Реферат на тему:

Загальна теорія систем лінійних рівнянь

Теорема Кронекера—Капеллі

, утворену приєднанням до матриці А стовпця вільних членів:

.

:

З теореми випливає, що в матриці, складеної з коефіцієнтів при
невідомих, неодмінно існує мінор r-го порядку, відмінний від нуля,
оскільки ранг цієї матриці дорівнює r.

Нехай, наприклад, це мінор, який складено з коефіцієнтів при перших r
невідомих. Залишимо доданки з цими невідомими в лівій частині рівняння,
а решту доданків перенесемо у праву частину. Усі рівняння системи (1.1)
після r-го відкинемо. Тоді система рівнянь набере вигляду:

(1.8)

Невідомі змінні x1, x2, …, xr називаються головними невідомими
(змінними), а хr+1, xr+2, …, xn — вільними невідомими (змінними).

Головний визначник системи рівнянь (1.8) (мінор r-го порядку) відмінний
від нуля. За правилом Крамера така система рівнянь має єдиний розв’язок
відносно головних невідомих x1, x2, …, xr.. Зрозуміло, що кожне з
головних невідомих можна подати через вільні невідомі. Якщо вільним
невідомим не надано конкретних числових значень, маємо так званий
загальний розв’язок системи рівнянь (1.1). Надавши вільним невідомим
деяких числових значень, дістанемо частинний розв’язок цієї системи.
Зрозуміло, що частинних розв’язків системи в цьому разі безліч. Така
система є сумісною, але невизначеною.

1.3.2. Системи лінійних однорідних рівнянь

Застосуємо здобуті результати для аналізу розв’язків однорідної системи
рівнянь

(1.9)

завжди існує. Розглянемо матрицю А, складену з коефіцієнтів при
невідомих. Нехай її ранг дорівнює r. Якщо r = n, то система (1.9) має
єдиний розв’язок, і він тривіальний. Якщо r < n, то система (1.9) має також розв’язки, відмінні від тривіальних. Нехай ранг матриці системи рівнянь (1.9) r < n. Це означає, що матриця А має мінор r-го порядку, відмінний від нуля. Відповідно до загальної теорії систему рівнянь (1.9) можна переписати у вигляді: (1.10) Розглянемо визначник: . , i = 1, 2,..., n – r. Така система розв’язків однорідної системи рівнянь (1.9) називається фундаментальною системою розв’язків. Зауважимо, що будь-який розв’язок системи рівнянь (1.9) можна подати у вигляді лінійної комбінації фундаментальної системи розв’язків. Метод Жордана—Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь Цей метод пов’язаний із виключенням невідомих із системи рівнянь. Розглянемо систему: (1.11) . Назвемо цей коефіцієнт розв’язувальним елементом. Поділивши почленно все i-те рівняння на aij, дістанемо: (1.12) Тепер помножимо рівняння (1.12) на –a1j і додамо до першого рівняння системи (1.11), далі помножимо на –а2j і додамо до другого рівняння системи і т. д. Після того як помножимо (1.12) на –amj і додамо до останнього рівняння системи, дістанемо: (1.13) . Тоді система (1.13) набере вигляду: (1.14) Перехід від системи рівнянь (1.11) до системи рівнянь (1.14) називається кроком перетворення методу Жордана—Гаусса. Розглянемо вираз для коефіцієнта bkl системи рівнянь (1.14) докладніше: , (1.15) Утворюється він за такою схемою: . 0 2 4 R T x z ¬ ® O Oe O ¬ ¬ Ue iiiiiiiiiiiiiiaeOaeOEOO Z O U TH a D i i . 0 \ ^ z | c ¤ ¦ ? ¬ ® O O Oe O U $-^-?-¶-Z!\!l"n"ae"iaaOaAaaaµa©a!a•• Z Z @начника другого порядку) добуток aijakl завжди береться зі знаком «+», де б не містилися ці елементи — на головній чи сторонній діагоналі визначника. Вираз bkl спрощується, якщо aij=1. Отже, коли в рівнянні є коефіцієнти, що дорівнюють одиниці, їх доцільно брати за розв’язувальні елементи. Якщо в початковій системі akj або ail дорівнює нулю, то bkl = akl. Результат виконання одного кроку за методом Жордана—Гаусса зручно подати у вигляді таблиці: bi* ... ... ... ... ... ... ... ... bm1 bm2 bm3 ... 0 ... bmn bm* У стовпці ( потрібно записати суму всіх коефіцієнтів у відповідному рядку таблиці. Стовпець contr використовується, щоб проконтролювати, чи правильно знайдено коефіцієнти bkl. Якщо сума коефіцієнтів рядка таблиці збігається з числом, яке дістали за правилом знаходження bkl з елементами попереднього стовпця (, то обчислення правильні, якщо ні — вони потребують перевірки. Виконавши один крок за методом Жордана—Гаусса, тобто виключивши невідому xj, можна зробити наступний крок і виключити ще одну невідому і т.д. Після виконання k-го кроку таблиця матиме такий вигляд: x1 x2 ... xk xk+1 ... xn bi ( contr 1 0 ... 0 с1, k+1 ... с1n b1* 0 1 ... 0 с2, k+1 ... с2n b2* ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 сk, k+1 ... сkn bk* 0 0 ... 0 сk+1, k+1 ... сk+1, n bk+1* ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 сm, k+1 ... сmn bm* Коли не всі елементи, які розміщені в (k + 1)-му і наступних рядках таблиці, дорівнюють нулю, то процедуру за методом Жордана—Гаусса можна продовжити. Якщо всі елементи в (k + 1)-му і наступних рядках таблиці дорівнюють нулю, то процедуру за методом Жордана—Гаусса продовжити неможливо. У цьому разі слід повернутися від таблиці до системи рівнянь. Невідомі, які відповідають стовпцям таблиці з нулями та одиницею, будуть головними, решта невідомих — вільні. З утвореної після k-го кроку системи рівнянь дістаємо загальний розв’язок початкової системи, переносячи доданки з вільними невідомими у праві частини рівнянь. Зауваження 1. Крок розглянутої процедури відповідає елементарному перетворенню головної матриці системи, виконуваному під час знаходження її рангу. Тому, застосовуючи метод Жордана—Гаусса, відразу знаходимо і ранг головної матриці системи, який дорівнює максимально можливій кількості кроків за цим методом. Розширену матрицю системи дістаємо, приєднуючи до головної матриці стовпець вільних членів. Якщо хоча б один із елементів таблиці, який міститься на перетині «зануленого» рядка головної матриці зі стовпцем, що відповідає bi, не дорівнює нулю, то ранг розширеної матриці буде на одиницю більший за ранг основної. У цьому разі за теоремою Кронекера—Капеллі початкова система рівнянь несумісна. 2. Безпосередньо реалізуючи метод Жордана—Гаусса, слід пам’ятати, що розв’язувальний елемент не повинен дорівнювати нулю. Якщо в якомусь рядку або стовпці таблиці вже було взято розв’язувальний елемент, більше в цьому рядку або стовпці його брати не можна. Не можна його брати й у стовпці bi. 3. Щоб уникнути помилок, слід неодмінно перевіряти правильність відшукання коефіцієнтів на кожному кроці методу Жордана—Гаусса. ЛІТЕРАТУРА Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986. — 224 с. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с. PAGE – + – + i k l k j j l i

Похожие записи