.

Математичні основи обчислення тарифних ставок (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 1560
Скачать документ

18.1. МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ

ОБЧИСЛЕННЯ ТАРИФНИХ СТАВОК

Поняття випадкової величини. Страхування виникає там, де існують явища і
процеси випадкової природи. Тому більшість величин, що розглядаються у
страхуванні, є випадковими величинами. З математичного погляду випадкова
величина — це змінна, яка може набувати певних значень з певною
ймовірністю.

Випадкова величина повністю описується своєю функцією розподілу.
Функцією розподілу випадкової величини ?, (або інтегральною функцією)
називається функція, яка кожному числу х ставить у відповідність
імовірність того, що ?, набуде значення, меншого за х:

.

Функція F?(x) визначена при всіх значеннях аргументу x і має такі
властивості:

;

F?(y);

F?(+?) = l;

F?(+?) = 0;

b}=F?(b)-F?(a).

Серед випадкових величин можна виокремити два основні типи — дискретні
та абсолютно неперервні.

Дискретною називається випадкова величина, яка може набувати скінченної
або зліченної множини значень. Дискретними є, наприклад, такі величини:
кількість позовів (страхових випадків) у поточному році кількість
договорів, що їх буде укладено страховиком.

Якщо функцію розподілу F?(x) випадкової величини ? можна

подати у вигляді

,

де р?(х) — деяка невід’ємна функція, то випадкова величина ? називається
абсолютно неперервною, а функція р?(х) — щільністю розподілу випадкової
величини ?. Абсолютно неперервними можна вважати, наприклад, розмір
майбутніх прибутків страховика, а також тривалість очікування між двома
послідовними страховими випадками.

Числові характеристики випадкових величин. У страховій практиці, як
правило, нас цікавлять не самі випадкові величини, а деякі їх числові
макрохарактеристики. Найважливішими з них є математичне сподівання та
дисперсія.

Математичне сподівання (його називають також середнім, або сподіваним,
значенням) — це середньозважене за ймовірністю значення випадкової
величини. Для дискретних випадкових величин математичне сподівання
обчислюється з формулою:

,

де хі — значення, яких набуває випадкова величина; рі — ймовірності їх
реалізації. Для абсолютно неперервних випадкових величин математичне
сподівання подається так:

,

?), математичне сподівання можна обчислити за формулою:

.

Для будь-яких сталих a, b та випадкових величин ?, ? виконуються такі
властивості математичного сподівання:

М[а] = а;

М[b?] = b?[?];

M[? + ?]=?[?]+?[?].

Дисперсія характеризує відхилення випадкової величини ? від її
середнього значення й обчислюється як математичне сподівання квадрата
відхилення цієї величини від й математичного сподівання:

.

Дисперсія задовольняє такі співвідношення:

;

;

;

,

де а, b — довільні сталі; ?, — випадкова величина. Якщо випадкова
величина невід’ємна, дисперсію можна обчислити за формулою.

Поряд з дисперсією часто використовують похідні поняття — стандартне
відхилення та коефіцієнт варіації. Стандартним, або
середньоквадратичним, відхиленням називають корінь квадратний із
дисперсії:

Відношення стандартного відхилення випадкової величини ?, до модуля
математичного сподівання називається коефіцієнтом варіації.

.

Для випадкової величини ?, квантилем рівня а (або ?-квантилем)
називається величина ta, яка при заданому значенні довірчої ймовірності
? є коренем рівняння

.

