Реферат на тему:
Випадкові величини
1. Випадкові величини ( функції на просторі елементарних подій.
Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової
величини. Випадкова величина ( це величина, яка приймає те чи інше
значення в залежності від випадку. Прикладом випадкової величини можуть
бути число очок, які випали при одному підкиданні грального кубика,
число попадань в ціль при n пострілах, час безвідмовної роботи приладу,
дальність польоту балістичної ракети та інш. Випадкова величина ( є
число, яке ставиться у відповідність кожному можливому наслідку
експеримента. Оскільки наслідки експерименту описуються елементарними
подіями, випадкову величину можна розглядати як функцію ( ( (((( на
просторі елементарних подій (.
Приклад. Нехай двічі підкидають монету. Простір елементарних подій має
вигляд (((ГГ, ГР, РГ, РР(. Нехай ( ( число появ герба. Величина ( є
функцією ( ( (((( елементарної події. Таблиця значень функції (((( має
наступний вигляд:
( Г Г Г Р Р Г Р Р
(((( 2 1 1 0
Функція ( ( (((( на ( називається вимірною відносно ( ( алгебри (, якщо
для кожного дійсного х виконана умова ((: ((((( х(((.
Випадковою величиною ( на (((((( () називається вимірна функція
( ( ((((, яка задає відображення ( в множину дійсних чисел R.
Функцією розподілу випадкової величини (((( називається функція
F(x)={ ( : (((( ( ймовірнісний простір і (((( ( випадкова величина на
ньому. Показати,що кожна із множин множини (
{ ( : (((( ( x}, { ( : (((( ( x},
{ ( : (((( (x}, { ( : a((((( 2. Дискретні випадкові величини.
Нехай ( ймовірнісний простір. Дискретною випадковою величиною
називається функція (((( на (, яка набуває скінченне або зліченне число
значень х1, х2, …, хn , … і є вимірною відносно ( ( алгебри (. Це
означає, що для кожного хі
{ ( : (((( (x} ( ( (1)
Дійсно, якщо для функції (((( має місце співвідношення (1), то ця
функція вимірна відносно (, так як для кожного дійсного х
{ ( : (((( (xі} ( (.
Крім того, якщо (((( вимірна відносно ( ( алгебри (, то за Теоремою 1
для кожного дійсного х { ( : (((( (x } ( (. Таким чином, якщо (((( (
дискретна випадкова величина на ймовірнісному просторі , яка
приймає значення х1, х2, …, хn, …, то для кожного n визначена
ймовірність
Рn=Р{ ( : (((( (xn}
(2)
Нехай ((() – дискретна випадкова величина, яка набуває значення х1,…,
хі,…. Набір чисел
Р{(:((()=xi}=pi (i=1,2,…)
називають р о з п о д і л о м випадкової величини (. Зрозуміло, що
.
Часто розподіл випадкової величини подають у вигляді такої таблиці, в
якій перераховуються значення випадкової величини разом з відповідними
ймовірностями:
( x1 … xk …
p p1 … pk …
Функція розподілу дискретної випадкової величини ((() визначається
рівністю
Сумісний розподіл випадкових величин ((() і (((). Нехай ((() – дискретна
випадкова величина, яка набуває значень х1, х2,…, хі,…, ((() – дискретна
випадкова величина, яка набуває значень y1, y2,…, yі,…. Набір чисел
Р{(:((()=xi, ((()=yi}=pij
(i=1, 2, …; j=1, 2, …) називається с у м і с н и м р о з п о д і л о м
випадкових величин ( і ( (розподілом випадкового вектора ((, ()). Мають
місце такі твердження:
де {pi} розподіл (((), {qi} – розподіл ((().
Незалежні випадкові величини. Випадкові величини ( і (
н а з и в а ю т ь с я н е з а л е ж н и м и, якщо для будь-яких i j
P{((()=xi, ((()= yi} = P{((()=xi} ( P{((()= yi}.
Математичне сподівання випадкової величини. Нехай ((() – дискретна
випадкова величина, яка набуває значень хі з імовірностями рі(і=1, 2,
…). Припустимо, що ряд ((хі(рі збігається. Тоді м а т е м а т и ч
н и м с п оді-
Якщо ((хі(рі=+(, то кажуть, що випадкова величина ((() не має
математичного сподівання. Математичне сподівання суми випадкових величин
дорівнює сумі математичних сподівань.
Дисперсія випадкової величини ((() визначається рівністю
Властивості дисперсії.
(=соnst;
D(C()=c2 D(;
C)= D( .
.
це:
cov((, ()=M((-M()((-M().
Коефіцієнт кореляції. К о є ф і ц і є н т о м к о р е л я ц і ї
випадкових величин ( і ( називаються
Мають місце такі твердження:
а) (r((, ()(( 1;
б) якщо ( і ( незалежні, то r((, ()=0;
в) якщо (r((, ()(=1, то з імовірністю одиниця (=а(+b, де а і b – деякі
сталі.
Схема Бернуллі. Класичні дискретні розподіли.
