Реферат на тему:

Визначений інтеграл

Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла

На рис. 7.3. зображені: класична криволінійна трапеція (а) та її
вироджені випадки (б) та (в).

Рис. 7.3

Задача. Обчислити площу криволінійної трапеції аАВв (рис. 7.4).

Розв’язання.

(рис. 7.4).

Рис. 7.4

(рис. 7.5).

Розв’язання.

(рис. 7.5).

Рис. 7.5

на відрізку [a; b] знайдеться тоді так:

називається інтегральною сумою.

Поняття визначеного інтеграла

так що

.

.

на проміжку [a; b] і позначається:

, (7.8)

— знак визначеного інтеграла;

а, b — нижня та верхня межі інтегрування;

f(x) — підінтегральна функція;

f(x) dx — підінтегральний вираз;

dx — диференціал змінної інтегрування.

називається інтегровною на цьому проміжку.

Далі буде показано, що неперервні функції — інтегровні.

Геометричний зміст визначеного інтеграла

дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції (рис. 7.4).

7.2.3. Властивості визначеного інтеграла

інтегровні на [a; b], то

то

Доведення випливає як наслідок із властивостей І та VIII.

Х. Теорема 7 (про середнє).

що:

(7.9)

та неперервна на проміжку [a; b] (рис. 7.6).

Рис. 7.6.

Поняття визначеного інтеграла

зі змінною верхньою межею інтегрування, формула Ньютона—Лейбніца

, що зумовить приріст функції.

(рис. 7.7)

Рис. 7.7

то похідна від інтеграла зі змінною верхньою межею інтегрування по цій
межі дорівнює підінтегральній функції від верхньої межі інтегрування,
тобто

(7.10)

Наслідки:

.

має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна
побудувати у вигляді визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею,
тобто

.

на цьому проміжку, тобто

(7.11)

тоді зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна подати
такою рівністю:

(7.12)

Наслідок. Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із
первісних підінтегральних функцій і виконати над нею подвійну
підстановку.

Метод підстановки у визначеному інтегралі

то

(7.13)

Зауваження. При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі
змінюються межі інтегрування, і тому нема потреби повертатись до
початкової змінної.

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

, то

(7.14)

Приклад.

Формули наближеного обчислення

визначених інтегралів

.

H

h

gdE7E

.

H

p

r

v

x

¤

¦

I

I

?

O

a

ae

??

»

H

J

L

N

?

¬

O

O

O

Oe

O

gdE7E

gdE7E

$

j

j

??E

j

j

gdE7E

ної функції далеко не завжди можна легко та точно обчислити. Однак,
використовуючи геометричний зміст, можна побудувати ряд наближених
формул, за допомогою яких інтеграл обчислюється з будь-якою точністю.
Розглянемо такі формули.

.

інтегральні суми, кожна з яких буде наближено подавати визначений
інтеграл:

(7.15)

(7.16)

Формули (7.15) та (7.16) називаються формулами лівого та правого
прямокутників відповідно. Ця назва пов’язана з тим, що криволінійна
трапеція наближено замінюється відповідною ступінчастою фігурою (рис.
7.8).

Рис. 7.8

ІІ. Формула трапецій.

замінювати не ступінчастою лінією, а вписаною ламаною, тобто
криволінійна трапеція замінюється сумою n прямолінійних трапецій (рис.
7.9). У цьому разі наближене значення інтеграла можна дістати як середнє
арифметичне значень, обчислених за формулами (7.15) та (7.16).

(7.17)

Рис. 7.9

ІІІ. Формула Сімпсона.

,

Рис. 7.10

замінюємо певною параболою. Таке наближення для обчислення визначеного
інтеграла буде точнішим, ніж за попередніми формулами (рис. 7.10).

(7.18)

Обчислення площ плоских фігур

в прямокутній системі координат

Якою б не була криволінійна фігура, що обмежена неперервними кривими
лініями, шляхом її розсікання лініями паралельними осям координат,
обчислення площі фігури можна звести до обчислення площ розглянутих
нижче фігур.

.

(рис. 7.12),

(7.20)

Площа S такої фігури буде

(7.21)

(рис. 7.14), то

(7.22)

(рис. 7.15). Площа S такої фігури визначається як різниця площ фігур
аА2В1b та аА2В1b

(7.23)

Рис. 7.14 Рис. 7.15

Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

на координатній площині; при цьому знаходимо точки перетину заданих
ліній між собою та з осями координат, а також координати вершини
параболи (рис. 7.16).

Площа S фігури M1М8М2 за формулою (7.23) буде така:

Обчислення об’єму тіла

Задача. Знаючи закон зміни площі поперечного перерізу тіла, знайти його
об’єм.

дає лінійний розмір тіла в напрямі осі Ох.

(рис. 7.17).

Рис. 7.17

а точне значення об’єму тіла подаватиметься границею

(7.24)

якщо ця границя існує за (7.8).

(рис. 7.18).

, а об’єм тіла обертання за формулою (7.24) буде таким:

(7.25)

(див. рис. 7.13), матиме вигляд

. (7.26)

, х = 1, х = 4.

.

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

PAGE

Рис. 7.16

Похожие записи