РЕФЕРАТ

на тему:

“Визначений інтеграл”

1. Властивості визначеного інтеграла

. Від цього обмеження звільняє нас наступна властивість:

 з абсцисами

Для цих двох послідовностей одержимо такі інтегральні суми:

, одержимо

.

 у попередній властивості.

 має місце рівність

Ця властивість випливає із властивості границь (границя суми дорівнює
сумі границь і постійний множник виноситься за знак границі. Ця
властивість справедлива для довільного числа доданків.

справедлива рівність

                        (1)

 ):

 одержимо співвідношення (1).

 то за доведеною властивістю можна написати

, звідки

. Тоді

,

.

 повинно бути деяким значенням функції. Звідси ми одержуємо теорему, що
носить назву теореми про середнє в інтегральному численні.

 , що

.                                  (2)

 то

                                (3)

Тут кожна різниця

 Отже, кожний доданок суми невід’ємний, невід’ємна і вся сума, а тому і
границя невід’ємна, тобто

 , то

2. Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через
елементарні функції.

Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення
інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі
разглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що
не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули
наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій а також формула
Сімпсона.

неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних
інтегралів, або за допомогою первістної, якщо вона виражається в
скінченному вигляді, або ж – минуя первістну – за допомогою різних
прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим
вичерпується вузький клас интегралів; за його межами зазвичай вдаються
до різних методів наближеного обчислення.

В даній роботі можно ознайомитися з основними із цих методів, в яких
наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень
підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених)
значень незалежної змінної.

, ми і ставимо перед собою задачу знаходження цієї площі.

, а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого
прийнята будь-яка із його ординат. Це приводе нас до формули

,

. Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої
ступенчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можно
сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця
наближена формула і називається формулою прямокутників.

, то формула перепишеться у вигляді

. (1)

Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз
цю формулу.

. Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, яка складається із
ряду трапецій (рис.1.). Якщо, як і раніш рахувати, що

разбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть

.

Мал. 2

Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули

. (2)

Це так звана формула трапецій.

обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем
точності.

Використана література

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. —
Т. 1. — М.: 1988.

Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам.

М.: 1989.

Похожие записи