Реферат

з дисципліни “Вища математика”

на тему:

Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність

Розділ: Ряди.

Тема: Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність.

Навчальна мета: розширити поняття студентів про знакозмінні ряди,
абсолютну та умовну збіжність.

Міжпредметна інтеграція: математика:

Зміст: а). Опрацювати навчальний матеріал.

б). Дати відповіді на питання.

в). Опрацювати приклади.

План: а). Знакозмінні ряди.

б). Абсолютна та умовна збіжність.

Контрольні питання:

а). Охарактеризувати загальні поняття.

б). Розказати про деякі властивості числових рядів.

в). Яку ви знаєте необхідну ознаку збіжності ряду?

г). Наведіть приклади достатньої ознаки збіжності додатних числових
рядів.

д). Що ви знаєте про закопочережні числові ряди.

Література: Вища математика для економістів. – Київ: ЦУЛ
2002.-400с.-серія: Матем. науки.

Барковський В.В.

Барковська Н.В.

Загальні поняття.

Нехай задана нескінчена послідовність чисел

а1, а2, а3, …, аn…

Вираз а1+а2+а3+…+аn+… називається нескінченним числовим рядом, числа а1,
а2, а3, …, аn – членами ряду, аn – загальним членом ряду.

Отже, від послідовності ми перейшли до ряду.

За допомогою значка суми ряд можна записати так:

(1)

.

Що задати числовий ряд, треба задати його загальний член аn у вигляді
формули

за якою для будь-якого n можна знайти відповідний член ряду.

тоді відповідний ряд буде:

Іноді задають декілька перших членів ряду і треба записати увесь ряд,
тобто знайти його загальний член.

При цьому треба знаходити загальний член ряду по можливості простішого
вигляду.

Наприклад, знайти загальний член ряду

, тобто загальний член заданого ряду буде

а ряд має вигляд

Означення 1. Частковою сумою числового ряду (1) називають суму Sm перших
т членів цього ряду, тобто

, тобто

(2)

Означення 3. Якщо границя часткової суми ряду є скінчене число, то ряд
називають збіжним і позначають цей факт так:

, то числовий ряд називають розбіжним.

Означення 4. Числовий ряд вигляду

(3)

називають рядом геометричної прогресії із знаменником q та першим членом
а.

Приклад 1. Дослідити збіжність ряду геометричної прогресії.

часткова сума Sn визначається за відомою формулою суми спадної
геометричної прогресії:

Тому сумою ряду у цьому випадку буде

.

а сума ряду

тобто ряд розбігається.

Якщо q=1, то Sn=а+а+а+…+а = na, тому сума ряду буде

тобто ряд розбігається.

Якщо q=-1, то S1=a, S2=a, S3=a, S4=0,…

), тому ряд розбігається.

.

Означення 5. Числовий ряд вигляду

(4)

називають узагальненим гармонічним рядом.

узагальнений гармонічний ряд розбігається, а при р>1 цей ряд
збігається.

При р=1 ряд (4) приймає вигляд

(5)

і називається гармонічним рядом. Цей ряд розбігається.

2. Деякі властивості числових рядів.

Нехай задано числовий ряд

а1+а2+а3+…+аn+ап+1+ап+2+…+ап+т+… (1)

, тобто

(6)

Теорема 1. Якщо ряд (1) збігається, то збігається ї його залишок, і,
навпаки, якщо збігається залишок, то збігається й ряд (1).

Доведення. Нехай ряд (1) збігається. Розглянемо часткову суму п+т членів
ряду

(7)

. Тоді границя Sт+п існує за умовою і дорівнює сумі ряду S.

.

Отже,

S=Sn+rn (8)

. Границя існує тому, що за умовою залишок збігається, а часткова сума
Sn при фіксованому n є постійне число. Отже, границя

Із рівності (7) випливає: якщо ряд (1) розбігається, то і залишок
розбігається, і, шишаки, якщо залишок розбігається, то ряд також
розбігається.

.

