Реферат на тему:

Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних

рівнянь n-го порядку.

1. Властивості лінійного диференціального оператору.

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду

(1)

1,2,…, n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).

При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок

.

Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).

=0, називаються особливими.

Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (1) називають однорідним

(2)

Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор

(3)

Властивості оператора L :

L (xy)=k *L (y), k = const;

);

.

.

f (x) (для диференціального рівняння (2)

0).

.

. (4)

2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального
рівняння n–го порядку.

(5)

Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні
розв’язки.

Означення 2 Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції,
будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) –
дійсна частина, v(x) – уявна частина).

. (6)

Формули (6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.

. (7)

Приведемо формули для обчислення похідної :

; (8)

справедлива формула

; (9)

, (10)

— поліноми степеня n ;

(дійсному або комплексному) справедлива формула

. (11)

і використання формули (8).

(x) (12) називається розв’язком однорідного диференціального
рівняння (5); якщо

0, a < x < b . (x). (x)) = 0 . (x)) = 0. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5). (x), де с – довільна константа , теж розв’язок диференціального рівняння (5) ) = 0. (x) - розв’язки диференціального рівняння (5) , то ) = 0. ) - розв’язки диференціального рівняння (5), то їх лінійна комбінація також являється розв’язком = 0. Приклад 2. Записати двохпараметричне сімейство розв’язків. sin(x) - розв’язок . 3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n – го порядку. називаються лінійно незалежними на (a,b) , якщо між не існує співвідношення виду 0 , a < x < b , (13) називають лінійно залежними на (a,b). не було постійним на (a,b). Зауваження 1. Якщо одна із функцій на (a,b) тотожньо дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні. . Дійсно співвідношення дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x , так як рівняння (n-1) – го степеня має не більше (n-1) – го коренів. . , так як для будь-якого х справджується співвідношення x – 1 = 0 . Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n - функцій . - лінійно залежні на (a,b) , то їх вронскіан W (x) тотожньо дорівнює нулю на (a,b) . Тут (14) Доведення. Згідно умови теореми , тоді (15) Диференціюємо (15) (n-1)-раз і підставляємо в (14) (16) Розкладаючи визначник (16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже 0 , a < x < b. Теорема доведена. - розв’язок диференціального рівняння (5) . Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих розв’язків даються теоремою 1. і слідуючою теоремою . - суть лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння (5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a,b) , то вронскіан цих розв’язків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a,b) . . Складемо систему рівнянь (17) , то вона має ненульовий розв’язок , (18) яка являється розв’язком диференціального рівняння (5). - лінійно залежні на (a,b). Це протиріччя і доводить теорему. З теорем 1 і 2 випливає : для того , щоб n розв’язків диференціального рівняння (5) були лінійно незалежними на (a,b) необхідно і достатньо , щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу. Виявляється , для вияснення лінійної незалежності n розв’язків диференціального рівняння (5) достатньо переконатися , що W (x) не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a,b) . Це випливає з наступних властивостей вронскіана від n розв’язків диференціального рівняння (5): на (a,b). на (a,b); на (a,b) . (a,b) , що протирічить умові. (a,b) . 4. Формула Остроградського – Ліувілля. (19) і обчислимо його похідну . , Звідки маємо формулу (5.19) . 5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування. Означення 5. Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв’язків . З попереднього випливає , для того , щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5) була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо , щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5) . Всі ці розв’язки повинні бути бути ненульовими . Теорема 3. (про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5) являються неперервними на (a,b) , то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі. (a,b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара , розв’язки : ; ; ... ------------- // --------------- ... ... ... .... . , отже побудовані розв’язки лінійно незалежні . Теорема доведена . З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч. . . 6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків. - фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5) , то формула - довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5) в області a < x < b, (21) , тобто в області визначення диференціального рівняння (5). - розв’язки диференціального рівняння (5) , то лінійна комбінація (20) теж розв’язок . . Згідно визначення (20) – загальний розв’язок і він містить в собі всі розв’язки диференціального рівняння (5) . Теорема доведена . (23) , i=1,2,…,n . , тобто (24) загальний розв’язок в формі Коші . Зауважимо , що загальний розв’язок диференціального рівняння (5) є однорідна лінійна функція від довільних констант . Твердження 1. Диференціальне рівняння (5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розв’язків. Дійсно , нехай ми маємо (n+1) частинний розв’язок . Розглянемо n перших . Якщо вони лінійно залежні , то і всі будуть лінійно залежні , так як . Так , що (n+1)-ий розв’язок знову виявився лінійно залежним . (a,b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1) = 0 і розкрити цей визначник по останньому стовпцю . Якщо відомо один частинний ненульовий розв’язок диференціального рівняння (5) , то можна понизати порядок його на одиницю заміною (25) і диференціального рівняння (5) запишемо у вигляді Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) . Якщо маємо к лінійно незалежнихчастинних розв’язків , то диференціальне рівняння (5) можна понизити на к одиниць .

Похожие записи