Лекція

Середні величини

У медицині, в охороні здоров’я дуже часто використовуються ознаки, що
виражаються числами,, що можуть приймати різні числові значення в різних
одиниць сукупності, що нерідко повторюються в декількох одиниць. У
кожній даній сукупності й у даних конкретних умовах ця ознака
характеризується визначеною величиною (рівнем), що відрізняється від
величини цієї ознаки в іншій сукупності, при наявності інших умов.
Пульс, артеріальний тиск, температура тіла, тривалість тимчасової
непрацездатності, тривалість перебування в стаціонарі відрізняються
(варіюють) у хворих навіть з одним діагнозом.

Величини досліджуваної ознаки можуть приймати або дискретні
(переривані), або безупинні числові значення. Приклади дискретних
величин, при яких значення виражені цілими числами: число дітей у
родині, число хворих у палаті, число ліжко-днів, число яких-небудь
медичних апаратів в установі, пульс. Приклади безупинно змінюються
величин, коли значення виражені дробовими величинами, можуть поступово
переходити одне в інше: ріст, маса тіла, температура, артеріальний тиск.

Отримані при дослідженні величини спочатку записують хаотично, тобто в
тім порядку, як їх одержує дослідник. Ряд, у якому упорядковано
зіставлені (по ступені чи зростання убування) варіанти і відповідні їм
частоти, називається варіаційним. Окремі кількісні вираження ознаки
називаються варіантами (V), а числа, що показують, як часто ці варіанти
повторюються, — частотами (Р)

Для узагальненої числової характеристики досліджуваної ознаки в
сукупності обстежуваних розраховуються середні величини, достоїнство
яких полягає в тім, що одна величина характеризує велику сукупність
однорідних явищ.

Розрізняють кілька видів середніх величин: середня арифметична, середня
геометрична, середня гармонійна, середня прогресивна, середня
хронологічна. Крім зазначених середніх, іноді як узагальнюючі величини
варіаційного ряду використовують особливі середні відносного характеру —
моду і медіану.

Мода (Мо) — найбільше часто повторюваного варіанта. Медіана (Ме) —
значення варіанти, що поділяє варіаційний ряд навпіл, по обох сторони
від її знаходиться рівне число варіант.

Найбільше часто використовується середня арифметична. Середня
арифметична, котра розрахована у варіаційному ряді, де кожна варіанта
зустрічається тільки один раз (чи усі варіанти зустрічаються з однаковою
частотою) називається середньої арифметичної простій. Вона визначається
по формулі:

V

М =———, де

п

М — середня арифметична;

V— значення варіаційної ознаки;

п — загальне число спостережень.

Якщо в досліджуваному ряді один чи декілька варіантів повторюються, то
обчислюють середню арифметичну зважену. При цьому враховується вага
кожної варіанти і чим велику частоту має дана варіанта, тим більше буде
її вплив на середню арифметичну. Розрахунок такої середньої виробляється
по формулі:

V х Р

М =—————, де

п

п — сума частот.

При великій кількості спостережень число розмірів, що зустрічаються,
варіант може бути дуже великим; тоді рекомендуються розміри варіант
поєднувати в групи, причому кожна група повинна мати рівне число значень
варіант (мати рівний інтервал). Розрахунок середньої арифметичної в
такому згрупованому чи інтервальному ряду вимагає попереднього
визначення середини інтервалу. Середина інтервалу в безупинних
варіаційних рядах визначається як напівсума перших значень сусідніх
груп. Середина інтервалу в дискретних варіаційних рядах визначається як
напівсума крайніх значень групи.

Середня арифметична має ряд властивостей, що використовуються в деяких
випадках для спрощення розрахунку середньої.

1. Алгебраїчна сума відхилень усіх варіант від середньої дорівнює нулю.
На цій властивості заснований розрахунок середньої по способі моментів.

2. Якщо до кожної варіанті варіаційного ряду чи додати відняти те саме
число, то на стільки ж чи збільшиться зменшиться середня арифметична
величина.

3. Якщо кожну варіанту розділити чи помножити на те саме число, то в
стільки ж раз зменшиться чи збільшиться середня арифметична.

Ці властивості використовують у тих випадках, коли варіанти представлені
дуже малими чи, навпаки великими числами.

В охороні здоров’я в окремих випадках може знадобитися розрахунок
середньої прогресивної. Середня прогресивна розраховується з кращих
варіант, варіант, що позитивно характеризують явище. Вони можуть мати
значення більше отриманої середньої арифметичної (відсоток збігу
діагнозів, число хворих, що складаються під диспансерним спостереженням,
охоплення профілактичними оглядами і т.д.) і менше (рівень летальності,
дитячої смертності, захворюваності з тимчасовою непрацездатністю,
частота післяопераційних ускладнень і т.д.).

