Загальні властивості неперервних функцій

Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї
змінної, так і для функцій багатьох змінних.

, визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D, є обмеженою.

Для функції однієї змінної замкненою областю D є сегмент, наприклад, [а,
b].

Сформулюємо теорему 3 для функції однієї змінної у = f(х). Функція f(х),
неперервна на [а, b], є обмеженою.

неперервна в інтервалі (0, 1), але вона в цьому інтервалі не обмежена.

і f(А) ? 0, то функція в достатньо малому околі точки А зберігає знак.

Сформулюємо теорему 4 в термінах функції однієї змінної:

якщо функція у = f (х) неперервна в точці а і f(а) ? 0, то функція в
достатньо малому околі точки а зберігає знак.

) виконується нерівність f(х) > 0.

-окіл точки f(а) (рис. 3.75).

такий, що f(х) > 0.

визначена і неперервна в деякій однозв’язній області D, причому в цій
області дві точки А (а1 а2, …, аn) і В (b1, b2, …, bn), в яких
функція набуває значень різних знаків:

f(А) < 0, f(В) > 0,

то в цій області знайдеться принаймні одна точка С, в якій функція
перетворюється в нуль, тобто f(С) = 0.

Введемо поняття однозв’язної області. Множина точок простору Е„
називається простою дугою Жордана (простою кривою), якщо цей простір
можна дістати в результаті відображення деякого сегмента t0 ? t ? Т за
допомогою системи функцій

неперервних на цьому сегменті, причому двом різним значенням параметра t
відповідають, дві різні точки.

, то крива називається простою замкненою кривою.

Розглянемо просту криву, задану рівняннями

х = х(t), y = y(t) (5.18)

на площині. Якщо будь-які дві точки області, розміщеної на площині,
можна сполучити простою кривою, яка міститься в цій області, то область
називається зв’язною. Для утворення однозв’язної області необхідно
розглядати замкнену криву (5.18).

Якщо побудувати просту замкнену криву (5.18) на площині, то площина
розіб’ється на дві області — внутрішню і зовнішню.

?

??

??

??????

?Й?иться в D. На рис. 3.76 області а і б однозв’язні, а область в —
неоднозв’язна. Поняття зв’язної і однозв’язної областей поширюється і на
випадок n-вимірного простору.

) = 0.

називається коренем (нулем) функції f(х), а сформульована теорема
називається теоремою про корінь (про нуль).

На рис. б — три корені, а на рис., a — один.

неперервна в зв’язній області D (відкритій або замкненій) і набуває
різних значень у точках М1 і М2, то яким би не було число С, що
міститься між значеннями f(М1) і f(М2), існує принаймні одна така точка
М3, яка лежить всередині D, що

f(М3) = С

Сформулюємо теорему 6 для функції однієї змінної:

).

Доведення. Нехай А < В і А < С < В (рис. 3.78). Побудуємо функцію Н (х) = f(х) - С. Для цієї функції ) = 0, тобто Звідси що й треба було довести. неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між двома скінченними числами та і М: m ? f(X) ? M. D, в якій функція набуває найбільшого значення f(Х2) = М. Сформулюємо теорему 7 для функції однієї змінної: якщо функція у = f(х) неперервна на [а, b], то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між. двома скінченними числами т і М, які називаються найменшим і найбільшим значеннями функції на сегменті [а, b]. m ? f(x) ? M. такі, що і одна точка х2, в якій f(х2) = М. неперервна в обмеженій замкнутій області D, то вона рівномірно неперервна в D. Теорему наводимо без доведення.

Похожие записи