Реферат на тему:

Застосування похідної

Правило Лопіталя

. Тоді говорять, що в точці а функція f (x) має невизначеність виду

. (4.17)

, тобто визначити спосіб для розкриття невизначеностей виду (4.17).

Теорема (правило Лопіталя). Границя відношення двох нескінченно малих
або нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їхніх
похідних (скінченній або нескінченній), якщо остання існує.

знову застосовуємо правило Лопіталя і виводимо формулу

і т. п.

.

. Застосовуємо правило Лопіталя:

.

.

. Застосовуємо правило Лопіталя:

, а тому застосовуємо правило Лопіталя повторно):

.

Перетворення невизначеностей виду

.

. При розкритті інших типів невизначеностей їх перетворюють до одного з
цих видів.

.

Потрібно знайти

. (4.18)

.

Якщо вираз (4.18) записати у вигляді

,

.

.

, застосуємо правило Лопіталя:

.

(а — скінченне або нескінченне) можливі три випадки:

;

;

.

.

для всіх трьох випадків.

(k — скінченне або ().

.

.

, і прологарифмуємо її:

.

. Застосуємо правило Лопіталя:

.

.

.

.

.

.

.

.

, а потім двічі застосуємо правило Лопіталя:

Зростання та спадання функцій

).

Теорема 1 (необхідна умова зростання (спадання) функції):

1. Якщо диференційовна функція зростає на деякому проміжку, то похідна
цієї функції невід’ємна на цьому проміжку.

2. Якщо диференційовна функція спадає на деякому проміжку, то похідна
цієї функції недодатна на цьому проміжку.

Рис. 4.8

Теорема 2 (достатня умова зростання (спадання) функції):

1. Якщо похідна диференційовної функції додатна всередині деякого
проміжку, то функція зростає на цьому проміжку.

2. Якщо похідна диференційовної функції від’ємна всередині проміжку, то
функція спадає на цьому проміжку.

.

.

.

.

Екстремуми функцій

.

Рис. 4.9

Максимум або мінімум функції називається екстремумом функції, а ті
значення аргументу, при яких досягаються екстремуми функції, називаються
точками екстремуму функції (відповідно точками максимуму або мінімуму
функції).

Екстремум функції, у загальному випадку, має локальний характер — це
найбільше або найменше значення функції порівняно з ближніми її
значеннями.

Необхідна умова екстремуму функції. Теорема. У точці екстремуму
диференційовної функції похідна її дорівнює нулю:

(4.19)

дотична до її графіка паралельна осі Ох (рис. 4.10).

Рис. 4.10

Наслідок. Неперервна функція може мати екстремум тільки в тих точках, де
похідна функції дорівнює нулю або не існує.

, то, згідно з даною теоремою, ця похідна дорівнює нулю.

Рис. 4.11

Те, що в точці екстремуму неперервної функції похідна може не існувати,
показує приклад функції, графік якої має форму «ламаної» (рис. 4.11).

не існує (наприклад, перетворюється на нескінченність), називаються
критичними значеннями аргументу (критичними точками).

.

Рис. 4.12

змінює знак при зміні знаку аргументу х (рис. 4.12).

має місце екстремум цієї функції. Через це поряд з необхідною умовою
існують достатні умови існування екстремуму функції.

Теорема 1 (перше правило).

неперервна на деякому інтервалі, в якому міститься критична точка х0,
і диференційовна в усіх точках цього інтервалу (крім, можливо, самої
точки х0). Якщо при переході зліва направо через цю точку похідна:

1) змінює знак з «+» на «–», то при х = х0 функція має максимум;

2) змінює знак «–» на «+», то функція має у цій точці мінімум;

3) не змінює свого знака, то функція в точці х = х0 екстремуму не має.

і для всіх х, достатньо близьких до точки х1, виконуються нерівності

Рис. 4.13

дотична утворює з віссю Ох тупий кут — функція спадає; при х = х1
функція переходить від зростання до спадання, тобто має максимум.

і для всіх значень х, достатньо близьких до точки х2, виконуються
нерівності

дотична до кривої утворює гострий кут — функція зростає. При х = х2
функція переходить від спадання до зростання, тобто має мінімум.

. Звідси при х = х3 функція не має ні максимуму, ні мінімуму.

на максимум і мінімум.

.

2. Обчислюємо критичні значення аргументу х (критичні точки), для цього:

;

має розрив.

, де х1 і х3 — найближчі критичні точки).

у кожній критичній точці.

.

.

.

Похідна скрізь неперервна. Значить, інших критичних точок для заданої
функції не існує.

).

Виберемо в кожному інтервалі по одній точці і обчислимо значення
похідної в цих точках:

;

;

.

