, що показує можливі межі
невизначеності значення вимірюваної величини.
Результат вимірювання є продуктом пізнання спостерігача і є приблизною
оцінкою значення шуканої величини. Результати залежать від методів
вимірювання, технічних засобів, властивостей органів чуття спостерігача,
зовнішнього середовища й самих фізичних величин. Різниця Д між
результатом вимірювання X та істинним значенням шуканої величини Q
називається абсолютною похибкою вимірювання:
? = X-Q. (1)
Проте, оскільки істинне значення Q шуканої фізичної величини невідоме,
невідомі й похибки вимірювання. Тому Для одержання хоча б приблизних
відомостей про них у формулу (1) замість істинного значення підставляють
так зване дійсне Ад. Під останнім слід розуміти значення фізичної
величини, знайдене експериментально, яке настільки наближається до
істинного, що його можна використовувати у вимірюванні замість
істинного. Замість дійсних значень використовують розрахункові значення,
обчислені за формулами, покази еталонів, зразкових приладів і точніших
технічних засобів вимірювання.
Причини виникнення похибок: недосконалість методів вимірювання,
технічних засобів, органів чуттів спостерігача, зміна умов проведення
експерименту. Зміна умов проведення досліджень може впливати на фізичну
величину, технічні засоби і самого спостерігача.
Кожна із наведених причин виникнення похибок є зумовлена багатьма
чинниками, під впливом яких формується загальна похибка вимірювання. їх
можна об’єднати у дві великі групи.
1. Чинники, що з’являються нерегулярно і зникають несподівано або
проявляються з непередбачуваною інтенсивністю. До них належать: перекоси
елементів приладів за їх напрямними, нерегулярні зміни моментів в
опорах, зміна зовнішніх умов та умов навколишнього середовища,
послаблення уваги спостерігача тощо. Складова сумарної похибки, яка
виникає під впливом цих чинників, називається випадковою похибкою
вимірювань. її основна особливість полягає у тому, що вона змінюється
випадково при повторних визначеннях однієї й тієї самої величини. Крім
того, не завжди можна встановити причину виникнення випадкових похибок
та передбачити їх інтенсивність.
При розробці нових засобів вимірювання інтенсивність появи більшості
чинників цієї групи вдається виявити і звести до загального рівня, так
що вони більш-менш однаково впливають на формування випадкової похибки.
Проте деякі з них можуть проявлятися надпосильно (наприклад, зміна
напруги у мережі електроживлення) і призводити до того, що похибка
перевищуватиме допустимі межі. Такі похибки у складі випадкових
називаються грубими. До них слід віднести і похибки з вини спостерігача:
зумовлені його станом, правильність за шкалою, точність записів
результатів вимірювань.
2. Чинники постійні або такі, що закономірно змінюються у процесі
вимірювання фізичної величини. До них належать методичні похибки,
зміщення стрілки приладу та недосконалість елементів (пружних) засобу
вимірювання.
Складові сумарної похибки, що виникають під дією чинників другої групи,
називаються систематичними похибками вимірювання. їх особливість полягає
в тому, що вони або постійні за величиною, або ж закономірно змінюються
при повторних вимірюваннях однієї й тієї самої величини. Таким чином, у
процесі визначення фізичної величини, з урахуванням дії багатьох
чинників проявляються як випадкові ?, так і систематичні ? похибки
вимірювань:
?=?+?. (2)
Для одержання точних результатів вимірювань, які б мінімально
відрізнялися від істинного значення Q, необхідні численні вимірювання із
наступним математичним опрацюванням експериментальних даних. Тому
найбільше значення має вивчення похибок як функції номера спостережень
або ж функції часу ?(t). Тоді окремі значення похибок можна розглядати
як значення цієї функції для окремих (вибірок) спостережень:
?1 = ?(t1); ?2 = ?(t2) … ?n = ?(tn). (3)
У загальному випадку похибка є випадковою функцією часу і не можна
сказати, яке значення вона матиме у певний момент часу. Можна лише
говорити про ймовірність появи її значення у тому чи іншому інтервалі.
-вимірювань. Випадкова похибка при цьому дорівнює різниці між
відкоригованим результатом вимірювання та істинним або ж дійсним
значенням шуканої величини:
-АД. (4)
± ? .
