Реферат

на тему:

Ймовірнісний зміст

нерівності Йєнсена.

Нові інформаційні технології в освіті неможливі без нової інформації в
конкретних навчальних дисциплінах. В останні роки невпинно зростає
кількість прихильників виховання ймовірнісного світогляду школярів і
студентів, що вивчають математичні дисципліни. При цьому дуже важливу
роль відіграють приклади проникнення ймовірнісних ідей, методів і
результатів у неймовірнісні розділи математики. Про один з таких
прикладів йде мова у цій роботі.

Нерівністю Йєнсена в математиці називають нерівність:

, (1)

, то нерівність Йєнсена записують так:

, (2)

. В загальному вигляді нерівність Йєнсена містить замість середніх
арифметичних середні зважені. Тобто

(5)

Треба підкреслити, що нерівність Йєнсена має багато важливих застосувань
[1-5]. Зауважимо, що в дискретній формі нерівність була встановлена
О.Гельдером (Hoelder, 1889), а інтегральна нерівність – Й.Йєнсеном
(Jensen, 1906).

Інтегральну нерівність для угнутої функції записують так:

. (7)

, якщо

(9)

— лінійна функція.

диференційована в цьому проміжку.

дискретний розподіл має вигляд:

З точки зору теорії ймовірностей в означеннях (8) і (9) порівнюються
математичне сподівання (вибіркове середнє) функції і значення функції
від математичного сподівання аргумента (рис.1).

Рис.1. До означення опуклої (а) та угнутої (б) функцій.

апроксимується сукупністю прямолінійних відрізків, і ми одержуємо
шукане узагальнення.

має вигляд:

Математичне сподівання аргументу визначається так:

Математичне сподівання функції

.

Зрозуміло, що в цьому випадку краще скористатися процедурою групування
вибірки і, спираючись на попередній результат, довести нерівність
Йєнсена для опуклої (1) та угнутої (2) функцій.

— об’єм вибірки. Дискретний розподіл має вигляд:

.

Нерівність Йєнсена в цьому випадку має вигляд:

,

. (12)

стоїть математичне сподівання випадкового аргумента:

,

в правих частинах маємо математичне сподівання функції випадкового
аргумента:

.

Порівнюючи математичне сподівання функції випадкового аргумента і
значення функції від математичного сподівання аргумента, неважко
встановити, що (11) і (12) – це узагальнені означення опуклої і угнутої
функції відповідно (рис.2).

.

функції:

.

неоднакові. Така дискретизація застосовується при визначенні координат
центра ваги неоднорідного стержня. Тепер, спираючись на узагальнені
означення опуклої (11) і угнутої (12) функцій, неважко довести
нерівність Йєнсена з математичними сподіваннями (3) і (4). При цьому
дискретний розподіл має вигляд:

опукла) або вище дуги (якщо функція угнута).

:

.

:

.

, тому для опуклої функції

,

для угнутої

.

В теорії ймовірностей такий незбіг функції середнього і середнього
функції називають «парадоксом оцінювання» [6]. Дослідження парадоксів –
кращий спосіб досягти взаєморозуміння фахівців в різних областях науки.
Спроби вивчати будь-яку область математики за допомогою парадоксів
допомагають розвинути справжню інтуїцію, а ймовірнісні підходи сприяють
зворотньому руху [7] конструктивних ідей із теорії ймовірностей до
математичного аналізу та інших розділів математики.

Використана література

Невяжский Г.Л. Неравенства. Пособие для учителей. – М.: ГУПИ МП РСФСР,
1947.

Каплан Я.Л. Математика. Посібник для підготовки до конкурсних екзаменів
до вузів. – К.: Вища школа, 1971.

Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // Квант. №5. – М.:
Наука, 1990. – С.57-62.

Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. – М.: Мир, 1965.

Вороний О. Нерівність Йєнсена // У світі математики. – Т.6. – Вип.2. –
К.: «ТВІМС», 2000. – С.9-13.

Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. –
М.: Мир, 1990.

Скороход А.В. Особливий характер теорії ймовірностей в математичних
науках // У світі математики. – Т.3. – Вип.2 – К.: «ТВІМС», 1997. –
С.2-4.

Похожие записи