Реферат на тему:

Задачі на складання систем рівнянь та нерівностей. Хімічні задачі.
Задачі на рух

Розглянемо тепер задачі на складання рівнянь, що умовно можна назвати
задачами «на рух». Система рівнянь, яку необхідно скласти на підставі
умов цих задач, звичайно містить такі параметри руху, як пройдене
відстань (s, l, r), швидкості тіл, що рухаються, (u, v, w), час руху (t,
Т). Варто відмітити, що позначення тих чи інших невідомих звичайно
прийнятими для них у фізиці буквами зосереджує увагу на суті задачі,
робить систему рівнянь більш зрозумілою для вирішення задачі, виключає
випадкові помилки, що можуть виникати через безликість введених
позначень.

Допущення, що звичайно приймаються (якщо не обговорене противне) в
умовах задач «на рух», полягають у наступному:

а) рух на окремих ділянках вважається рівномірним; при цьому пройдений
шлях визначається за формулою

б) повороти тіл, що рухаються, приймаються миттєвими, тобто відбуваються
без витрат часу; швидкість при цьому також змінюється миттєво;

в) якщо тіло рухається за течією ріки, те його швидкість w складається
зі швидкості в стоячій воді v і швидкості плину ріки u:

а якщо проти плину ріки, тj його швидкість дорівнює

.

Якщо за умові задачі мова йде про рух плотів, то цим хочуть сказати, що
тіло рухається зі швидкістю плину ріки.

До задач «на рух» відносяться також і задачі, у яких хто-небудь виконує
яку-небудь роботу, чи задачі, пов’язані з наповненням і спорожнюванням
резервуарів. У задачах такого типу робота чи об’єм резервуара відіграє
роль відстані, а продуктивність об’єктів, що виконують роботу,
аналогічні швидкостям руху.

У задачах на складання рівнянь взагалі й у першу чергу в задачах «на
рух» корисно скласти ілюстративне креслення. Це креслення варто робити
таким, щоб на ньому було видно динаміка руху з усіма характерними
моментами-зустрічами, зупинками і поворотами. Гарне креслення дозволяє
зрозуміти зміст задачі, не заглядаючи в її текст. Приклади таких
креслень наведено нижче.

При розв’язуванні задач «на рух» часто зустрічаються наступні два
елементи:

то час, через який вони зустрінуться, дорівнює

б) рух в одному напрямку (рис. 6); якщо початкова відстань між двома
точками, з яких

Рис. 5

Рис. 6

), дорівнює

Розглянемо тепер методику складання рівнянь по тексту задачі. Зробимо це
на конкретних прикладах.

Задача. Міста А і В розташовані на березі річки, причому місто В
розташоване нижче за течією. О 9 годині ранку з міста А до міста В
відпливає пліт і одночасно з міста В до міста А відпливає човен, який
зустрічається з плотом через 5 годин. Допливши до міста А, човен
повертає у зворотному напрямку і припливає одночасно з плотом. Чи
встигнуть човен чи пліт прибути до міста В о 9 годині вечора (того ж
дня)?

Розв’язок. Ознайомившись з умовами цієї задачі, складемо креслення
(рис. 7).

Виділимо з умови задачі пропозиції, математичний запис яких утворить
рівняння. Їх два:

човен і пліт відправляються одночасно і зустрічаються через 5 годин;

човен повертається в місто В одночасно з плотом.

Для математичного запису цих пропозицій потрібно вирішити питання, які
невідомі ввести в розгляд. В основу вибору невідомих може бути
покладений простий принцип: невідомі варто вводити так, щоб з їх
допомогою найлегше записати у вигляді рівнянь наявні в задачі умови. При
цьому зовсім не обов’язково, щоб величина, яку потрібно визначити,
фігурувала в числі невідомих.

Наприклад, у розглядуваній задачі такі параметри, як відстань між
містами s, швидкість течії ріки (і плоту) u і швидкість човна в стоячій
воді v, дозволяють дуже просто записати всі наявні умови.

— час руху човна вниз за течією ріки.

Таким чином, виходить система двох рівнянь із трьома невідомими. Ясно,
що всі три невідомих s, u і v з цієї системи двох рівнянь однозначно
знайти не можна. Тому звернемося ще раз до умови задачі. Що ж потрібно
визначити? У задачі запитується, чи встигнуть човен і пліт приплисти в
місто В до 9 год вечора, тобто більше чи менше 12 год час руху човна.
Оскільки цей час дорівнює s/u, то з’ясовується, що потрібно визначити не
самі невідомі s і u, а тільки їхнє співвідношення, величину s/u.

Систему рівнянь задачі можна записати в наступному вигляді

або

Таким чином, ця система фактично містить тільки дві невідомі: s/v і u/v.

Таким чином, маємо

Виходить, човен і пліт не встигнуть приплисти в пункт В до 9 год вечора
того ж дня.

Зауваження. Розгляд цих двох прикладів показує, у чому полягає методика
складання рівнянь по тексту задачі. Її сутність в тому, щоб виділити в
тексті задачі ті пропозиції, що являють собою зв’язку між параметрами
руху. Після введення невідомих за принципом найбільшої зручності запису
цих зв’язків виходять рівняння, що визначають розв’язок задачі.