2. Опис випадкових похибок
Розглянемо результати спостережень X за величиною Q як випадкову
величину, що може набувати різні значення Хі при різних спостереженнях
за нею.
Найуніверсальнішим способом опису випадкових величин є знаходження їх
інтегральних або диференціальних функцій розподілу.
Під інтегральною функцією розподілу результатів спостережень слід
розуміти залежність ймовірності того, що результат спостереження X, в
і-му досліді буде меншим деякого значення X’ від самої величини х:
Fx(x) = P{Xі ? x}=P{- ?
Рис. 5. Криві нормального розподілу випадкових похибок при різних значеннях середнього квадратичного відхилення ?12. Довірчі межі випадкових похибок — це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю Р3. Величина Р3 називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв'язків. При відомому середньому геометричному значенні ? довірчі межі ставляться за нижньою межею -? і верхньою межею +?. Довірчий інтервал має вигляд Ір=(тх - ?;тх+?), (21) де тх — середнє арифметичне значення результатів вимірювань. Залежно від мети та точності вимірювань довірчі межі задаються -tp? або mx - tp? і + tp? або mx+tp?. Довірчий інтервал значення вимірюваної величини має вигляд Ір = (тх - tp?; mx + tp?). (22) Значення коефіцієнта tp визначається шляхом зворотного інтерполювання інтегральної функції Ф(t) для вибраних довірчих ймовірностей при п?? наведені у табл. 1. Таблиця 1 P 0,683 0,90 0,95 0,98 0,99 0,995 0,9973 tр 1,00 1,645 1,96 2,33 2,58 2,80 3,00 Так, при нормальному розподілі похибок з ймовірністю 0,68, випадкові похибки ? знаходяться у довірчих межах ±1?; з ймовірністю 0,95 — у межах подвійної середньої квадратичної похибки ±2?; з ймовірністю 0,9973 — у межах ±3? (рис. 6). Рис. 6. Довірчі межі та довірчі ймовірності при нормальному законі розподілу Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95. Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок з різними значеннями. Припустимо, що ? = к?, і визначимо ймовірності Р їх виявлення для таких значень к: 0,5; 1; 2; 3; 4; 5; 5... За даними табл. 2, загальна сума результатів спостережень з випадковими похибками до ? ? 3? дорівнює 99,73 %. Звідси виникає правило 3?, за яким при нормальному розподілі результати спостережень, випадкові похибки яких більші або рівні ? ? 3?, можна виключити з ряду результатів, оскільки ймовірність їх появи дуже мала. Таблиця 2 к 0,5 1 2 3 4 5 Р 0,635 0,317 0,045 0,0027 0,0001 0,000001 % 63,5 31,7 4,5 ?0,03 0,0001 0,00001 4. Оцінка істинного значення вимірюваної величини Одним із важливих завдань в процесі експериментальних вимірювань є встановлення істинного значення вимірюваної величини. Це завдання є окремим випадком статистичної задачі визначення оцінок параметрів функції розподілу випадкової величини на основі вибірки ряду значень цієї величини, одержаних в п незалежних дослідах. Оцінку параметра називають кінцевою, якщо вона виражається одним числом. Будь-яка кінцева оцінка, обчислена за дослідними даними, є їх функцією, а тому і сама вона є випадковою величиною з розподілом, залежним від розподілу вихідної випадкової величини та від кількості вимірювань п. Одержана в результаті багаторазових вимірювань інформація про істинне значення вимірюваної величини і розсіювання результатів окремих вимірювань складається з ряду вимірювань Х1, Х2,..., Хп, де п — кількість вимірювань. За цих умов за оцінку істинного значення вимірюваної величини природно прийняти середнє арифметичне значення одержаних результатів вимірювання, як п незалежних випадкових величин. (23) Проте середнє арифметичне є лише оцінкою математичного сподівання результатів вимірювань і може стати оцінкою істинного значення вимірюваної величини за відсутності систематичних похибок. Середнє арифметичне, обчислене за обмеженою кількістю вимірювань, і саме є випадковою величиною. Обчислимо його математичне сподівання: (24) Слід зауважити, що дисперсія середнього арифметичного в п разів менша, ніж дисперсія