Середня серед показників. При однакових числах спостережень її можна
розрахувати, як середню просту: тобто досить підсумовувати розміри
показників і потім поділити на їхнє число. Але при різних числах
спостережень середню величину серед показників варто визначати завжди як
середню зважену. Наприклад, у трьох відділеннях стаціонарів летальність
склала:

— хірургічне відділення — 1%;

— терапевтичне відділення — 3%;

— неврологічне відділення — 5%.

Якщо підсумовувати показники і розділити суму на число відділень, то
середній рівень летальності складе 3 %. Однак у хірургічному відділенні
пролікувалось 800 хворих (вмерло 8 чоловік), у терапевтичному 600 хворих
(умерло 18 хворих), а в неврологічному проліковано 200 (умерло 10
хворих). Таким чином, середня летальність по лікарні складає 2.25 (36
100:1600). Різниця виявилася помітною. Щоб визначити середній показник,
треба довідатися абсолютне число померлих у кожнім відділенні, одержати
суму померлих, розділити її на загальну чисельність пролікованих хворих
і виразити отриману величину у відповідних одиницях (%, %о и т. д.).

Середня величина абстрактна, вона може бути розрахована в принципі з
будь-якої сукупності, наприклад, можна одержувати середню арифметичну в
групі хворих з підвищеним і зниженим артеріальним тиском. Але така
середня буде огульної, вона не буде правильно характеризувати
сукупність, з якої розрахована. Середні необхідно розраховувати з
однорідних сукупностей.

Середня арифметична величина знаходиться у великій залежності від
коливання варіаційного ряду. Чим менше коливання ряду, тобто чим менше
амплітуда коливання ряду (різниця між найбільшим і найменшим варіантом,
що називається ступенем розсіювання ряду), тим більше точно його буде
характеризувати середня арифметична.

Якщо більшість варіантів концентруються біля своєї середньої
арифметичної величини, то такий варіаційний ряд — досить компактний,
однорідний, можна говорити про мале варіювання, (якщо ж варіанти значно
віддалені від своєї середньої арифметичний — у наявності .велике
варіювання, а можливо, і неоднорідна сукупність.

Ступінь варіювання варіаційного ряду визначається за допомогою
обчислення середнього квадратичного відхилення ( ). Для обчислення
сигми необхідно визначити відхилення (d) кожної варіанти від середньої,
звести їх у квадрат (d2 ), перемножити квадрат відхилення на частоту
кожної варіанти (d2 x p), одержати суму цих добутків (Еd2p), а потім
обчислити сигму по формулі:

