Реферат на тему:

Загальні питання наближення функцій

Теорія наближень є фундаментом багатьох чисельних методів. Ефективність
чисельного алгоритму може у великій мірі залежати від способу наближення
шуканого розв’язку. Теорія наближень оформилась у змістовну теорію в ХХ
сторріччі, хоча перші результати її були одержані П.Л.Чебишовим в 1853 і
1857 роках, а знамениту теорему Вейєрштрасса доведено в 1885 році.

Основні проблеми обчислювальної математики пов’язані з реалізацією
математичних моделей в умовах обмеженої вхідної інформації, коли все, що
ми маємо або можемо обчислити — це деякі точки, в яких відомі значення
функцїі, причому здебільшого наближено внаслідок похибок різного
походження.

Класичний підхід в теорїі наближень полягає у використанні наявної
інформації для одержання наближуючої функції, оперувати з якою
досить легко. Більша частина класичного чисельного аналізу будується на
наближенні поліномами, хоча не для всіх задач це є вигідним.

Визначивши клас наближуючих функцій, треба вибрати з нього одну певну
функцію за допомогою деякого критерію. Одним з найпоширеніших є
критерій співпадання наближуваної та наближуючої функцій в певних
точках. Більш загальний критерій — вимога мінімізації відстані між цими
функціями як елементами відповідних функціональних просторів.

Нехай u — заданий елемент нормованого лінійного простору U, а V
підпростір в U , що складається з елементів вигляду

i vi , (1)

i — числа.

В залежності від того, належить u простору V, чи ні, виникає дві
задачі:

i vi .

До 1-го випадку належать різноманітні розвинення функцій в ряди
(степеневий, тригонометричний, експоненційний, тощо). Hелінійною задачою
такого типу є задача визначення сталих у формулі Крістоффеля-Шварца при
конформному відображенні кругової області на многокутник.

До 1-го і 2-го випадків відносяться інтерполяція та апроксимація в
різних функціональних просторах.

) відомі значення функції uj. Треба відшукати функцію v вигляду (1),
яка в даних точках xj найменшим чином відхиляється від значень uj ,
тобто величини

i.

i vi інтерполює функцію u .

була системою Чебишова.

i vi (x), у якого хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля, має на
[a,b] не більше n нулів.

2. n

Похожие записи