.

Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 2273
Скачать документ

Реферат на тему:

Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних

рівнянь n-го порядку.

1. Властивості лінійного диференціального оператору.

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду

(1)

1,2,…, n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).

При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок

.

Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).

=0, називаються особливими.

Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (1) називають однорідним

(2)

Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор

(3)

Властивості оператора L :

L (xy)=k *L (y), k = const;

);

.

.

f (x) (для диференціального рівняння (2)

0).

.

. (4)

2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального
рівняння n–го порядку.

(5)

Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні
розв’язки.

Означення 2 Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції,
будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) –
дійсна частина, v(x) – уявна частина).

. (6)

Формули (6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.

. (7)

Приведемо формули для обчислення похідної :

; (8)

справедлива формула

; (9)

, (10)

– поліноми степеня n ;

(дійсному або комплексному) справедлива формула

. (11)

і використання формули (8).

(x) (12) називається розв’язком однорідного диференціального
рівняння (5); якщо

0, a 4. Формула Остроградського – Ліувілля. (19) і обчислимо його похідну . , Звідки маємо формулу (5.19) . 5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування. Означення 5. Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв’язків . З попереднього випливає , для того , щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5) була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо , щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5) . Всі ці розв’язки повинні бути бути ненульовими . Теорема 3. (про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5) являються неперервними на (a,b) , то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі. (a,b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара , розв’язки : ; ; ... ------------- // --------------- ... ... ... .... . , отже побудовані розв’язки лінійно незалежні . Теорема доведена . З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч. . . 6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків. - фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5) , то формула - довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5) в області a

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020