.

Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 2199
Скачать документ

Реферат на тему:

Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних

рівнянь n-го порядку.

1. Властивості лінійного диференціального оператору.

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду

(1)

1,2,…, n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).

При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок

.

Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).

=0, називаються особливими.

Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (1) називають однорідним

(2)

Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор

(3)

Властивості оператора L :

L (xy)=k *L (y), k = const;

);

.

.

f (x) (для диференціального рівняння (2)

0).

.

. (4)

2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального
рівняння n–го порядку.

(5)

Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні
розв’язки.

Означення 2 Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції,
будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) –
дійсна частина, v(x) – уявна частина).

. (6)

Формули (6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.

. (7)

Приведемо формули для обчислення похідної :

; (8)

справедлива формула

; (9)

, (10)

– поліноми степеня n ;

(дійсному або комплексному) справедлива формула

. (11)

і використання формули (8).

(x) (12) називається розв’язком однорідного диференціального
рівняння (5); якщо

0, a < x < b .(x).(x)) = 0 .(x)) = 0.Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5).(x), де с – довільна константа , теж розв’язок диференціального рівняння (5)) = 0.(x) - розв’язки диференціального рівняння (5) , то) = 0.) - розв’язки диференціального рівняння (5), то їх лінійна комбінація також являється розв’язком= 0.Приклад 2. Записати двохпараметричне сімейство розв’язків.sin(x) - розв’язок .3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n – го порядку.називаються лінійно незалежними на (a,b) , якщо між не існує співвідношення виду0 , a < x < b , (13)називають лінійно залежними на (a,b).не було постійним на (a,b).Зауваження 1. Якщо одна із функцій на (a,b) тотожньо дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні.. Дійсно співвідношеннядорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x , так як рівняння (n-1) – го степеня має не більше (n-1) – го коренів.., так як для будь-якого х справджується співвідношенняx – 1 = 0 .Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n - функцій .- лінійно залежні на (a,b) , то їх вронскіан W (x) тотожньо дорівнює нулю на (a,b) . Тут(14)Доведення. Згідно умови теореми, тоді(15)Диференціюємо (15) (n-1)-раз і підставляємо в (14)(16)Розкладаючи визначник (16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже0 , a < x < b. Теорема доведена.- розв’язок диференціального рівняння (5) . Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цихрозв’язків даються теоремою 1. і слідуючою теоремою .- суть лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння (5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a,b) , то вронскіан цих розв’язків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a,b) .. Складемо систему рівнянь(17), то вона має ненульовий розв’язок, (18)яка являється розв’язком диференціального рівняння (5).- лінійно залежні на (a,b). Це протиріччя і доводить теорему.З теорем 1 і 2 випливає : для того , щоб n розв’язків диференціального рівняння (5) були лінійно незалежними на (a,b) необхідно і достатньо , щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу.Виявляється , для вияснення лінійної незалежності n розв’язків диференціального рівняння (5) достатньо переконатися , що W (x) не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a,b) . Це випливає з наступних властивостей вронскіана від n розв’язків диференціального рівняння (5):на (a,b).на (a,b);на (a,b) .(a,b) , що протирічить умові.(a,b) .4. Формула Остроградського – Ліувілля.(19)і обчислимо його похідну.,Звідки маємо формулу (5.19) .5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування.Означення 5. Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв’язків .З попереднього випливає , для того , щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5) була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо , щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5) . Всі ці розв’язки повинні бути бути ненульовими .Теорема 3. (про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5) являються неперервними на (a,b) , то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі.(a,b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара , розв’язки :;;... ------------- // --------------- ... ... ... ....., отже побудовані розв’язки лінійно незалежні .Теорема доведена .З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч...6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків.- фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5) , то формула- довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5) в області a < x < b,(21) , тобто в області визначеннядиференціального рівняння (5).- розв’язки диференціального рівняння (5) , то лінійна комбінація (20) теж розв’язок .. Згідно визначення (20) – загальний розв’язок і він містить в собі всі розв’язки диференціального рівняння (5) .Теорема доведена .(23), i=1,2,…,n ., тобто(24) загальний розв’язок в формі Коші .Зауважимо , що загальний розв’язок диференціального рівняння (5) є однорідна лінійна функція від довільних констант .Твердження 1. Диференціальне рівняння (5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розв’язків.Дійсно , нехай ми маємо (n+1) частинний розв’язок . Розглянемо n перших . Якщо вони лінійно залежні , то і всі будуть лінійно залежні , так як. Так , що (n+1)-ий розв’язок знову виявився лінійно залежним .(a,b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1)= 0і розкрити цей визначник по останньому стовпцю .Якщо відомо один частинний ненульовий розв’язок диференціального рівняння (5) , то можна понизати порядок його на одиницю заміною(25)і диференціального рівняння (5) запишемо у виглядіМи отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) .Якщо маємо к лінійно незалежнихчастинних розв’язків , то диференціальне рівняння (5) можна понизити на к одиниць .

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019