Пошукова робота

на тему:

Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині та в
просторі. Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в
просторі, їх геометричний зміст. Системи рівнянь і нерівностей першого
степеня.

План

Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині.

Математичний опис ліній, поверхонь, тіл.

Загальні поняття про лінії.

Алгебраїчні лінії та поверхні.

Лінії і фігури на площині.

Параметричні рівняння ліній.

Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в просторі , їх
геометричний зміст.

Системи рівнянь і нерівностей першого степеня.

3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.1. Математичний опис ліній, поверхонь, тіл

3.1.2. Загальні поняття про рівняння

 Ми одержимо

Піднісши в квадрат обидві частини рівності, одержимо більш зручнішу
форму

Очевидно, що це співвідношення виконується для всіх точок сфери і тільки
для них, і, отже, його можна розглядати як рівняння сфери в
розглядуваній системі координат.

, і невірний для координат точок, які йому не належать.

            Часто рівнянню множини точок в планіметрії надається форма

 перенести в ліву частину.

якщо координати точок, що лежать на цій лінії, задовольняють даному
рівнянню, а координати точок, що не лежать на лінії, йому не
задовольняють.        

 якщо координати точок, що лежать на цій поверхні, задовольняють даному
рівнянню, а координати точок, що не лежать на поверхні, йому не
задовольняють.

3.2.2. Алгебраїчні лінії і поверхні

            Визначення довільних множин точок – задача цілком неоглядна.
Визначимо порівняно вузький клас множин, хоча й широкий, щоби детально
його вивчити.

            Означення 1. Алгебраїчною лінією на площині називається
множина, яка в якій-небудь декартовій системі координат на площині може
бути задана рівнянням вигляду

                         (3.1)

причому всі показники –  невід’ємні цілі числа. Найбільша із сум

 називається степенем рівняння, а також порядком алгебраїчної лінії.

            Означення 2. Алгебраїчною поверхнею називається множина, яка
в якій-небудь декартовій системі координат може бути задана рівнянням
вигляду

      (3.2)

причому всі показники –  невід’ємні цілі числа. Найбільша із сум

 називається степенем рівняння, а також порядком алгебраїчної поверхні.

            Це означення означає, зокрема, що сфера є алгебраїчною
поверхнею другого порядку.

            Приведені означення мають істотній недолік. А саме,
невідомо, який вигляд буде мати рівняння поверхні чи лінії в якій-небудь
іншій декартовій системі координат. Якщо ж рівняння і має в деякій іншій
системі координат вигляд (3.5) чи (3.6), то степінь якого із цих рівнянь
ми будемо називати порядком лінії чи поверхні. Відповіддю на поставлене
питання дають теореми, які називаються теоремами про інваріантність
(незмінність) порядку лінії (поверхні).

            Теорема. При переході від однієї декартової системи
координат до іншої порядок алгебраїчної лінії (поверхні) не змінюється.

з центром в початку координат:

                       

3.2.3. Лінії і фігури на площині

А. Лінії в прямокутній системі координат.

            Між точками площини у декартовій (прямокутній) системі
координат і парами дійсних чисел – координатами точок встановлена
взаємно однозначна відповідність.

            Як було показано в п.3.2.1,  лінія на площині може
задаватися або рівнянням   

або

.                                             

. Слід зауважити, що не завжди вдається з неявного рівняння одну із
змінних виразити через іншу. Проте це не перешкода для дослідження лінії
за її рівнянням, хоча ці дослідження, як правило, більш складні, ніж у
випадку явного задання лінії рівнянням.

            Зрозуміло, що координати будь-якої точки, яка належить
лінії, задовольняють її рівняння, а координати точки, яка не належить
лінії, не задовольняють його. Таке рівняння і називається рівнянням
лінії.

 від неї.

.

.

 .

. Піднісши обидві частини рівності до квадрата, одержимо 

.

Графіком цієї лінії є парабола.