Знак похідної на кожному з трьох інтервалів збігається зі знаком
похідної в обраній точці відповідного інтервалу (табл. 4.1).

З таблиці видно: при переході (зліва направо) через значення

х = 1 похідна змінює знак з «+» на «–». Звідси, при х = 1 функція має
максимум:

.

Таблиця 4.1

При переході через значення х = 3 похідна змінює знак з «–» на «+».
Звідси, при х = 3 функція має мінімум:

.

На інтервалі:

— функція зростає;

2) (1, 3) — спадає;

— зростає.

Крім того,

.

На основі проведеного дослідження будуємо графік функції (рис. 4.14).

Рис. 4.14

, то:

має мінімум;

— максимум;

— питання залишається відкритим, і для його розв’язання треба
застосувати перше правило.

Зауваження. Для критичних точок, в яких похідна функції не

існує або дорівнює нескінченності, друге правило не застосовується.

.

перетворюється в нуль у точках х = 1 і х = 3 (див. попередній
приклад).

:

;

(див. рис. 4.14).

Найбільше і найменше значення функції на відрізку

неперервна на проміжку [a; b], то вона набуває на цьому проміжку свого
найбільшого й найменшого значення.

Найбільше значення функції на проміжку [a; b] називається абсолютним
максимумом, а найменше — абсолютним мінімумом.

має скінченне число критичних точок. Якщо найбільше значення
досягається в середині проміжку [a; b], то очевидно, що це значення буде
одним із максимумів функції (якщо існує кілька максимумів), точніше —
найбільшим максимумом. Однак можливо, що найбільше значення
досягатиметься на одному з кінців проміжку.

Таким чином, функція на відрізку [a, b] досягає свого найбільшого
значення на одному з кінців цього проміжку або в такій точці його, яка є
точкою максимуму.

Аналогічне твердження можна сформулювати й про найменше значення
функції: воно досягається на одному з кінців даного проміжку або в такій
внутрішній точці, яка є точкою мінімуму.

Правило. Якщо треба знайти найбільше значення неперервної функції на
проміжку [a, b], то необхідно:

1) знайти всі максимуми функції на проміжку;

2) визначити значення функції на кінцях проміжку, тобто обчислити f (a)
і f (b);

3) з усіх отриманих значень функції вибрати найбільше: воно й буде
найбільшим значенням функції на проміжку.

Аналогічно треба діяти і при визначенні найменшого значення функції на
проміжку.

.

:

;

.

.

Рис. 4.15

.

2. Визначаємо значення функції на кінцях проміжку:

.

.

Графік функції зображено на рис. 4.15.

4.4.6. Опуклість і вгнутість кривої.

Точка перегину

Означення. Крива на проміжку називається опуклою (угнутою), якщо всі
точки кривої лежать нижче (вище) будь-якої її дотичної на цьому
проміжку.

є опуклою на проміжку (а, с) і вгнутою на проміжку (с, b).

Означення. Точка, яка відокремлює опуклу частину кривої від вгнутої,
називається точкою перегину. На рис. 4.16 точка М — точка перегину.

Наведемо дві теореми.

, то графік функції вгнутий.

, то графік функції випуклий.

є точкою перегину графіка функції.

Рис. 4.16

Рис. 4.17

не є точкою перегину.

.

.

перетворюється в нуль, коли

.

є точками перегину графіка функції (рис. 4.17).

Результати дослідження заносимо в табл. 4.2.

Таблиця 4.2

+ 0 – 0 +

у ( Перегин ( Перегин (

— опуклий.

4.4.7. Асимптоти

Рис. 4.18

Змінна точка М рухається по кривій у нескінченність, ко-

ли відстань від цієї точки до початку координат необмежено зростає.

Означення. Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань d від
змінної точки М кривої до цієї прямої при віддаленні точки М у
нескінченність прямує до нуля (4.18). Асимптоти бувають вертикальні й
похилі.

Вертикальні асимптоти. Якщо

Рис. 4.19

,

, то пряма х = а є вер-

.

(рис. 4.19).

, тоді

. (4.20)

Якщо хоча б одна з границь (4.20) не існує, то крива похилих асимптот у
відповідній напівплощині не має.

.

( 1. Оскільки

,

то пряма х = 0 (вісь Ох) є вертикальною асимптотою.

gdn,?

gdn,?

?

??

-f

h

j

l

ae

e

i

i

u

ue

j

gdn,?

j

gdn,?

gdn,?

4m6m
n>[email protected]»p6pprDs?s?t?uJvDw’wdxTyVyoocssoooss*o**ooooooooooE

gdn,?

gdn,?

j

gdn,?

gdn,?

gdn,?

¤ ¤gdn,?

gdn,?

j

gdn,?