результатів вимірювань, а вираз його середнього геометричного матиме вигляд (25) У зв'язку зі збільшенням кількості вимірювань (n??) . наближається до нуля. Це означає, що середнє арифметичне низки вимірювань наближається за ймовірністю до математичного сподівання і є його обґрунтованою оцінкою. Логічним наслідком оцінки істинного значення виміряної величини за допомогою середнього арифметичного значення ряду вимірювань є оцінка значень випадкових похибок між результатами і середнім арифметичним: (26) У міру збільшення числа вимірювань розподіл випадкових відхилень ?i асимптотично наближається до розподілу випадкових похибок. Середнє квадратичне відхилення результатів вимірювань Sx обґрунтоване, але дещо зміщене і має вигляд (27) Одержані оцінки (формули (4.21)—(4.27)) дають змогу записати результат вимірювання таким чином: Q = mx±Sx. (28) Інтервал, який визначається правою частиною цього рівняння, "накриває" істинне значення вимірюваної величини, але не зрозуміло з якою ймовірністю. Для уточнення довірчих ймовірностей розглянемо оцінки параметрів за допомогою довірчих інтервалів, у межах яких перебуває істинне значення вимірюваної величини з відповідною ймовірністю. Припустимо, що розподіл результатів спостережень нормальний, відома дисперсія, середнє геометричне значення і значення довірчого інтервалу тх— tp?x; mx+tp?x. Необхідно визначити ймовірність потрапляння істинного значення Q вимірюваної величини. Систематичні похибки при цьому відсутні. За допомогою інтегральної функції Ф(z) визначається ймовірність з такої залежності: (29) Це означає, що істинне значення Q з довірчою ймовірністю р = 2Ф(tр) - 1 знаходиться у межах довірчого інтервалу тх— tp?x; тх+ tp?x. Половина довжини довірчого інтервалу називається довірчою межею випадкових відхилень результатів спостережень при довірчій імовірності р. Для визначення довірчої межі необхідно встановити ступінь ймовірності, визначити значення інтегральної функції і за таблицями знайти значення коефіцієнта tP і tp?x. разів коротший, ніж інтервал, розрахований за результатами одного спостереження, і називається довірчою межею похибки результатів спостережень: (30) де ?йм — ймовірна похибка; tp— коефіцієнт Стьюдента, який залежить від р і п; п — кількість вимірювань. Істинне значення Q вимірюваної величини можна записати таким виразом: (31) Формула (4.31) показує, що результат вимірювання знаходиться у певних межах ±?р, і кількість значень виміряної величини — множина. Необхідно уточнити межі відхилення дисперсії та середнього квадратичного відхилення за допомогою X2 -розподілу Пірсона з k = п - 1 ступенями свободи: (32) Диференціальна функція цього розподілу описується формулою (33) де k = п - 1 — кількість ступенів свободи; Sx — оцінка дисперсії результатів вимірювання; ? — інтервал чисел (1, 2, 3, ...); е — основа натурального логарифма (є = 2,71823). Значення ах середнього квадратичного відхилення результатів вимірювань лежить в інтервалі (Sx1; Sx2), межі якого визначаються за формулами (34) де q — мінімальна ймовірність, яка знаходиться у межах 0,003—0,1 для вимірювань з ймовірністю 0,9—1. Значення розподілу Пірсона знаходиться за таблицею. 5. Математична обробка результатів вимірювань Прямими називаються вимірювання, в результаті яких встановлюють безпосередньо шукане значення величини. Результати спостережень Xl, Х2,.... Хп, одержані за прямими вимірюваннями фізичної величини Q, називаються рівнорозсіяними, якщо вони є незалежними, однаково розподіленими випадковими величинами. Рівнорозсіяні результати одержують при вимірюваннях, які проводяться одним або групою експериментаторів за допомогою однакових технічних засобів вимірювання та у незмінному зовнішньому середовищі. Результати опрацьовуються по-різному, залежно від того, мало (п Список використаної літератури В.Д.Цюцюра, С.В.Цюцюра. Метрологія та основи вимірювань. Навч. посібн., К., "Знання -Прес", 2003
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
