Реферат на тему:

Знаходження екстремуму функції

від багатьох змінних

).

маємо такі необхідні умови екстремуму:

(6.3)

Як і раніше, ці умови не обов’язково є достатніми.

полягає в тому, що потрібно побудувати систему рівнянь

,

, які надалі треба перевірити на наявність максимуму чи мінімуму.

Означення.

(6.4)

.

.

.

Розглянемо достатні умови екстремуму для випадку функції від багатьох
змінних.

Теорема (без доведення).

і f(x(x0,y0)= f(y(x0,y0)=0. Нехай A= f((xx(x0,y0), B = f((xy(x0,y0)
та C = f((yy(x0,y0) неперервні. Тоді при ( = AC-B2 > 0 у точці
(x0,y0) функція має екстремум (при A<0 – максимум, при A>0 – мінімум ).

При ( = AC-B2<0 екстремуму немає (перегин, сідлова точка, тощо). Зазначимо, що невиконання достатніх умов не означає того, що екстремуму немає. Приклад. Знайти екстремум функції z = x3+y3-3xy. , звідки знаходимо дві критичні (стаціонарні) точки: M0=(0,0) та M1(1,1). Обчислюємо другі частинні похідні: . У точці M0=(0,0) маємо: A=0, B= -3, C=0, отже, AC-B2 = -9<0, тобто екстремуму немає. У точці M1(1,1) маємо: A=6, B= -3, C=6, отже, AC-B2=27>0,

A=6>0.

Функція z = z(x,y) має мінімум у точці (1,1) .

Розглянемо, накінець, достатні умови існування екстремуму функції від n
(n>2) змінних y=f(x1…xn).

Знаходимо всі можливі другі частинні похідні і будуємо матрицю (матрицю
Гессе).

.

) , якщо визначники M1>0, M2>0,…, Mn>0, де

;

;

………………………….
(6.5)

.

Означення. Матриця H=H(x1…xn) називається від’ємно визначеною, якщо
M1>0, M2<0, M3>0,…,(-1)nMn>0.

У темі 1 сформульовано теорему про те, що матриця є додатно визначеною
тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є додатними.

Правильно й таке: матриця є від’ємно визначеною тоді і тільки тоді, коли
всі її власні числа є від’ємними.

Теорема .

.

) функція z = f(x1…xn) має мінімум, а в разі від’ємної (A<0, AC-B2>0,
…) – максимум.

Зазначимо, що задача відшукання найбільшого і найменшого значення
функції від багатьох змінних у деякій замкнутій області відрізняється
від задачі знаходження екстремумів. Спеціальні методи вивчають в курсі
“Математичне програмування”.

Похожие записи