3 G

3 G

gdn,?

gdn,?

с. 4.20

, тоді

— похила асимптота для графіка функції (рис. 4.20).

План дослідження функцій і побудови їхніх графіків

При дослідженні функцій треба:

1. Знайти область визначення функції.

2. Встановити парність (непарність) і періодичність функції.

3. Знайти точки розриву функції та їх характер.

4. Визначити точки перетину графіка функції з осями координат.

5. Знайти точки екстремуму та обчислити значення функції у цих точках.

6. Визначити інтервали зростання й спадання функції.

7. Знайти точки перегину, інтервали випуклості й вгнутості.

8. Знайти асимптоти.

9. Знайти граничні значення функції, коли х прямує до граничних точок
області визначення.

Графік функції будують за характерними точками й лініями, отриманими у
результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки
для деяких конкретних значень аргументу.

і побудувати її графік.

.

2. Точка х = 1 є точкою розриву функції. Дослідимо її характер:

.

Як ліворуч, так і праворуч точки х = 1 маємо нескінченний розрив.

Точка х = 1 — точка розриву другого роду.

3. Вертикальні асимптоти. Пряма х = 1 є вертикальною асимптотою.

.

5. Знаходимо точки екстремуму та інтервали зростання і спадання функції,
результати заносимо у табл. 4.3:

не існує, але у цій точці сама функція теж не існує. Дослідимо
критичну точку х = 0 на екстремум:

;

.

Таблиця 4.3

у

ymin (–1)

Не існує

Проходячи через критичну точку зліва направо, похідна змінює знак з «–»
на «+», через це в точці х = 0 функція має мінімум:

.

, отже, функція на цьому інтервалі спадає.

6. Точки перегину та інтервали опуклості й вгнутості графіка функції
знаходимо за допомогою другої похідної:

не існує, але в цій точці не існує і сама функція.

:

;

.

, змінює знак, отже, точка перетину кривої з цією абсцисою є точкою
перегину.

Знайдемо її ординату:

.

— точка перегину.

, значить, графік функції вгнутий.

Результати дослідження заносимо у табл. 4.4.

Таблиця 4.4

+ 0 + Не існує +

у ( Перегин

(– 8/9) ( Не існує (

:

Таким чином, похилою асимптотою є у = 0 (вісь Ох).

, (2; 3), (3; 1,3).

Рис. 4.21

Економічний зміст похідної. Використання поняття похідної в економіці

відображає кількість виробленої продукції u за час t і необхідно
знайти продуктивність праці в момент t0.

, тобто

.

Таким чином, продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої
продукції по часу.

Розглянемо ще одне поняття, яке ілюструє економічний зміст похідної.

виражає граничні витрати виробництва і характеризує наближено
додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової продукції.

Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількість продукції, що
випускається) х і визначаються не постійними виробничими затратами, а
лише змінними (на сировину, паливо та ін.). Аналогічним чином можуть
бути визначені гранична виручка, граничний дохід, граничний продукт,
гранична корисність, гранична продуктивність та інші граничні величини.

Застосування диференціального числення для дослідження економічних
об’єктів та процесів на основі аналізу цих граничних величин дістало
назву граничного аналізу. Граничні величини характеризують не стан (як
сумарна чи середня величини), а процес зміни економічного об’єкта. Таким
чином, похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об’єкта
(процесу) за часом або відносно іншого об’єкта дослідження. Але
необхідно врахувати, що економіка не завжди має змогу використовувати
граничні величини у зв’язку з неподільністю багатьох об’єктів
економічних розрахунків та перервністю (дискретністю) економічних
показників у часі (наприклад, річних, квартальних, місячних та ін.).
Водночас у деяких випадках можна знехтувати дискретністю показників і
ефективно використовувати граничні величини.

Розглянемо, наприклад, співвідношення між середнім та граничним доходом
в умовах монопольного та конкурентного ринків.

Сумарний дохід (виручка) від реалізації продукції r можна визначити як
добуток ціни одиниці продукції р на кількість продукції q, тобто r = pq.

(див. рис. 4.22). Звідси, в умовах монопольного ринку зі зростанням
кількості реалізованої продукції граничний прибуток зменшується,
внаслідок чого відбувається зменшення (з меншою швидкістю) середнього
прибутку.

(див. рис. 4.23). Таким чином, в умовах ринку вільної конкуренції, на
відміну від монопольного ринку, середній та граничний прибутки
збігаються.

Рис. 4.22 Рис. 4.23

Для дослідження економічних процесів та розв’язування інших прикладних
задач використовується поняття еластичності функції.

:

. (4.21)

при зміні незалежної змінної х на 1%.

