Реферат на тему:

Застосування функцій багатьох змінних, визначеного інтегралу,
диференціальних рівнянь в економіці

Застосування функцій багатьох змінних в економіці

Одним із базових понять економічної теорії є функція корисності, що
виражає корисність придбання т різновидностей товарів. Часто вона
використовується у формах:

— логарифмічна функція;

— функція постійної еластичності.

Функція Кобба — Дугласа — виробнича функція, яка характеризує залежність
об’єму випуску продукції Q від затрат капіталу К і трудових ресурсів.
Для випадку двох змінних вона має вигляд

де А>0 — параметр продуктивності конкретно взятої технології, 00 в точці М, тому в
ній функція досягає максимуму, який рівний

Пmax = П(2;4)=28у.о.

Задача цінової дискримінації

Необхідно розподілити однорідний товар на різні ринки з різним попитом,
щоб максимізувати загальний прибуток.

Оскільки, еластичність попиту на різних ринках неоднакова, то на товар
встановлюються різні ціни, що веде до так званої цінової дискримінації.

Загальна постановка задачі. Нехай x1, x2…,xт кількості однорідного
товару який продається на т ринках за цінами рі.(хі), тобто ціна на
кожному ринку залежить від кількості пропонованого товару. Припустимо,
що функція затрат залежить від загальної кількості товару

С = S (x1 + х2+…+хт).

Тоді загальний прибуток

П = х1 р1+х2 р2+…+xт рm — S(x1+x2 +…+xт) (2)

Умова екстремуму

веде до системи рівнянь, для визначення стаціонарних точок за умови
хі>0, і=1,2,…,т

рі (хі)+хі.р’і.(хі)-S’(х1+х2+…+хт) = 0, і=1,2,…,т. (3)

Проаналізуємо дохід Ri = хi рi(хi) на кожному ринку. Граничний дохід

де Еi — еластичність попиту на і-тому ринку. Так як Еi — звичайно
від’ємна величина, останню рівність можна переписати в зручній формі

. Із рівняння (3), маємо

Звідки і виводиться умова “цінової дискримінації”: чим менша за
абсолютною величиною еластичність даного ринку, при даній кількості
товару, тим вища має бути ціна на товар на цьому ринку за умови
максимального прибутку.

Приклад 2. Нехай маємо три ринки з кількістю товару для продажу х1, х2,
х3 з цінами на товар відповідно рі =аі — bi хi , так що дохід Ri = хi
(аi – bi хi). Нехай функція затрат виражається формулою

П = x1 (a1 – b1 x1) + х2(а2 — b2х2) + х3(а3 — b3х3) — А — В (x1+ х2 +
х3).

Гессіан функції прибутку рівний

Оскільки bi> 0, то за критерієм Сільвестра (проходить зміна знаку в
головних мінорах , починаючи з мінуса) отримана точка є точкою мінімуму.
Для конкретизації, візьмемо:

а1 =25, а2 =45, а3 =85, b1 =5, b2=4, b3= 10, А=10, В=5.

Отримаємо розподіл товарів за ринками

х1 =2, х2=5, х3=А при цінах відповідно р1=15, р2=25, р3=45.

і-го ринку, тим вища має бути ціна товару на цьому ринку. Максимальний
отриманий прибуток Пmax = 270.

Просте застосування визначеного інтегралу в економіці

В економічних задачах змінні, як правило, змінюються дискретно.
Застосування визначеного інтегралу вимагає ідеалізувати математичну
модель задачі, вважаючи, що незалежні змінні і функція змінюються
неперервно. Наведемо два прості приклади застосування визначеного
інтегралу.

Приклад 1. Знайти денний виробіток Р за робочий день тривалістю 8годин,
якщо продуктивність праці протягом дня змінюється за емпіричною формулою

де t — час(год), Р0 — розмірність продуктивності (одиниця продукції за
год.), t0 — розмірність часу (год). Ця формула відображає реальний
процес роботи (мал.)

Розв’язання. Продуктивність спочатку зростає, досягаючи максимального
значення всередині робочого дня, при t=4, а потім спадає.

мал.

Денний виробіток становитиме

де множник й0 має розмірність одиниці продукції.

Приклад 2. Виробництво деякого обладнання характеризується темпом росту
його випуску

де ?y — приріст випуску цього обладнання за час ?t , а y — рівень його
виробництва за одиницю часу на момент t. Знайти загальну кількість
обладнання, виготовленого до моменту часу t, вважаючи що К — відома
постійна величина, одиниця часу — рік , а в початковий момент часу t=0
рівень річного виробництва обладнання був у0.

Розв’язання. Вважаючи, що у — неперервна функція від t, знайдемо границю

Інтегруючи останній вираз в межах від 0 до t, маємо

Сумарна кількість обладнання, виготовленого за час t, буде рівна

Тоді, наприклад, при к=0.05 ( 5% щорічний темп росту) загальна кількість
обладнання, виготовленого за 10 років

причому рівень виробництва за вказаний період збільшився майже на 65%.

Часто для визначення економічної ефективності капіталовкладень
зустрічаються так звані задачі дисконтування: визначення початкової суми
S через час t за її кінцевою величиною S при відсотковій ставці р.

