РЕФЕРАТ

на тему:

Загальні теореми множення й додавання ймовірностей

ПЛАН

Додавання ймовірностей несумісних подій

Ймовірність добутку незалежних подій

Додавання ймовірностей довільних подій

Ймовірність настання хоча б однієї події

Теорема множення ймовірностей залежних і незалежних подій

Приклади розв’язання типових задач.

Список використаної літератури

1. Додавання ймовірностей несумісних подій

Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі
ймовірностей цих подій:

(1)

 є об’єднанням будь-якого скінченого числа несумісних подій:

, (2)

 

, дорівнює одиниці. Тобто

,

Звідси

 (формула ймовірності протилежної події);

2. Ймовірність добутку подій

 називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не
залежить від появи, чи не появи іншої. У протилежному випадку вони
називаються залежними.

 – незалежні події. Тоді ймовірність одночасної появи цих подій
дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

. (2)

3. Формула суми ймовірностей довільних подій

Ймовірність появи хоча б однієї із двох довільних подій дорівнює сумі
ймовірностей цих подій без ймовірностей їх довільної появи:

. (3)

Дана формула може бути узагальнена на будь-яке скінчене число сумісних
подій. Наприклад, для трьох сумісних подій

.

4. Ймовірність настання хоча б однієї події

:

. (4)

 подій мають однакову ймовірність, то ф-ла (4) має вигляд:

. (5)

5. Теорема множення ймовірностей залежних і незалежних подій

З формул

. (5.3)

. (5.4)

для обчислення умовної ймовірності безпосередньо випливають теореми
множення ймовірностей.

Теорема 1. Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності
однієї з них на умовну ймовірність другої при умові, що відбулась перша,
тобто

. (5.5)

Методом математичної індукції теорема 1 поширюється на довільне число
співмножників.

 справедлива формула

. (5.6)

Якщо події незалежні, то теорема множення набуває вигляду:

Теорема 3. Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх
ймовірностей, тобто

. (5.7)

 справедлива рівність

(5.8)

. (5.9)

Очевидно, що події незалежні в сукупності є також попарно незалежними.
Для незалежної сукупності подій теорема множення ймовірностей набуває
вигляду:

. (5.10)

6. Приклади розв’язання задач за допомогою даних теорем

Приклад 1. На полиці у випадковому порядку розставлено 15 книжок,
причому 6 з них з математики. Навмання беруть три книжки. Знайти
ймовірність того, що серед них хоч одна книжка з математики.

Розв’язання.

:

Отже,

:

.

Приклад 2. Ймовірність появи деякої випадкової події у першому
випробовуванні – 0.9, у другому – 0.8, у третьому – 0.7. Яка ймовірність
того, що при трьох випробовуваннях подія з’явиться:

1) тільки один раз;

2) тільки два рази;

3) принаймі один раз;

4) жодного разу.

. За умовою задачі

.

Отже,

1. Ймовірність того, що подія наступить один раз при трьох
випробуваннях:

.

2. Ймовірність того, що подія наступить тільки два рази при трьох
випробуваннях:

.

3. Ймовірність того, що подія наступить принаймі один раз в трьох
випробуваннях:

.

.

Приклад 3

В ящику знаходиться 7 деталей вищого та 4 деталі першого гатунку.З ящика
навмання витягують 4 деталі . Знайти ймовірності подій

1)серед них менше двох деталей вищого гатунку ;

2)хоча б одна деталь першого гатунку .

Розвязання .

Розглянемо події

А={не менше двох деталей вищого гатунку },

В={хоча б одна деталь першого гатунку},

={усі деталі першого гатунку},

={лише одна деталь вищого гатунку},

 ={лише дві деталі вищого гатунку},

 ={лише три деталі вищого гатунку},

 ={чотири деталі вищого гатунку}.

Знайдено ймовірність події А .

Очевидно ,

Тому простіше знайти спочатку Р (?А ), а потім Р(А).

За класичним визначенням ймовірності

Тому

Тоді

.

Знайдемо ймовірність події В .

Очевидно,

.

Тому

Приклад 4. Задано множину цілих чисел ? = ={1,2,…,30}. Навмання з цієї
множини беруть одне число . Яка ймовірність того , що воно виявиться
кратним 5 або 7 ?

Розвязання. Простір ? містить n=30 елементарних подій . Позначимо через
А подію , що полягає в появі числа , кратного 5 , а через В у появі
числа , кратного 7 .Тоді дістанемо :

=6 ;

=4 ;

А ? В = ?

Згідно з (1) маємо:

Приклад 5. В урні містяться 20 однакових кульок які пономеровані від 1
до 20 . Навмання із урни беруть одну кульку . Яка ймовірність того , що
номер кульки виявиться кратним 3 або 5 ?

= 4 — появу кульки із номером , кратним 5 .

 Подія: А і В є сумісними подіями.Їх перетин А ? В = (15).

Згідно з (3.) дістанемо

.

Список використаної літеатури

Калемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В. Б. Теория
вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1991.

Теорія ймовірностей і математична статистика / Г.Я.Стопень, В.Б.
Рудницький і т.д., Хмельницький, ТУП, 2001

Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. — М.:Наука, 1987.

Похожие записи