При малому числі спостережень (п < 30) розрахунок роблять по наступній формулі: Описаний спосіб розрахунку середнього квадратичного відхилення вимагає значної обчислювальної роботи. Можна використовувати наближений спосіб обчислення середнього квадратичного відхилення по амплітуді (розмаху) варіаційного ряду. Обчислення про по амплітуді виробляється по формулі: , де А — коефіцієнт для визначення сигми, що відповідає числу спостережень. У нашому прикладі Для оцінки варіювання ознаки поряд із середнім квадратичним відхиленням може бути використаний коефіцієнт варіації (З). Особливо необхідно використовувати коефіцієнт варіації при порівнянні коливання двох чи більш середніх величин, виражених у різних одиницях виміру: Значення коефіцієнта варіації менш 10% свідчить про малі коливання, від 10 до 20% — про середній, від 20% і більш — про сильні коливання варіант навколо середньої. Значення середнього квадратичного відхилення,— о. 1. Сигма характеризує однорідність варіаційного ряду. Якщо сигма мала, значить ряд однорідний, і розрахована М досить вірно характеризує даний варіаційний ряд. Якщо сигма велика, то ряд неоднорідний, спостерігається велике коливання варіаційного ряду, і отримана М характеризує не весь ряд, а тільки якусь її частину. 2. У медицині, охороні здоров'я інтервал М ± 1 звичайно приймають за межі норми. 3. За допомогою сигми оцінюється «вискакуючий» результат, що випливає, по формулі: Якщо відношення різниці між варіантом, що виділяється («вискакучий») і середньої арифметичної, розрахованої без неї, до середнього квадратного відхилення, розрахованому також без виділяючогося варіанту, буде дорівнює 3 і більш, та таку варіанту краще не включати в дослідження. 4. Теоретичний розподіл варіант в однорідному варіаційному ряді підкоряється правилу трьох сигм, що графічно зображується кривої Гаусса* (див. мал. 2). Рис. 2. Теоретична крива нормального розподілу. - ? ? O O l n U ^ ` ?????????eUEUEEEEEEEE3/4 gd&f GLH°H,KOK???aeaeaeae???aeaeaeaeae???aeae??ae?ae je jx jd ?? j? gd&f !Якщо до середньої арифметичної величини додати і відняти від неї одну сигму (М± 1 ), то при нормальному розподілі в цих межах буде знаходитися не менш 68,3% усіх варіант (спостережень), що вважається нормою для досліджуваного явища. Якщо до М ± 2, то в цих межах буде знаходитися 95,5% усіх спостережень, а якщо до М ± Зо, те в цих межах буде знаходитися 99,7% усіх спостережень. Таким чином, середнє квадратне відхилення є стандартним відхиленням, що дозволяє передбачати імовірність появи такого значення досліджуваної ознаки, що знаходиться в межах заданих границь. ВИБІРКОВИЙ МЕТОД. ОЦІНКА ВІРОГІДНОСТІ СЕРЕДНІХ АРИФМЕТИЧНИХ І ВІДНОСНИХ ВЕЛИЧИН При вивченні суцільної (генеральної) сукупності для її числової характеристики досить розрахувати М и сигму. У природі можливі й інші види розподілу, що відрізняються від нормального альтернативне, асиметричне {правобічне, лівостороннє), бімодальне На практиці, як правило, ми маємо справу не з генеральною, а з вибірковою сукупністю. Для вибіркового методу дуже важливий спосіб добору частини від цілого, тому що відібрана частина, як уже згадувалося раніше, повинна бути репрезентативної. При вибірці можливі помилки зсуву, тобто такі події, поява яких не може бути точно передбачуваним. Разом з тим вони є закономірними, об'єктивними, як і необхідні. При визначенні ступеня точності вибіркового дослідження оцінюється величина помилки, що може відбутися в процесі вибірки. Такі помилки звуться випадковими помилками репрезентативності (т) і є фактичною різницею між середніми чи відносними величинами, отриманими при вибірковому дослідженні, і аналогічними величинами, що були б отримані при вивченні всієї сукупності. Середня помилка середнього арифметичного числа визначається по формулі: Середню помилку середньої арифметичної величини можна обчислити як і сигму, по амплітуді варіаційного ряду: , де В — коефіцієнт для визначення помилки, що відповідає числу спостережень. У приведеному прикладі середня помилка склала ±0,16 днів. А при розрахунку по амплітуді варіаційного ряду що досить близько до середньої помилки, розрахованої по звичайній формулі. При оцінці отриманого результату по розміру середньої помилки, користаються довірчим коефіцієнтом (т), що дає можливість визначити імовірність правильної відповіді, тобто він указує на те, що отримана величина помилки вибірки буде не більше дійсної помилки, допущеної внаслідок суцільного спостереження. Так, якщо прийняти t == 2.6, то імовірність правильної відповіді складе 99.0%, а це означає, що з 100 вибіркових спостережень тільки один раз вибіркова середня може виявитися поза межами генеральної середньої. При t=1 імовірність правильної відповіді складе лише 68.3%, а 31.7% середніх можуть виявитися поза обчисленими межами. Отже, зі збільшенням довірчої імовірності збільшується ширина довірчого інтервалу, що у свою чергу підвищує вірогідність судження, опорність отриманого результату (табл. 32). У медико-статистичних дослідженнях звичайно використовують довірчу імовірність (надійність), рівну 95.5 — 99.0%, а в найбільш відповідальних випадках — 99.7%. Таким чином, якщо сигма є довірчою імовірністю появи необхідних даних у заданих границях, то m є довірчим інтервалом, за допомогою якого визначаються границі можливого розміру досліджуваного явища. у яку входить величина n — число спостережень. Вирішуючи приведену рівність щодо сигми, одержимо формулу для визначення числа спостережень: Для приклада скористаємося даними вивчення середньої тривалості перебування хворих а спеціалізованому відділенні. Тут М = 20 дн., сигма =±1.63 дн., m=±0.16дн. Скільки ж потрібно додатково досліджувати хворих, свідомо оперуючи помилкою вибірки більше отриманої ( =±0.5 дн.), при довірчій імовірності t=3? Визначаємо необхідне число спостережень: Висновок: для того, щоб оперувати у використаному нами прикладі з зазначеною точністю (99.7%), варто піддати вивченню 95—96 хворих. Нами досліджено 95 хворих, що відповідає шуканій величині. ВІРОГІДНІСТЬ РІЗНИЦІ СЕРЕДНІХ ВЕЛИЧИН На практиці нерідко приходиться мати справа не з однієї, а з двома середніми: треба порівняти середню тривалість перебування хворих у 2-х стаціонарах чи за звітний рік і попередній, результати, отримані при дослідженні 2-х груп хворих, що лікувалися різними методами, досліджувану групу і контрольну і т.д. Метою порівняння двох середніх є оцінка істотності їхніх розходжень, установлення їхньої вірогідності. Вірогідність різниці між двома середніми величинами визначається по формулі: M1 і M2 — дві середніх арифметичних величини, отримані в двох самостійних незалежних групах спостережень; називають середньою помилкою різниці двох середніх); t — довірчий коефіцієнт для різниці середніх. При t > 2 різниця середніх арифметичних може бути визнана істотною і
невипадковою, тобто достовірною. Це значить, що й у генеральній
сукупності середні величини відрізняються, і що при повторенні подібних
спостережень будуть отримані аналогічні розходження. При t==2 надійність
такого висновку буде не менше 95%. Зі збільшенням t ступінь надійності
також збільшується, а ризик помилки зменшується. При t < 2 вірогідність різниці середніх величин вважається недоведеною. Наприклад, у лікарні «А» середня тривалість перебування хворого на ліжку дорівнює 16.2 дн., t =±1.5 дн.; у лікарні «У» — 14.8 і 1.0 відповідно. Розходження середніх арифметичних недостовірне, статистично незначне. Але не можна в таких випадках говорити про те, що «немає різниці»! Розходження є, але воно може бути випадковим, недостовірним. У сполучених сукупностях (залежних рядах) оцінка вірогідності різниці середніх проводиться по формулі: Алгоритм розрахунку. 1. Складаємо два варіаційних ряди (наприклад, за рівнем артеріального тиску в хворих до і після введення гіпотензивного препарату). 2. Складається варіаційний ряд з різниці варіант (Уn = V1 – V2). 3. Для нового ряду розраховуються всі його характеристики: Мрізн 6різн mрізн 5. Тому що п < 30, отримане значення t порівнюємо з табличним. Отримане нами t > t , отже отримана середня різниця в

