Реферат на тему:
Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го
порядку.
1. Властивості лінійного диференціального оператору.
Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду
(5.1)
1,2,…, n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).
При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок
.
Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).
=0, називаються особливими.
Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (5.1) називають однорідним
(5.2)
Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор
(5.3)
Властивості оператора L :
L (xy)=k *L (y), k = const;
);
.
.
f (x) (для диференціального рівняння (5.2)
0).
.
. (5.4)
2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального
рівняння n–го порядку.
(5.5)
Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні
розв’язки.
Означення 5.2 Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції,
будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) –
дійсна частина, v(x) – уявна частина).
. (5.6)
Формули (5.6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b
раз.
. (5.7)
Приведемо формули для обчислення похідної :
; (5.8)
справедлива формула
; (5.9)
, (5.10)
– поліноми степеня n ;
(дійсному або комплексному) справедлива формула
. (5.11)
і використання формули (5.8).
(x) (5.12) називається розв’язком однорідного диференціального
рівняння (5.5); якщо
0, a
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
