Пошукова робота

на тему:

Задачі, що приводять до похідної. Визначення похідної, її геометричний і
механічний зміст. Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції.
Частинні похідні функції декількох змінних, їх геометричний зміст.

План

Задачі, що приводять до похідної.

Означення похідної.

Геометричний та механічний зміст похідної.

Рівняння дотичної і нормалі до графіка кривої.

Частинні похідні функції декількох змінних, їх геометричний зміст.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ. ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ  ТА ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ

1. Вступні відомості

                               (6.1)           

.

.

            Відношення

                 (6.2)

називається середньою швидкістю руху точки.

 прямує до нуля:

               (6.3)

 тільки тоді , коли існує границя цього відношення.

                                               Рис.6.1

2. Задача про дотичну до кривої. З поняттям дотичної до кривої в даній
точці ми зустрічалися при вивченні кола за шкільною програмою, за якою
давалося означення дотичної до кола як прямої лінії, що має з колом одну
спільну точку. Проте це означення є окремим випадком. Його не можна
поширити, наприклад, на незамкнуті криві. Тому треба дати загальне
означення дотичної, яке б підходило як до замкнутих, так і до
незамкнутих кривих.

.

                            Рис.6.2                                   
Рис.6.3

.

 крива має дотичну. Граничне положення січної може не існувати.

, то кажуть, що в даній точці

.

            Розглянемо випадок, коли крива задана в декартовій системі
координат рівнянням:

,                                          (6.4)

.

Рис.6.4

. Тоді

          .                                  (6.5)

,

Тобто

.                     (6.6)

.

.

.

.

. Тому приходимо до такого співвідношення:

.                                  (6.7)

 дотичну

,                       (6.8)

то кутовий коефіцієнт дотичної визначається співвідношенням

.                         (6.9)

, тобто за допомогою границі

                                                        (6.10)

 розглядати абстрактно, не вкладаючи в них конкретного змісту, тоді й
границя (6.10) (в математиці називається похідною) буде абстрактною
величиною.

2. Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної

:

.

 прямує до нуля, тобто

,

.                         (6.11)

 (Коші). У подальшому користуванні позначенням(6.11), яке вперше
запропонував французький математик Лагранж.

.

.

.

.

, треба:

;

;

3) знайти відношення

;

4) знайти границю відношення

.

.

.

3. Частинні похідні та їх геометричний зміст

.

Розглянемо відношення частинного приросту

 цієї змінної

, прямуючому до нуля, якщо така існує, називається частинною похідною
(першого порядку) функції

Отже

                         (6.12)

Аналогічно означається частинна похідна

:

                         (6.13)

            Означення. Частинною похідною функції від кількох змінних по
одній із цих змінних називається границя відношення відповідного
частинного приросту функції до приросту розглядуваної незалежної змінної
при умові, що останній прямує до нуля.

 з’ясуємо геометричний зміст її частинних похідних (рис.6.5).

.На основі геометричного змісту звичайної похідної маємо

.

                                          Рис.6.5

, то

Похожие записи