реферат

на тему:

Закони розподілу випадкових величин

 

ПЛАН

1. Розподіл (2 -Пірсона

2. Розподіл Стьюдента

3. Розподіл Фішера — Снедекора

4. Логарифмічний нормальний розподіл

Список використаної літератури

Нормальному закону розподілу в математичній статистиці у теорії
надійності при побудові статистичних моделей належить центральне місце.
Важливу роль відіграє, також, розподіл «хі-квадрат» ((2).

 

1. Розподіл (2 -Пірсона

 

ОЗНАЧЕННЯ 1. Випадкова величина

має розподіл хі-квадрат з

n ступенями свободи, якщо кожна з (( (к = 1, 2, …, n)

незалежних випадкових величин має нормований

закон розподілу ((( ( (((((((.

 

Для обчислення щільності ймовірностей випадкової величини (2.

Зауважимо, що (( ( ((1/2,1/2) коли ( ( ((0,1).

Дійсно, якщо x > 0, а ( = ( = 1/2, тоді

,

 

і (( має щільність розподілу:

а це є щільність гамма-розподілу з параметрами ( = 1/2 і ( = 1/2.

За теоремою 7.4 матимемо, що розподіл випадкової величини (2

є гамма-розподіл із параметрами ( = n/2 і ( = 1/2. Тобто

 

 

Тоді функція розподілу ймовірностей буде:

 

 

для різних (m) ступенів свободи зображені на рис. 7.7. а) та 7.7. б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.7. а)

 

 

Рис. 7.7. б)

 

 

Числові характеристики (2(n):

 

 

 

2 Розподіл Стьюдента

 

незалежні та мають нормований закон розподілу

((( ( ((((((((. Тоді випадкова величина

має щільність розподілу

Стьюдента з n ступенями свободи

 

не залежить від дисперсії (( випадкових величин ((.

 

Графіки (з n = 4 ступенями свободи) та ((х;0,1) — стандартного
нормованого закону зображені на рис. 7.8.

 

Рис. 7.8

 

Числові характеристики t(n) — розподілу:

 

(існує тільки при n > 2).

(існує тільки при n > 4).

 

 

Цей результат у 1908 р. дістав англійський статистик В. Госсет, який
писав за псевдонімом «Стьюдент».

 

 

3 Розподіл Фішера — Снедекора

 

ОЗНАЧЕННЯ 3. Нехай випадкові величини

— незалежні та мають

нормований закон розподілу (((((((((.

Тоді випадкова величина

має щільність ймовірностей розподілу Фішера — Снедекора:

 

Зауважимо, що іноді цей закон називають

F — розподілом із (n + m) ступенями свободи

за ім’ям англійського статистика Р. Фішера.

може бути визначена як

 

— розподілу:

 

, (існує при m > 2).

, (при m > 4).

, (при m > 4).

, (при m > 6).

(існує тільки при n > 8).

 

 

4 Логарифмічний нормальний розподіл

 

ОЗНАЧЕННЯ 4. Випадкова величина ( буде розподілена

за логоририфмічно-нормальним законом, якщо її логарифм

( ln( ), буде мати нормальний розподіл. Тобто

а тоді щільність розподілу ( буде мати вигляд

 

 

Числові характеристики (:

Список використаної літератури

1. Розанов Ю. А. Лекции по теории вероятностей. — М.: Наука, 1986.

2. Теорія ймовірностей і математична статистика / Г.Я.Стопень, В.Б.
Рудницький. — Хмельницький, ТУП, 2001

3. Солодовников А. С. Теория вероятностей. — М.: Просвещение, 1982.

Похожие записи