Як останній приклад в цьому параграфі розглянемо задачу «на виконання
роботи». Як уже відмічалося, такі задачі з повним правом можна
прирахувати до задач «на рух».

B

X

B

$

yyyy`„7a$gdQ “

jA

$

$

«рша машина працювала 18 днів, а друга 16 днів, то разом вони пройшли б
60 м тунелю. Якщо б перша машина виконала 2/3 всієї роботи другої машини
по проходженню тунелю, а друга 0,3 всієї роботи першої машини, то першій
знадобилося б для цього на 6 днів більше, ніж другій. Скільки метрів
тунелю в день проходить кожна машина?

(м/день). Тоді величина всієї роботи — довжина тунелю — аналогічна
відстані в задачі «на рух» і визначається сумою

— об’єм роботи, що виконана другою машиною.

Складемо рівняння задачі.

Після спрощень система рівнянь набуде вигляду

З двох розв’язків цього рівняння беремо додатнє:

Використовуючи цей результат разом з першим рівнянням системи, знаходимо

м/день.

Вправи

1. З міста А до міста В виїжджає велосипедист, а через 3 год після його
виїзду з міста В назустріч йому виїжджає мотоцикліст, швидкість якого в
три рази більша, ніж швидкість велосипедиста. Велосипедист і мотоцикліст
зустрічаються посередині між А і В. Якби мотоцикліст виїхав не через 3,
а через 2 год. після велосипедиста, то зустріч відбулася б на 15 км
ближче до А. Знайти відстань між містами А і В.

Відповідь. 180 км.

2. Перша і друга бригади одночасно почали виконувати деяку роботу. Більш
ніж через годину після початку роботи першу бригаду перемінила третя,
котра разом із другою працювала до завершення всієї роботи. На виконання
роботи зазначеним способом пішло 5,5 год. Перша бригада за весь час,
поки вона працювала, зробила стільки, скільки третя робить за годину.
Якби перша бригада пропрацювала на 6 год більше, ніж це було насправді,
то вона зробила б стільки ж, скільки було зроблено другою бригадою. Якби
три бригади увесь час працювали разом, то робота була б виконана в 1,5
рази швидше, ніж у дійсності. Скільки часу працювала перша бригада?

Відповідь: 2,5 год.

3. З пункту А в пункт В виїхав автомобіль і одночасно з пункту В в пункт
А виїхав велосипедист. Після зустрічі вони продовжували свій шлях.
Автомобіль, доїхавши до пункту В, негайно повернув назад і наздогнав
велосипедиста через 2 год. після моменту першої зустрічі. Скільки часу
після першої зустрічі їхав велосипедист до пункту А, якщо відомо, що до
моменту другої зустрічі він проїхав 2/5 усього шляху від В до А?

Відповідь. 8 год. 45 хв.

4. Дві труби, діючи разом протягом 1 год., наповняють водою 3/4 басейну.
Якщо спочатку перша труба наповнить 1/4 частину басейну, а потім друга
при відключеній першій доведе об’єм води до 3/4 басейну, то на це
знадобиться 2,5 год. Якщо першу трубу включити на 1 год., а другу — на
півгодини, то вони наповнять басейн більш ніж наполовину. За який час
наповняє басейн кожна труба?

Відповідь: 2 год. і 4 год.

5. Міста А і В розташовані на березі ріки, причому місто А розташоване
нижче за течією. З цих міст одночасно назустріч один одному виходять два
човни, що зустрічаються посередині між містами А і В. Продовживши свій
шлях після зустрічі в колишніх напрямках і досягши відповідно міст В і
А, човни миттєво повертають назад і зустрічаються знову на відстані 20
км від місця першої зустрічі. Якби ті ж човни, вийшовши одночасно з міст
А і В, поплили обидва проти плину, то човен, що вийшов з А, наздогнав б
човен, що вийшов з В, у 150 км від В. Знайти відстань між містами А і В.

Відповідь: 100 км.

6. Автозавод виготовляє легкові і вантажні автомобілі. У перший день
було виготовлено вантажних автомобілів на 100 машин більше, ніж
легкових. В другий день було виготовлено легкових автомобілів на 150
машин більше, ніж у перший день, а вантажних машин — на 50 більше, ніж у
перший день. Скільки легкових і скільки вантажних автомобілів було
виготовлено в перший день, якщо в другий день було виготовлено машин у
1,2 рази більше, ніж у перший?

Відповідь. 450 і 550.

7. Два екскаватори різної конструкції повинні прокласти дві траншеї
однакового поперечного перерізу довжиною в 960 і 180 м. Уся робота
продовжувалася 22 дні, протягом яких перший екскаватор прокладав велику
траншею. Другий же екскаватор почав працювати на 6 днів пізніше першого,
відрив меншу траншею, 3 дні ремонтувався і потім допомагав першому. Якби
не потрібно було витрачати часу на ремонт, то робота була б закінчена за
21 день. Скільки метрів траншеї може вирити в день кожен екскаватор?

Відповідь: 40 м, 20 м.

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

v1

A

s0

v2

B

v1

A

s0

v2

B

v – u

A

s0

v + u

u

B

Похожие записи