Пошукова робота на тему:

Випуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину. Асимптоти
графіка функції. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
Функція попиту.

План

Випуклість і вгнутість графіка функції

Точки перегину

Асимптоти графіка функції

Схема дослідження функції та побудова її графіка

Гранична корисність і гранична норма заміщення

Функція попиту

1. Опуклість і вгнутість кривих. Точка перегину

. Тоді в кожній точці такої кривої можна провести дотичну (ці криві ще
називають гладкими кривими).

.

називається вгнутою догори (рис. 6.15).

 називається вгнутою донизу (рис. 6.16).

 — по другий бік (рис. 6.17,  6.18).

             Рис.6.15.                  
                        Рис.6.16

 в кожній точці деякого проміжку вгнута догори, її називають вгнутою на
цьому проміжку; якщо крива в кожній точці проміжку вгнута донизу, її
називають опуклою на даному проміжку.

Не всяка крива має точку перегину. Так, криві, зображені на рис. 6.21,
6.22, точок перегину не мають. Іноді крива може мати тільки одну, а
іноді кілька точок перегину, навіть нескінченну множину.

Поставимо задачу: знайти точки вгнутості кривої та точки перегину, якщо
вони існують. Для цього доведемо теорему.

такий, що функція

    Рис.6.17               Рис.6.18          Рис.6.19          
Рис.6.20

вгнута донизу.

 існує.

можуть бути абсцисами точок перегину кривої. Те, що похідна другого
порядку

 була абсцисою точки перегину кривої, але не достатньою.

, треба:

. З коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні корені і ті, які
належать області існування функції;

 не є точкою перегину кривої.

 змінює відповідно свій вигляд з опуклості на вгнутість.

Приклад.        Знайти інтервали вгнутості й опуклості та точки перегину
кривої, заданої рівнянням

.

.

 до нуля. Дістанемо рівняння

,

 є точки перегину кривої.

2. Асимптоти кривих

.

 задана на нескінченному проміжку або у випадку, коли проміжок
скінчений, але містить точки розриву другого роду заданої функції, то
криву не завжди можна розмістити в прямокутнику. Тоді крива або окремі
її вітки йдуть в нескінченність. При цьому може трапитися так, що крива
на нескінченності, “розпрямляючись”, наближається до деякої прямої лінії
(рис.6.21).

по кривій рухається в нескінченність, тобто

.

                                            Рис.6.21

) і —  “похилі”.

.

 (рис. 6.23).

            Із означення асимптоти

.                                 (6.106)

            Тоді

.                             (6.107)

Перетворимо останній вираз:

Ця різниця можлива, якщо

звідки

.                                       (6.108)

 існує і скінчена, то із (6.115)

.                                    (6.109)

            Для існування похилих асимптот необхідне існування (і
скінченність) обох границь (6.108) і (6.109). При цьому можливі такі
окремі випадки.

1. Обидві границі існують, скінченні і не залежать від знаку:

;

.

 буде двосторонньою асимптотою графіка.

, але

.

.

.

:

.

:

.

            Приклад.        Знайти асимптоти кривої

.

            Р о з в ’ я з о к. Знаходимо границю

.

.

            Знаходимо границю

.

.

.

3. Загальна схема дослідження функції  та побудова її графіка

            Наочне уявлення про хід зміни функції дає її графік, тому
його побудова повинна бути заключним етапом дослідження функції, в якому
мають використовуватися всі результати її дослідження. Для зручності
дослідження функції рекомендуємо вести в деякій певній послідовності.

1. Знайти область існування функції. Це дає змогу визначити ті точки осі
абсцис, над якими пройде чи не пройде графік функції.

2. Знайти точки перетину графіка з координатними осями. Для цього треба
розв’язати дві системи рівнянь:

.

.

4. Знайти точки розриву функції та дослідити їх характер. Це допоможе
встановити вигляд графіка функції поблизу цих точок.

 наближається до одного з кінців розглядуваних проміжків.

6. Визначити інтервали монотонності функції.

7. Знайти екстремальні точки і побудувати їх на площині.

8. Знайти інтервали вгнутості та опуклості кривої, яка є графіком
функції.

9. Знайти точки перетину і побудувати їх на площині.

10. Знайти асимптоти графіка функції.

11. Побудувати графік функції.

           

            Приклад.  Дослідити функцію та побудувати її графік.

            Р о з в ’ я з о к.

1. Оскільки задана функція дробово-раціональна, то вона не існує в
точках, де знаменник дорівнює нулю:

,

.

.

, тобто графік проходить через початок  координат.

.

. Дослідимо її характер. Знайдемо односторонні границі

.

є вертикальною асимптотою.

 ми її дослідили, тепер знайдемо

.

            6. Обчислимо

.

:

.

 — спадає.

:

,

.

 є точкою мінімуму:

.

8. Знаходимо інтервали вгнутості та опуклості графіка функції

.

:

.

 — опукла.

.

 є точка перегину.

            10. Знаходимо похилі асимптоти:

;

.

.

.

            11. Будуємо графік функції (рис.6.22).

Рис.6.22

4. Гранична корисність і гранична норма заміщення

мають різні знаки (рис.6.23).

).

тому

 запишемо у вигляді

             Рис.6.23                     
                           Рис.6.24

то

,

тобто гранична норма заміщення одного товару іншим дорівнює відношенню
їх граничних корисностей.

5. Функція попиту

Ці функції називаються функціями попиту.

            Зміст цього визначення полягає в тому, що споживач прагне до
найбільшого задоволення від куплених ним товарів при обмежених доходах.

  (рис.6.24 ).

 тобто споживач витрачає на покупки весь свій дохід.

 є однорідними функціями нульового виміру. Отже, для диференційованої
функції попиту виконуються тотожності Ейлера:

Тоді функція Лагранжа запишеться так:

будуть такими:

В цьому випадку система буде простішою

 можна виключити із системи. В результаті отримаємо систему рівнянь

Похожие записи