Реферат на тему:

Задачі на використання властивостей дискримінанта. Використання формул
Вієта. Розміщення коренів квадратного рівняння

, то квадратне рівняння

не має дійсних коренів. Через це квадратний тричлен

.

виконується нерівність

?

Необхідною і достатньою умовою правильності нерівності є виконання
системи умов

.

нерівність

?

Приходимо до системи нерівностей

.

, при яких нерівність

.

. Приходимо до системи нерів-

ностей

яку можна записати у вигляді

:

.

Використання формул Вієта

, при яких відношення коренів рівняння

дорівнює 2.

Маємо систему рівнянь

. Маємо рівняння:

.

.

.

, при яких сума коренів рівняння

дорівнює сумі їхніх квадратів.

Скориставшись формулами Вієта, дістанемо систему

Останнє рівняння можна записати у вигляді

.

.

, при якому рівняння

має рівні між собою корені.

Квадратне рівняння має рівні між собою корені, якщо його дискримінант
дорівнює нулю. Розв’яжемо рівняння

,

шукане.

Приклад. Знайти суму кубів коренів рівняння

.

і обчислити суму кубів коренів:

.

Таку саму відповідь можна дістати за допомогою формул Вієта:

.

Коефіцієнти зведеного квадратного рівняння

є симетричними функціями від коренів рівняння.

. Це й було виконано в попередньому прикладі.

сума квадратів коренів рівняння

буде мінімальною?

Використовуючи формули Вієта, дістаємо:

.

Знаходимо дискримінант рівняння

.

.

сума квадратів коренів рівняння

набуває найменшого значення?

Знаходимо дискримінант рівняння (1):

.

. Знаходимо суму квадратів коренів рівняння (1) за формулами Вієта:

.

.

.

рівняння

мають спільний корінь?

Запишемо рівняння Вієта

,

. Рівняння

.

Ще один спосіб розв’язування прикладу полягає ось у чому.

— шуканий спільний корінь рівнянь. Маємо систему алгебраїчних рівнянь

(2)

і віднявши від першого рівняння. Дістанемо рівняння

.

рівняння (2) не мають дійсних розв’язків.

:

.

.

, при якому один із коренів рівняння

(3)

утричі менший від одного з корнів рівняння

. (4)

j„

h

h

j?

h

h

h

h

h

h

d

f

»

h

j‡

h

h

j†

h

h

j…

h

h

h

h

???????????I??

h

h

h

j‰

h

h

h

h

. 2 ? 1/4 O O o oe o u n

p

?

¬

e

e

j?

h

h

h

h

h

j?

h

h

h

h

h

2 O ue ?

?

h

j‘

h

h

h

h

h

h

h

h

j“

h

h

h

h

h

j’

h

h

h

h

&

gd

&

gd

gd

dha$gd

3/4

dh ¤ ¤gd

gd

h

h

j?

h

h

h

h

h

jF

h

h

jc

h

h

h

h

jY

h

h

h

h

h

h

j?

h

h

h

h

j?

h

h

h

h

h

j

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

dhgd

&

F

gd

gd

&

gd

dhgd

gd

dha$gd

h

h

j?

h

h

h

j?

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

j?

h

h

j?

h

h

j?

h

h

h

j?

h

h

h

h

j1/4

h

h

h

h

h

h

h

h

jA

h

h

jA

h

h

h

h

j?

h

h

h

h

jAe

h

h

jA

h

h

h

h

jA

h

jE

h

h

jC

h

h

jAE

h

h

h

h

jA

h

h

jE

h

h

jE

h

h

jE

h

h

h

h

h

jI

h

h

jI

h

h

h

jI

h

h

h

h

jO

h

h

jN

h

h

h

h

jI

h

h

h

h

gd

&

gd

gd

dha$gd

gd

jO

h

h

jO

h

h

h

jO

h

h

h

h

jO

h

h

h

j*

h

h

h

jOe

h

h

h

h

h

jU

h

h

jU

h

h

jU

h

h

h

h

jss

h

h

jTH

h

h

jY

h

h

h

h

jUe

h

h

ja

h

h

ja

h

h

ja

h

h

h

h

h

ja

h

h

jae

h

h

ja

h

h

h

h

je

h

h

je

h

h

jc

h

h

h

h

jae

h

h

ji

h

h

je

h

h

je

h

h

h

h

gd

3/4

dh ¤ ¤gd

&

F

gd

gd

gd

gd

dha$gd

h

j?

h

h

h

ji

h

h

h

h

ji

h

jo

h

h

jo

h

h

jo

h

h

h

h

jn

h

— корінь рівняння (4). Маємо систему рівнянь

:

.

.

.

Розміщення коренів квадратного рівняння

З’ясуємо, як розміщуються на дійсній осі корені квадратного рівняння

. (1)

.

Наведемо прості теореми стосовно розміщення коренів квадратного рівняння
(1) на дійсній осі.

мі-

ститься один корінь рівняння (1).

лежить між коренями рівняння (1).

лежить між коренями рівняння (1).

.

.

.

, при яких два корені рівняння

існують і належать інтервалу (0; 3).

.

Ще один спосіб розв’язування полягає у відшуканні найменшого кореня
квадратного рівняння

.

, при яких рівняння

має розв’язок.

, дістанемо квадратне рівняння

. (2)

. Застосуємо загальний метод розв’язування. Дискримінант рівняння (2).

.

.

Рівняння (2) матиме два розв’язки на відрізку [0; 1], якщо
виконуватимуться нерівності

.

.

Розглянемо всі інші можливості.

.

рівняння (2) має корінь на відрізку [0; 1], а вихідне рівняння має
дійсні розв’язки.

У даному прикладі можна було б відразу розв’язати рівняння (2):

.

.

корені квадратного рівняння

додатні?

Знайдемо дискримінант рівняння

.

. Для того щоб корені рівняння були додатніми, необхідно і достатньо,
щоб виконувались нерівності

.

У цьому прикладі можна знайти корні

.

.

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Похожие записи