Пошукова робота
на тему:
Визначники та їх властивості
План
Визначення матриці.
Означення визначника.
Обчислення визначників другого і третього порядку.
Властивості визначників.
1. ВИЗНАЧНИКИ (ДЕТЕРМІНАНТИ)
1.1. Означення
.
, то така матриця називається квадратною, а число її рядків – її
порядком.
.
в математиці означає сумування. Так,
називається індексом сумування.
Мають місце такі правила сумування:
називається число, що ставиться у відповідність цій матриці і
обчислюється за її елементами у відповідності з наступними означеннями:
1) Визначником матриці порядку 1 називається єдиний елемент цієї
матриці.
називається число
(1.1)
. Можна продовжувати цей процес, поки не прийдемо до матриць першого
порядку, для яких детермінант
визначено безпосередньо.
-го стовпчика за формулою
(1.2)
Застосуємо наше визначення до матриць порядку 2 і 3.
Для матриці порядку 3
очевидно
і
називаються пропорційними, якщо один з рядків (стовпчиків) одержується
множенням всіх елементів іншого рядка (стовпчика) на одне і те саме
число, відмінне від нуля. Це можна записати так:
,
.
відмінне від нуля.
1.2. Властивості визначників
го стовпця
.
, які за припущенням є рівні. Тому
.
можна виносити за знак суми.
30. Якщо поміняти місцями два рядки (стовпчики), то визначник змінить
знак на протилежний.
го рядка (формула 1.1), одержимо
раз. Це значить, що знак визначника змінюватиметься непарну кількість
разів, тобто змінить знак на протилежний.
40. Визначник, що містить два однакові рядки (стовпчики), дорівнює
нулю.
Дійсно, помінявши два однакових рядки (стовпчики), визначник,
очевидно, не зміниться. Але за властивістю 30 він змінить
знак на протилежний, тобто
додати інший рядок (стовпчик) цієї матриці.
і
оскільки він містить два однакових рядки
Дана властивість випливає із розкладу визначника.
70. Якщо один з рядків (стовпчиків) складається з нулів, то визначник
дорівнює нулю.
Розклавши визначник за елементами цього рядка (стовпчика), одержимо
всі доданки у формулі (1.1) нулі.
80. Визначник матриці трикутного вигляду дорівнює добутку елементів,
що знаходяться на головній діагоналі.
.
100. Якщо який-небудь рядок (стовпчик) матриці є лінійною комбінацією
інших рядків (стовпчиків), то визначник дорівнює нулю.
110. Якщо кожний елемент якого-небудь рядка матриці є сумою двох
чисел, тобто
, (1.3)
-м рядком є другі доданки рядка (1.3).
120. Сума добутків елементів деякого рядка (стовпчика)
квадратної матриці на алгебраїчні доповнення до цих елементів дорівнює
визначнику цієї матриці, а сума добутків елементів на алгебраїчні
доповнення до інших елементів дорівнює нулю, тобто
Ми цю властивість приводимо без доведення.
Приклад 1. Обчислити визначник
,
розклавши його:
а) за елементами першого рядка;
б) за елементами другого стовпця.
Р о з в ‘ я з о к.
a) Розкладемо визначник за елементами першого рядка:
=
=
+
.
б) Розкладемо визначник за елементами другого стовпця:
=
+
.
Приклад 2. Обчислити визначник
,
користуючись властивостями.
Р о з в ‘ я з о к. На основі властивості 90, якщо послідовно перший
рядок помножити на –3, -2, -2 і додати до 2-, 3- і 4-го рядків, то
одержимо
.
Помножимо перший стовпчик на –1 і додамо до 2-, 3- і 4-го стовпчика, а
потім розкладемо одержаний визначник за елементами першого рядка
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