Біномінальний розподіл. Проводяться незалежні випробовування; в кожному
випробовуванні може бути два результати: «успіх» – з імовірністю p, або
невдача з імовірністю 1-р=q. Нехай проведено n випробовувань. Позначимо
через ( число «успіхів», тоді
(k=0, 1,…, n).
Розподіл випадкової величини ( називається
б і н о м і н а л ь н и м р о з п о д і л о м Б е р н у л л і, а
описана вище схема носить назву схеми незалежних випробовувань, або
схеми Бернуллі.
.
,то
.
то
, то
Геометричний розподіл. Випадкова величина (, яка набуває значень 0, 1,
…, k…має геометричний розподіл з параметром р,якщо
Р{(=k}=(1-p)kp.
Величину ( можна інтерпретувати як число випробувань до першої появи
успіху в схемі незалежних випробувань з ймовірністю появи успіху р.
Розподіл Пуассона. Випадкова величина (, яка набуває значень 0, 1, …,
k…має розподіл Пуассона з параметром ( ), якщо
,
(закон рідких подій).
Задача 1.Двічі підкидають монету. Описати простір елементарних подій (.
Нехай (((( ( число появи герба. Знайти розподіл випадкової величини ( ,
математичне сподівання М( та дисперсію D(.
(((ГГ, ГР, РГ, РР(
Р1=Р(( (((=1(4; Р2=Р(( (1(=1(2; Р3=Р(( (0(=1(4;
М( = 1(4 ( 2 + 1(2 + 1 =1; М( 2 = 1(4 ( 4 + 1(2 ( 1
=3(2;
D(. = М( 2 + (М()2 = 1(2.
.
),
=0, 44).
0 0,15 0,25
1 0,2 0,15
.
– незалежні.
).
Задача 7.Гральний кубик підкидають 5 раз. Знайти ймовірністьтого, що
два рази з’явиться число очок, яке кратне 3.
Задача 8. Що більш ймовірно: виграти у гравця ( рівного собі за силою
гри ) 4 партії з 8, чи 3 партії з 5 ?
Задача 9.Показати, М( = np; D( = npq, якщо випадкова величина ( має
біноміальний розподіл. q ( ймовірність невдачі, n ( число
випробовувань, p ( ймовірність успіху.
Задача 10.Стріляють по цілі n раз. Влучення при окремих пострілах (
незалежні події і ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнює р.
Нехай ( ( число влучень при n пострілах. Знайти а) розподіл ( , б) М(
та D( ;
Задача 11. Проведено 20 пострілів по цілі. Ймовірність влучення при
одному пострілі 0,7. Обчислити: а) ймовірність того, що буде принаймі
одне влучення;
б) ймовірність того, що буде не більше двох влучень.
0.302).
Задача 13.Знайти ймовірність: а) при підкиданні 6n гральних кубиків не
менше n раз з’явиться шестірка; б) появи принаймі трьох шестірок при
підкиданні 18 кубиків (р=0,597).
Задача 14. Якщо в середньому лівші складають 1%, то які шанси на те, що
серед 200 чоловік а) виявиться рівно 4 лівші ; б) знайдеться принаймі 4
лівші.
( Вказівка.Скористатися формулою Пуассона ).
.
Задача 16. Нехай (- має геометричний розподіл. Показати,що
).
.
Задача 18. Нехай ( ( випадкова величина, яка має розподіл Пуассона з
параметром (. Довести, що М( = (; D( =( .
– незалежні випадкові величини, які приймають значення х1, х2,… з
ймовірностями р1, р2,… та q1, q2,… відповідно. Обчислити
.
. Довести, що
.
.
.
Задача 22. Нехай (1 та (2 ( незалежні випадкові величини, які мають цілі
значення. Довести, що
Задача 23.Нехай (1 та (2 ( незалежні випадкові величини, які мають
розподіл Пуассона з параметрами (1 та (2. Довести, що випадкова
величина
( = (1 + (2 має розподіл Пуассона з параметрами (1 + (2.
Задача 24. Випадкові величини(1 та (2 ( незалежні і мають розподіл
Пуассона
з параметрами (1та (2 відповідно. Показати, що
.
Задача 25 .Випадкові величини (1 та (2 ( незалежні і мають один і той же
геометричний розподіл. Довести, що
.
має геометричний розподіл. Знайти параиетр цього розподілу.Відповідь
q=q1q2.
.
’
набуває значення 1 та 0, причому
=
.
Задача 28. Знайти ймовірність того, що подія А настурить рівно 70 раз в
243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному
випрбуванні дорівнює 0,25.
Розв’язування. Скористаємося локальною теоремою Лапласа:
Задача 29. Ймовірність появи події А в кожному із 100 незалежних
випробовувань постійна і дорівнює р=0, 8. Знайти ймовірність того, що
подія А з’явиться: а) не менше 75 раз і не більше 90 раз;б) не менше 75
разів.
Розв’язування. а) Скористаємося інтегральною теоремою Муавра –
Лапласа:
– функція Лапласа,
.
)).
).
3 Абсолютно неперервні випадкові величини.
Функція розподілу випадкової величини ( – це ймовірність F(x)=P{(
Задача 10. Щільність випадкової величини ( має вигляд р(х)=Ае-х при х(0
й р(х)=0 при х
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter