Реферат на тему:

Визначений інтеграл: властивості, методи інтегрування, застосування

. Границю інтегральної суми, якщо вона існує, називають визначеним
інтегралом:

де а, b — нижня та верхня межі інтегрування; [а, b] — відрізок
інтегрування;

х — змінна інтегрування.

Для обчислення визначеного інтеграла використовують формулу
Ньютона-Лейбніца:

де F(x) — це первісна неперервної функції f(x).

дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою кривою у =f(х), віссю
ОХ (у = 0) та прямими х=а та х=b.

Зауваження 1. Визначений інтеграл залежить від функції f(х) та меж
інтегрування, але не залежить від позначення змінної інтегрування:

Зауваження 2.

Властивості визначеного інтеграла:

для будь-якого с.

5. Теорема про середнє.

, що

де f(x) — середнє значення функції на відрізку [а, b].

Методи інтегрування

1. Заміна змінної:

2. Інтегрування частинами:

Розв’язання:

Застосуємо універсальну тригонометричну підстановку:

Розв’язання:

Записуємо ці вирази у формулу інтегрування частинами:

Деякі геометричні застосування визначеного інтеграла

Література: 1, гл. 8, § 10.

Запитання для самоконтролю

Що називається інтегральною сумою?

Що називається визначеним інтегралом?

Сформулювати властивості визначеного інтеграла і дати їх геометричну
інтерпретацію.

Довести формулу Ньютона-Лейбніца.

Як застосовувати інтегрування методом заміни змінної у визначеному
інтегралі?

Як обчислити площу криволінійної трапеції?

Як обчислити площу, якщо функція у=f(x) не є знакосталою на проміжку [а,
b]?

Як обчислити площу криволінійного сектора у полярних координатах?

Як обчислити довжину кривої у прямокутних та полярних координатах?

Як обчислити об’єм тіла по площах паралельних перерізів?

Завдання для самостійної роботи

Обчислити:

Обчислити площу, обмежену лініями:

Похожие записи