Вища математика (шпаргалка)

Еліпс. Означення. Множина точок площини, для яких сума відстаней від
двох заданих точок, що називаються фокусами, є величина стала й така, що
дорівнює 2а і більша, ніж відстань між фокусами, називається еліпсом.

Гіпербола. Означення. Множина точок площини, для яких модуль різниці
відстаней від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величиною
сталою, яка дорівнює 2а і менша за відстань між фокусами, називається
гіперболою.

, де b2 = c2 – a2.

Парабола. Означення. Множина точок площини, що містяться на одна-

ковій відстані від даної точки фокуса

і даної прямої, яка не проходить че-

рез фокус і називається директрисою, є парабола.

або у2 = 2рх

Коло.Означення. Множина точок, що містяться на однаковій відстані від

заданої точки — центра, називається колом.

(х – а)2 + (у – b)2 =R2

Означення. Функцією y = f(x) називається така відповідність між
множинами D i E, за якої кожному значенню змінної х відповідає одне й
тільки одне значення змінної у.

Означення. Функція (функціональна залежність змінної у від змінної х)
називається неявною, якщо її задано рівнянням F(x, y) = 0, яке не
розв’язане відносно змінної у.

Означення. Множина всіх значень аргументу, для яких можна обчислити
значення функції, називається природною областю визначення функції.
Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежить
також від умови задачі.

Означення. Функція y = f(x) називається парною (непарною), якщо для
будь-якого х ( D виконується умова f(– x) = f(x)

(f (– x) = – f(x)).

Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х ( D,

f(– x) ( ( f(x).

де число Т — період функції.

— деяке скінченне число

.

Область визначення функції — це множина всіх значень аргументу, для яких
можна обчислити значення функції.

.

.

, усі члени послідовності перебувають в (-околі точки а (див. рис.
3.12).

Означення. Послідовність називається збіжною, якщо вона має границю
(скінченну). Послідовність, яка не має границі, називається розбіжною.

Теорема 1. (Єдиність границі послідовності). Якщо послідовність має
границю, то вона єдина.

Теорема 2. (Необхідна умова збіжності послідовності). Якщо послідовність
збіжна, то вона обмежена.

, усі члени послідовності перебувають в (-околі точки а (див. рис.
3.12).

Теорема 1. Сума двох н.м.в. є н. м. в.

Наслідок. Алгебраїчна сума скінченної кількості н.м.в. є н.м.в.

Теорема 2. Добуток обмеженої величини на н.м.в. є н.м.в.

Теорема 3. Добуток двох н.м.в. є н.м.в.

Наслідок. Добуток скінченної кількості н.м.в. є н.м.в.

була н.м.в.

— н.м.в.

.

Теорема. Зв’язок між н.в.в. і н.м.в.

буде н.в.в., і навпаки.

— н.м.в.

, то:

, тобто:

Означення. Правостороння границя функції:

Означення. Лівостороння границя функції:

.

Функція вважається елементарною, якщо вона може бути побудована з
основних елементарних функцій за допомогою скінченної кількості
алгебраїчних дій та суперпозицій, наприклад:

, усі члени послідовності перебувають в (-околі точки а (див. рис.
3.12).

.

Теорема. Зв’язок між н.в.в. і н.м.в.

буде н.в.в., і навпаки.

— н.м.в.

T

V

r

t

?

A

A

E

I

?

I

, ¬

oe

ocaOeNAaaaaaaaaOeOeOeaOeaµ

gdI+z

gdI+z

gdI+z

n‚ ?

oe

o

u

ue

- $ & ( * , @ R T l ? ? z

?

c

c

¤

?

¬

®

O

Oe

O

U

ae

ae

e

?

oe

gdikOe

gdI+z

gdI+z

¤EgdI+z

gdI+z

¤EgdikOe

gdI+z

gdI+z

issssissUEE3/4·¤??‚

gdjEc

j

Коротко це означення можна записати так:

, тобто

Означення. Правостороння границя функції:

Границі — наслідки другої особливої границі:

.

.

якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу відповідає
нескінченно малий приріст функції, тобто

, тобто

якщо односторонні границі функції зліва й справа в цій точці існують,
рівні між собою і дорівнюють значенню функції у цій точці, тобто:

Означення. Функція називається неперервною на проміжку, якщо вона
неперервна у кожній точці цього проміжку.

3.5.2. Властивості неперервних функцій

(рис. 3.16).

якщо порушується хоча б одна з умов рівності

, якщо в цій точці не існує хоча б одна з односторонніх границь (зліва
чи справа).

.

за аргументом х називається границя відношення приросту функції до
приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням цієї функції.

Користуючись означенням похідної, знайти похідні функцій.

4.1.2. Геометричний зміст похідної

Означення. Дотичною до кривої L у точці М називається граничне положення
МN січної ММ1 при прямуванні точки М1 по кривій L до точки М (рис. 4.1).

, то з виразу (4.2) ді-

станемо рівняння дотичної у вигляді

. (4.3)

Рівняння нормалі. Означення. Нормаллю до графіка функції в точці М0
називається перпендикуляр, проведений до дотичної в цій точці (рис.
4.4).

і записуємо її рівняння у вигляді

.

4.1.6. Основні правила диференціювання

.

.

Теорема 3. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку
першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на
похідну першого:

.

Теорема 4. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

.

Теорема 5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовні функції
(знаменник не перетворюється в нуль), то

похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різницею добутків
знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а
знаменник є квадратом знаменника початкового дробу

.

Означення. Функція у = f (x) називається диференційовною в точці, якщо у
цій точці вона має похідну, тобто якщо існує кінцева границя:

.

Означення. Функція у = f (x) називається диференційовною на інтервалі
(а; b), якщо вона диференційовна в кожній точці даного інтервалу.

Зв’язок між неперервністю і диференційовністю функції встановлює
теорема.

Теорема. Якщо функція диференційовна в деякій точці, то у цій точці
функція неперервна.

— внутрішньою, або проміжним аргументом.

.

Похідна неявної функції. Нехай рівняння F (x; y) = 0 визначає у як
неявну функцію від х. Надалі будем вважати, що ця функція —
диференційовна.

Похідна оберненої функції. Нехай задані дві взаємно обернені
диференційовні функції

.

.

задано параметричними рівняннями:

.

у точці з абсцисою х.

Похожие записи