Наслідок. Якщо в раді (1) суму перших п членів відкинути, то це не
вплине на збіжність чи розбіжність ряду.

також буде збіжним, а його сума помножиться на С.

також збігається, причому сума останнього ряду дорівнює.

Доведення теореми 2 та теореми 3 випливає із означення збіжності
числового ряду та властивостей границі.

3. Необхідна ознака збіжності ряду

, тобто

(9)

, звідси одержимо

що й треба було довести.

Якщо умова (9) не виконується, то числовий ряд розбігається.

розбігається тому, що

задовольняє умову (9), але цей ряд розбіжний.

4. Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів

В більш повних курсах вищої математики доведені слідуючі достатні ознаки
збіжності додатних числових рядів, які бажано зрозуміти та
використовувати.

Ознака порівняння. Нехай треба дослідити збіжність заданого ряду

(10)

Візьмемо другий додатний числовий ряд, збіжність чи розбіжність якого
відома

(11)

Найчастіше для порівняння беруть ряд геометричної прогресії або
узагальнений гармонічний ряд.

, тоді й ряд (10) також збігається.

, тоді й ряд (10) розбігається.

Розв’язування. Порівняємо заданий ряд

< 1 Отже, заданий рад збігається. Ознака Даламбера. Позначимо D постійну Даламбера, яку знаходять за формулою (12) збігається. При D >1 цей ряд розбігається. При D =1 треба
застосовувати іншу ознаку.

Розв’язування. Застосуємо до заданого ряду ознаку Даламбера

Отже, заданий ряд розбігається.

Радикальна ознака Коші. Позначимо К постійну Коші, яку знаходять за
формулою

(13)

збігається. При К>1 ряд розбігається. Якщо К = 1, то треба
застосовувати іншу ознаку.

Розв’язування. Застосуємо до заданого ряду радикальну ознаку Коші. Тоді

Отже, заданий ряд збігається.

. Якщо цей інтеграл збігається, то числовий ряд також збігається: Якщо
цей інтеграл розбіжний, то числовий ряд також розбіжний.

.

1) при р=1 одержимо:

В цьому випадку інтеграл розбіжний, отже і ряд розбіжний

Неважко бачити, що при р<1 інтеграл є розбіжним, а при р>1 інтеграл
збіжний.

є збіжним, якщо р>1 та розбіжним, якщо р < 1. 5. Знакопочережні числові ряди Означення 6. Ряд, члени якого почережно мають додатний та від'ємний знаки, називають знакопочережним. Такий ряд можна записати, наприклад, у вигляді (14) , складений з абсолютних величин знакопочережного ряду (14) Якщо ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (14) розбігається, а знакопочережний ряд збігається, то кажуть, що ряд (14) збігається неабсолютна або умовно. Абсолютну збіжність знакопочережного ряду досліджують з використанням достатніх ознак збіжності додатних числових рядів. Неабсолютну збіжність знакопочережного ряду досліджують з використанням ознаки Лейбніца. Ознака Лейбніца. Якщо абсолютні величини знакопочережного ряду монотонно спадають, тобто U1 >U2 >U3 >… >Un >…

, тобто виконується умова

тоді знакопочережний ряд збігається, причому його сума S обов’язково
менше першого члена ряду.

Остання оцінка використовується у наближених обчисленнях.

Приклад 6. Дослідити збіжність знакопочережних рядів:

— довільне число):

(15)

Порівняємо цей ряд із збіжним узагальненим гармонічним рядом

(16)

Кожний член ряду (15) менше або дорівнює відповідному члену ряду (16)
тому, що

Згідно з ознакою порівняння ряд (15) збігається, а це означає, що
заданий знакопочережний ряд а) збігається абсолютно,

абсолютно не збігається. Для дослідження його неабсолютної збіжності
треба застосувати ознаку Лейбніца. У даному випадку обидві умови ознаки
Лейбніца виконуються:

Тому знакопочережний ряд b) збігається неабсолютно.

У цьому випадку не виконується необхідна умова збіжності числового ряду
тому, що

розбіжний.

Похожие записи