рівнях ПЕКЛО (18 мм рт. ст.) істотна і невипадкова, тобто достовірна.

ВІРОГІДНІСТЬ ПОКАЗНИКІВ І РІЗНИЦІ ПОКАЗНИКІВ

Вірогідність показника визначається за допомогою його середньої помилки
по формулі:

де р—розмір показника, виражений у ділянках одиниці, у відсотках, у
промілі; — дорівнює — р чи 100 — р чи 1000 — р (величина, що
доповнює показник до підстави); п — число спостережень.

Наприклад: обстежено 1800 хворих, з них виявлено 90 хворих гіпертонічною
хворобою 1 ст. Відсоток виявлених хворих за даними проведеного огляду
дорівнює:

Отже, з імовірністю 95.5% показник виявляємості хворих із ГБ-1 в
аналогічних умовах буде коливатися в межах Р± 2m= 5 ± 2 х 0.5 = 5 ± 1.0,
тобто від 4 до 6 випадків на 100 обстежених.

Вірогідність розходжень між порівнюваними показниками обчислюється по
формулі, аналогічною для середніх величин:

Оцінюється критерій розходження показників також, як і середніх величин.

Оцінка нульового ефекту. При альтернативному розподілі (або — або), коли
показник дорівнює нулю (Р = 0) чи близький до нуля, а g = 100% чи коли
показник дорівнює 100% (Р = 100%) чи близький до 100%, а g = 0, варто
довідатися, а яким би міг бути показник досліджуваного явища при інших
умовах добору (інше число спостережень, інший склад хворих по підлозі,
віку і т. д.)? Для цього користаються спеціальною формулою, по якій
можна обчислити «очікуваний» рівень показника:

де a — результативний показник (Р).

Допустимо, що в лікарні лікувалося експериментальним методом 60 хворих
(п), серед яких летальних випадків не було (Р = 0%). Обчислюємо
«очікуваний» показник летальності:

Помилка такого показника визначається по формулі:

При t = 2 можливі коливання очікуваного показника в межах від 0% до
4.76% (1.6 ±3.16).

МАЛА ВИБІРКА

У клінічних і експериментальних роботах досить часто приходиться
користатися малою вибіркою, коли число спостережень менше 30. При малій
вибірці середні величини і показники обчислюються по тим же формулам, що
і при великій. При обчисленні середнього квадратичного відхилення і
середньої помилки показника число спостережень зменшується на одиницю;

Вірогідність результатів (I) оцінюється по таблиці Стьюдента (додаток
2). Звертатися з таблицею Стьюдента випливає по графі 1-й, у якій
зазначене число ступенів волі (п), рівне п — 1, тобто числу проведених
спостережень зменшеному на одиницю. Дані 2, 3 і 4-й граф обчислені для
імовірності правильного висновку, рівної, 95% — графа 2, при ризику
помилки 5% (Р05); 99% — графа 3, при ризику помилки 1% (P01) і
99.9%-графа 4, при ризику помилки 0,01% (Р001).

Похожие записи