Реферат на тему:

Зростання й спадання функцій

.

.

, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Екстремуми.

Означення. Околом точки а називається будь-який інтервал, що містить цю
точку. Наприклад, інтервал (2; 6) — один з околів точки 3, інтервал
(–3,3; –2,7) — окол точки –3.

(рис. 42).

Рис. 42

(рис. 43).

Рис. 43

і рис. 44 — точка x6).

Рис. 44

Для точок максимуму і мінімуму функції прийнята загальна назва — їх
називають точками екстремума. Значення функції в цих точках називають
відповідно максимумами і мінімумами функції (загальна назва — екстремум
функції). Точки максимуму позначають xmax, а точки мінімуму xmin.
Значення функції в цих точках позначаються відповідно ymax і ymin.

Дослідження функцій

1. Побудова графіків функцій. В школі будували графіки функцій «по
точках». У багатьох випадках цей метод дає гарні результати, якщо,
звичайно, відзначити досить велике число точок. Однак при цьому
приходиться складати великі таблиці значень функції, а головне, можна не
помітити істотних особливостей функції й у підсумку помилитися при
побудові графіка.

Для того щоб уникнути помилок, треба навчитися виявляти характерні риси
функції, тобто попередньо провести її дослідження.

2. Схема дослідження функцій.

У загальному випадку дослідження передбачає рішення наступних
задач:

1) Знайти області визначення і значень даної функції f.

2) З’ясувати, чи має функція особливости, що полегшують дослідження,
тобто чи Є функція f: а) парної чи непарною; б) періодичної.

3) Обчислити координати точок перетину графіка з осями координат.

4) Знайти проміжки знакосталості функції f.

5) З’ясувати, на яких проміжках функція f зростає, а на яких спадає.

6) Знайти точки екстремума, вид екстремума (максимум чи мінімум) і
обчислити значення f у цих точках.

), і при великих (по модулі) значеннях, аргументу.

для графіка функції, зображеного на рисунку 53), називають
вертикальними асимптотами.

.

, див. рис. 32) прямої при необмеженому зростанні (по модулі) x, то
таку пряму називають горизонтальної (відповідно похилій) асимптотою.

3. «Читання» графіків. У більшості прикладів і задач на побудову
графіків функцій ви зустрічалися з такою ситуацією: функція задана
формулою, потрібно досліджувати її властивості і побудувати графік f.
Представляє значний практичний інтерес інша задача: задан графік f, за
допомогою якого потрібно перелічити основні властивості цієї функції.

Подібні задачі часто зважуються в ході експериментальних досліджень.
Побудова графіків при цьому здійснюється різними методами. Наприклад, по
точках, знайденим експериментально. Існують також численні
прибори-самописи. Це, наприклад, осцилографи, на екранах яких електричні
коливання перетворяться в наочні графічні зображення. Іншим прикладом
приладу, що дозволяє одержати наочний графічний опис, служить
кардіограф; «прочитуючи» отриману з його допомогою кардіограму, лікарі
роблять висновки про стан серцевої діяльності.

O

B

D

$D

F

H

`

b

d

f

l

n

 

c

E

E

I

I

O

?   c ¤ `

b

?

?

?

?

?

?

O

O

u

ue

th

d?`„a$gd>83

» холоду» (у період з 4 по 10, з 17 по 19 і з 23 по 26 лютого).
Передбачалася також відсутність відлиг і в цілому холодна (до –17? …
–22?) погода. Однак у дійсності (графік фактичного ходу температур
зображений тонкою лінією В) температура була вище норми на 5—10?
(кліматична норма, що є результатом багаторічних спостережень, задана
лінією Г), у період з 4 по 8 лютого було потеплення, а не похолодання і
т.д. Ці й інші зведення про прогноз і реальну картину ви можете
одержати, «читаючи» графіків, приведені на рисунку 56.

Рис. 56

Ознака зростання і спадання функції

Одна з основних задач дослідження функції — це знаходження проміжків її
зростання й спадання. Таке дослідження легке провести за допомогою
похідної. Сформулюємо відповідні твердження.

зростає на I.

спадає на I.

Приклад 3. Знайдемо проміжки зростання (спадання )функції

.

Функція визначена на всій числовій прямій. Похідна її така:

.

убуває на всій числовій прямій.

Критичні точки функції, максимуми і мінімуми

Внутрішні точки області визначення функції, у яких її похідна дорівнює
нулю або не існує, називаються критичними точками цієї функції. Ці точки
відіграють важливу роль при побудові графіка функції, оскільки тільки
вони можуть бути точками екстремуму функції (мал. 103 і 104).
Сформулюємо відповідне твердження, його називають теоремою Ферма (на
честь французького математика Пьера Ферма).

.

звертається в нуль у точці 0, але екстремуму в цій точці функція не
має (рис. 105).

Рис. 105

не є критичної: у ній похідна не існує, але вона не внутрішня точка
області визначення.) У цих точках функція також може чи мати не мати
екстремум.

З теореми Ферма випливає, що при знаходженні точок екстремумів функції
потрібно в першу чергу знайти її критичні точки. Але, як видно з
розглянутих прикладів, питання про тім, чи дійсно дана критична точка є
точкою екстремуму, вимагає додаткового дослідження. При цьому часто
допомагають такі достатні умови існування екстремуму в точці.

.

Зручно користатися спрощеним формулюванням цієї ознаки:

точка максимуму.

.

Зручно користатися спрощеним формулюванням цієї ознаки:

точка мінімуму.

.

. Графік функції зображений на рисунку 108.

Рис. 108

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

0

x

y

x0

f (x0)

f (x0)

x0

y

x

0

0

x

y

x0

f (x0)

f (x0)

x0

y

x

0

а)

б)

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

–20

–15

–10

–5

0

5

А

Б

Г

В

x

y

0

x2

x1

x1

x2

0

y

x

Рис. 103

Рис. 104

x

y

0

y = x3

0

1

x

y

2

–2

–1

y = 3x – x3

Похожие записи