Незалежність випадкових величин. Випадкові величини ? та ? називаються
незалежними, якщо за відомим значенням величини ?, не можна зробити
жодних висновків стосовно значення ?, і навпаки, значення ? ніяк не
впливає на обізнаність із величиною ?. Формально випадкові величини ? та
? називаються незалежними, якщо при будь-яких значеннях а та b
імовірність події р{?<а, ?< b} є добутком імовірностей подій р{?<а}та Р{?Р{?<1 грн}Р{?<1}. Це означає, що випадкові величини ? і ?, залежні. Незалежними випадковими величинами можуть вважатись, наприклад, кількості позовів з різних видів страхування.Наведемо дві важливі властивості. Якщо випадкові величини ? та ? незалежні, то для них виконуються такі співвідношення:Статистичні оцінки. Часто ми не маємо інформації про реальний розподіл випадкової величини ?, але маємо деяку сукупність спостережень, у результаті яких вона набуває значень х1, х2, х3, ..., хn. Ця сукупність значень називається вибіркою, а величиниівідповідно вибірковим (емпіричним) середнім та незсуненою вибірковою (емпіричною) дисперсією. Вибіркове середнє використовують для оцінювання математичного сподівання:,незсунена вибіркова дисперсія є оцінкою дисперсії випадковоївеличини:Принципи обчислення тарифних ставок. В актуарній практиці використовуються найрізноманітніші методи обчислення тарифних ставок. Усі вони базуються на принципі еквівалентності фінансових зобов'язань страхувальника і страховика. Але парадокс полягає в тому, що не існує єдиного погляду на те, як тлумачити цей загальновизнаний принцип страхування. Розглянемо найпоширеніші підходи до трактування принципу еквівалентності.Еквівалентність фінансових зобов'язань як еквівалентність сподіваних значень. Зобов'язання страхувальників полягають у сплаті страхових премій. Зобов'язання страховика оплачувати позови страхувальника. Нехай р означає суму зібраних страховиком премій, Х—сумарні виплати страховика. Природно вважати, що справедливою платою за ризик страховика є сподіване (середнє) значення випадкової величини X:У такому вигляді принцип еквівалентності доволі часто використовується у страхуванні життя та деяких інших галузях масового страхування.Еквівалентність зобов'язань з погляду теорії розорення.Зобов'язання страхувальників мають безумовний характер. Купуючи поліс, страхувальник звільняє себе від ризику несподіваних витрат. Витрати страховика, навпаки, непередбачувані. Страховик бере на себе ризик, який полягає в тому, що його виплати будуть значно більші за М[Х]. Тому страховик вправі вимагати додаткової плати за можливі збитки — ризикову надбавку L, із цього погляду справджується співвідношення:Постає запитання: якими мають бути розміри ризикової надбавки L та страхової премії р? Щоб відповісти на нього, доцільно звернутися до теорії розорення.Факт розорення страховика описується співвідношенням U + р < X, де U — розмір власних коштів страховика. Відповідно ймовірність розорення дорівнює Р{U + р < X}.Отже, якщо страховик намагається досягнути ймовірності розорення ?, то він має забезпечити розмір страхових премій р таким, щоб виконувалося співвідношення: Р{U + р < X}= ?.Таке розуміння принципу еквівалентності є найпоширенішим у сьогоденній практиці. Основним недоліком цього підходу є досить висока абстрактність поняття «ймовірність розорення». Яка ймовірність розорення страховика вважається достатньою — 10, 1 чи 0,1 %? На це запитання дуже важко дати аргументовану відповідь. Зменшення ймовірності розорення з 2 до 0,2 % для страховика не має принципового значення, хоча може призвести до необхідності збільшити ризикову надбавку в півтора раза.Принцип еквівалентності зобов'язань у термінах теорії розорення має математично обгрунтовану форму, але застосування його в актуарній практиці може призводити до значних коливань розрахункових значень.Еквівалентність зобов'язань з погляду теорії корисності. Нині дедалі популярнішим стає підхід до формалізації принципу еквівалентності фінансових зобов'язань страхувальника і страховика, що грунтується на теорії корисності.Основним поняттям цієї теорії є функція корисності. Функцією корисності називають функцію u(х), яка має такі властивості:функція й зростаюча — u(х) > u(у) при х > у;

функція й задовольняє нерівність Єнсена М[u(х)]

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019