            Важливою задачею є знаходження точки перетину двох ліній.
Нехай дві лінії задані рівнянням

.

            Якщо ці лінії перетинаються, то існує точка, спільна для
обох ліній. Тому її координати повинні задовольняти
обидва                                             рівняння. Отже, для
знаходження точки їх перетину треба розв’язати систему рівнянь:

            Може виявитись, що ця система має кілька дійсних розв’язків.
Це означатиме, що ці дві лінії перетинаються в такій самій кількості
точок. Якщо система рівнянь не має дійсних розв’язків, то задані дві
лінії не перетинаються, тобто не мають спільних точок.

 лінії

 мають лише одну спільну точку?

            Р о з в ’ я з о к. Для знаходження спільних точок розглянемо
систему рівнянь:

 у перше рівняння одержимо

) мають лише одну спільну точку.

Б. Опис фігур на площині.

 — сталі величини, а

 — змінні, є рівнянням прямої на площині. Справді, з цього рівняння
одержуємо

,

, які задовольняють це рівняння, зображають на площині точки, що
належать цій прямій. Координати тих точок, які не лежать на прямій, не
задовольняють рівнянню, тобто в результаті їх підстановки у рівняння в
правій частині одержимо не нуль, а якесь число, відмінне від нуля,
додатне або від’ємне.

, що належить якійсь півплощині, в результаті їх підстановки в рівняння
дають число, більше нуля, то і всі точки цієї півплощини теж дадуть
число, більше нуля. Тоді всі точки другої півплощини в результаті
підстановки їх у рівняння дадуть число, менше нуля.

 — рівняння прямої. Побудуємо відповідну пряму і дослідимо півплощини,
на які ця пряма ділить площину (рис. 3.2).

і

, то одержимо від’ємне

.

            У загальному випадку пряма

.

.

            Якщо треба включити і граничну лінію півплощини, то пишуть

 залежно від того, яка півплощина мається на увазі.

            Якщо задано систему нерівностей, то вона, взагалі кажучи,
визначає деякий многокутник.

            Приклад 2. Побудувати фігуру, що описується системою
нерівностей:

. Тепер можна побудувати три граничні прямі (рис.3.3).

, і підставимо її координати у нерівності. Легко перевірити, що всі

 включаються в цю область, а

не включається (строга нерівність).

                                        Штрихування сторін трикутника
спрямоване всередину трикутника. Це   означає, що область, обмежена
сторонами

. Цілком можливі випадки, коли система нерівностей не визначає ніякої
області на площині. У цьому випадку вона є суперечливою.

 описує внутрішність круга з центром у початку координат, включаючи і
границю круга. У випадку строгої нерівності границя круга не входить до
області площини, що описується нерівністю.

В. Лінії в полярній системі координат.

.

.

.

 (чотирипелюсткова троянда).

.

 вигідно обчислювати, вибравши

.

),

).

          

 Тоді дане рівняння запишеться у вигляді

                Рис.3.4

  

, тобто вона є центрально — симетричною. Цей факт значно спрощує
побудову.  Проте побудову лінії в даній задачі краще здійснювати за
полярним рівнянням лінії.

             Приклад 2. Побудувати графік функції

.

. Тоді матимемо

.

            Отже,

.

. Тому криву досить

               Рис.3.5                             побудувати у першій
чверті, а потім

                                                            її доповнити
центрально- симетричним відображенням (рис.3.5).

3.2.4. Параметричні рівняння ліній

, тобто рівняння руху матеріальної точки записують у вигляді

            Тому такі рівняння і називають параметричними.

 підставити у друге рівняння, то одержимо

.

            Приклад. Дві прямі обертаються навколо двох нерухомих точок,
залишаючись весь час взаємно перпендикулярними. Знайти множину точок їх
перетину.

.

.

 будуть такими:

           

        Рис.3.6                            Щоб перейти до декартових
координат, 

.

 

Похожие записи