Пошукова робота на тему:

Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца. Оцінка залишку ряду. Абсолютна і
умовна збіжності знакозмінних рядів. Властивості абсолютно збіжних
рядів.

План

Знакочергуючі ряди

Ознака Лейбніца

Оцінка залишку ряду

Знакозмінні ряди

Абсолютна та умовна збіжності

Властивості абсолютно збіжних та умовно збіжних рядів

1. Знакочергуючі ряди

           До цих пір ми розглядали ряди, в яких члени були додатні.
Тепер розглянемо ряди, члени яких мають знаки, що чергуються, тобто такі
ряди:

                             (13.16)

   додатні.

 члени ряду такі, що

                                (13.17)

і

                                       (13.18)

то ряд (13.16) збігається, його сума додатна і не перевищує першого
члена.

 можна написати у вигляді:

 так:

,

 залишається зверху обмеженою

 має скінчену границю

 :

Оскільки загальний член ряду прямує до нуля, то 

і буде сумою даного ряду.

 у вигляді

, спадаючи. Таким чином, завжди

Зокрема, можна стверджувати

                                         (13.19)

, не перевищує за абсолютною величиною першого члена, який відкидаємо.

           Приклад. Найпростішими рядами лейбніцівського типу є ряди

Збіжність обох рядів випливає із доведеної теореми.

2. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжності

           Ряд, члени якого мають довільні знаки, називається
знакозмінним. Серед них можуть бути члени як  додатні, так і від’ємні.

           Очевидно, що знакочергуючі ряди, розглянуті в попередньому
параграфі, є частинним випадком знакозмінних рядів.

           Ми будемо вважати, що члени ряду

                              (13.20)

можуть бути як додатними, так і від’ємними.

           Теорема 1. Якщо знакозмінний ряд (13.20) такий, що ряд,
складений із абсолютних величин його членів

                              (13.21)

збігається, то й даний ряд (13.20) також збігається.

 частинні суми рядів (13.20) і (13.21).

 

, тобто знакочергуючий ряд (13.20) збігається.

           Зауважимо, що ознака збіжності, яка вище доведена, є тільки
достатньою ознакою збіжності знакозмінного ряду, але не необхідною.

Існують такі знакозмінні ряди (13.20), котрі збігаються, а ряди,
складені із абсолютних величин їх членів, розбігаються. В зв’язку з цим
вводяться поняття абсолютної та умовної збіжності.

           Означення. Знакозмінний ряд (13.20) називається абсолютно
збіжним, якщо збігається ряд (13.21), складений із абсолютних величин
його членів. Якщо ж знакозмінний ряд (13.20) збігається, а ряд (13.21),
складений із абсолютних величин його членів, розбігається, то даний
знакозмінний ряд називається умовно або неабсолютно  збіжним.

           За допомогою поняття абсолютної збіжності теорему 1 часто
формулюють таким чином: всякий абсолютно збіжний ряд є збіжним

рядом.

           Приклад 1.  Дослідити збіжність ряду

.

            Р о з в ‘ я з о к. Розглянемо ряд, складений із абсолютних
величин членів даного ряду

  .

Для дослідження збіжності цього ряду використаємо ознаку порівняння:

,

а ряд

розбіжний,

 розбігається.

          Перевіримо виконання умов теореми Лейбніца (13.17) — (13.18):

.

Обидві умови виконуються.

          Оскільки ряд із абсолютних членів даного ряду розбігається і
виконуються обидві умови теореми Лейбніца, то даний знакочергуючий ряд
збігається умовно.

.

, то даний знакозмінний ряд збігається абсолютно.

Приклад 3.  Дослідити збіжність ряду

           Р о з в ‘ я з о к.

(не виконується необхідна умова збіжності), тому даний ряд взагалі
розбігається.

           Відмітимо в кінці даного розділу (без доведення) наступні
властивості абсолютно збіжних і умовно збіжних рядів.

           Теорема 2 (теорема Діріхле). Якщо знакозмінний ряд  (13.20)
збігається абсолютно, то буде збігатися і при тому абсолютно ряд,
одержаний із даного довільною перестановкою його членів. При цьому сума
ряду не залежить від порядку його членів.

Похожие записи