, тобто еластичність

від’ємна (див. рис. 4.25).

Рис. 4.24 Рис. 4.25

Властивості еластичності функції.

, тобто

.

2. Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці)
еластичностей цих функцій:

.

3. Еластичності взаємно обернених функцій — взаємно обернені величини:

. (4.22)

Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції.
Наприклад, еластичність попиту у відносно ціни х (або доходу х) —
коефіцієнт, що визначається за формулою (4.21) і наближено показує, на
скільки відсотків зміниться попит (обсяг пропозиції) при зміні ціни (або
доходу) на 1%.

, то йдеться про попит з одиничною еластичністю.

— довільна функція. Знайдемо граничний прибуток:

.

, отримаємо при довільній кривій попиту:

. (4.23)

додатний. Таким чином, для нееластичного попиту зміна ціни та
граничного прибутку відбувається в одному напрямку, а для еластичного
попиту — в різних. Це означає, що зі зростанням ціни для продукції
еластичного попиту сумарний прибуток від реалізації продукції
збільшується, а для товарів нееластичного попиту — зменшується. На рис.
4.22 на кривих прибутків виділені області еластичного та нееластичного
попиту.

Приклад. Залежність між витратами виробництва у і об-

(грош. од.). Визначити середні та граничні витрати за умови, що обсяг
продукції 10 одиниць.

(грош. од.). Отже, якщо середні витрати на виробництво одиниці
продукції складають 45 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові
затрати на виробництво додаткової одиниці продукції за умови даного
рівня виробництва (обсягу продукції, що випускається 10 од.), складають
35 грош. од.

. Знайти еластичність собівартості за умови випуску продукції в розмірі
60 млрд грош. од.

( За формулою (4.21) еластичність собівартості

.

, тобто при виробництві продукції в розмірі 60 млн грош. од.,
збільшення її на 1% викличе зменшення собівартості на 0,6%.

, де q та s — кількість товарів, відповідно що купується і пропонується
для продажу за одиницю часу, р — ціна товару. Знайти: а) рівноважну
ціну, тобто ціну, за якої попит та пропозиція врівноважуються; б)
еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни; в) зміну доходу при
збільшенні ціни на 5% від рівноважної.

, звідки р = 2, тобто рівноважна ціна дорівнює 2 грош. од.

б) Знайдемо еластичності попиту та пропозиції за формулою (4.21):

.

.

Оскільки отримані значення еластичності за абсолютною величиною менші 1,
то попит і пропозиція даного товару за рівноважної (ринкової) ціни
нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціни не приведе до
різкої зміни попиту та пропозиції. Так, при збільшенні ціни р на 1%
попит зменшиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%.

в) При збільшенні ціни р на 5% від рівноважної попит зменшиться на 5 (
0,3 = 1,5%, тобто прибуток зросте на 3,5%.

Формула Тейлора

дорівнюють значенням відповідних похідних від функції f(x) у цій точці

(4.24)

з невідомими коефіцієнтами

(4.25)

Продиференціювавши n разів вираз (4.25), дістанемо:

(4.26)

Візьмемо у виразах (4.25) та (4.26) х = а. Результат підставимо в
рівності (4.24), маємо:

(4.26)

(4.26) у формулу (4.25), одержимо шуканий многочлен у вигляді:

(4.27)

звідки

або, у розгорнутому вигляді:

(4.28)

дає наближене подання функції f(x).

при різних значеннях х, для цього запишемо його в вигляді

(4.29)

— невідома функція.

Згідно з (4.29) формула (4.28) запишеться так:

(4.30)

Для значень t (t лежить між величинами а та х) введемо допоміжну
функцію:

(4.31)

(4.31):

або, після скорочення:

(4.32)

Згідно з (4.32) маємо

або

Підставляючи цей вираз у формулу (4.29), маємо:

Здобута рівність називається залишковим членом у формі Лагранжа.

тоді формула для залишкового члена набирає вигляду:

Вираз

називається формулою Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа.

Узявши у формулі а = 0, дістанемо формулу Маклорена:

(4.33)

4.4.11. Розклад за формулою Маклорена

дістаємо:

Підставляючи здобуті вирази у формулу (4.33), маємо:

Оцінка залишкового члена в цьому разі така:

При х = 1 маємо формулу для знаходження наближеного значення числа е:

або 0,00001.

взявши достат-

з заданим степенем

точності.

за формулою Маклорена:

Застосуємо здобуту формулу для наближеного обчислення sin 20(. Візьмемо
n = 3, тобто обмежимося двома першими членами розвинення:

Оцінимо зроблену похибку, яка дорівнює залишковому члену:

та підставляючи у формулу Маклорена, дістаємо:

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

PAGE 228

Похожие записи