Застосування апарату диференціальних рівнянь в економіці

Розглянемо деякі приклади застосування теорії диференціальних рівнянь в
неперервних моделях економіки, де незалежною змінною є час t. Такі
моделі досить ефективні при дослідженні еволюції економічних систем на
довгих інтервалах часу. Вони і є предметом дослідження економічної
динаміки.

Модель природного росту випуску продукції

Нехай деяка продукція продається за фіксованою ціною Р, Q(t) — кількість
продукції реалізованої на момент t. Тоді дохід складає PQ(t). Нехай
частина доходу реалізується на інвестиції у виробництво реалізованої
продукції, т.т.

J(t) = mPQ(t), (1)

де m — норма інвестиції, стале число (0<т<1). Якщо вважати, що ринок ненаситний (повна реалізація продукції), то в результаті розширеного виробництва отримаємо приріст доходу, частина якого знову піде на розширення випуску продукції. Це приведе до росту швидкості випуску (акселерації), причому швидкість випуску продукції пропорційна збільшенню інвестицій Q' = LJ(t) (2) де 1/L- норма акселерації. Підставляючи (2) в (1), отримаємо Q' = kQ, (k = LmP). (3) Диференціальне рівняння (3) є рівнянням з розділеними змінними, яке має загальний розв'язок Q = С ekt, С - довільна стала. Якщо в початковий момент часу t = t0, задано об'єм випуску продукції Q0, то Q0 = С exp(kt0), звідки С =Q0exp(-kt0). Тому частинний розв'язок (4) Зауважимо, що ця математична модель є загальною. Так процес розмноження бактерій, в результаті біологічних дослідів, також описується рівнянням (3). Процес радіоактивного розпаду підпорядковується закономірності (4). Ріст випуску продукції в умовах конкуренції Тепер із формул (1) - (3), отримуємо нелінійне ДР першого порядку з розділеними змінними Q' = ? P(Q) Q, ? = Lm. (5) Поскільки всі множники в правій частині (5) додатні, то Q' > 0, тобто
Q(t) — зростаюча функція. Характер зростаючої функції визначається її
другою похідною. Із (5), маємо

, ця рівність має вигляд

, а значить Е < 0, отримаємо: (6) Із рівняння (6) випливає, що при еластичному попиті, тобто коли |Е| > 1,
Q» > 0 і графік функції Q(t) опуклий вниз, що означає прогресивний ріст.

При нееластичному попиті |Е| < 1, Q" < 0 — графік функції Q(t) випуклий вверх, це вказує на сповільнений ріст (насичення ринку). Для простоти залежність P(Q) візьмемо лінійною (рис.1). (7) рис.1. рис.2. Тоді рівняння (5) набирає вигляду Q' = ?(а – bQ)Q. (8) Звідки Q" = ? Q' (a --2bQ). (9) - точка перегину графіка функції Q=Q(t). Інтегральна крива (рис.2) носить назву логістична крива. Аналогічні криві характеризують і інші процеси. Наприклад, розмноження бактерій в обмеженому середовищі, динаміка епідемій всередині обмеженої системи біологічних організмів та ін. Динамічна модель Кейнса Розглянемо найпростішу балансову модель, яка включає в себе основні компоненти динаміки витратної і дохідної частин економіки. Нехай Y(t), E(t), S(t), J(t) - відповідно: Y(t) - національний дохід; E(t) - державні витрати; S(t) - споживання; J (t) - інвестиції. Всі ці величини розглядають як функції часу. Тоді справедливі співвідношення: де a(t) - коефіцієнт схильності до споживання b(t) - автономне (залишкове) споживання; k(t) - норма акселерації. Всі функції, що входять в (10), вважаються додатніми. Пояснимо зміст цих рівнянь. Сума всіх витрат має бути рівна національному доходу - 1-е рівняння. Загальне споживання складається із внутрішнього споживання частини національного доходу в народному господарстві плюс залишкове споживання - 2-е рівняння. Розмір інвестицій не може бути довільним. Він визначається добутком норми акселерації (величина якою характеризується рівень технології і інфраструктури даної держави) на граничний національний дохід. Будемо вважати, що функції a(t), b(t), k(t), E(t) задані, вони виражають функціонування і еволюцію даної держави. Потрібно знайти динаміку національного доходу Y(t). Підставивши 2-е і 3-є рівняння системи (10) в перше, отримаємо неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку (11) Якщо взяти a, b, k- сталими, то рівняння (11) спрощується до випадку лінійного диференціального рівняння першого порядку з постійними коефіцієнтами (12) Частинний розв'язок рівняння (12) (так званий рівноважний розв'язок, коли Y’=0) такий (13) Тоді загальний розв'язок рівняння (12) (14) Інтегральні криві (14) зображені на рис.3. рис.3 Інтегральні криві (рис.3) характеризують еволюцію національного доходу. Якщо в початковий момент часу Y0 Y , то С > 0 і інтегральні криві йдуть вверх від рівноважної
прямої Y = Yp , то національних дохід з часом зростає.

Похожие записи