Реферат на тему:

Випадкові величини

1. Випадкові величини ( функції на просторі елементарних подій.

Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової
величини. Випадкова величина ( це величина, яка приймає те чи інше
значення в залежності від випадку. Прикладом випадкової величини можуть
бути число очок, які випали при одному підкиданні грального кубика,
число попадань в ціль при n пострілах, час безвідмовної роботи приладу,
дальність польоту балістичної ракети та інш. Випадкова величина ( є
число, яке ставиться у відповідність кожному можливому наслідку
експеримента. Оскільки наслідки експерименту описуються елементарними
подіями, випадкову величину можна розглядати як функцію ( ( (((( на
просторі елементарних подій (.

Приклад. Нехай двічі підкидають монету. Простір елементарних подій має
вигляд (((ГГ, ГР, РГ, РР(. Нехай ( ( число появ герба. Величина ( є
функцією ( ( (((( елементарної події. Таблиця значень функції (((( має
наступний вигляд:

( Г Г Г Р Р Г Р Р

(((( 2 1 1 0

Функція ( ( (((( на ( називається вимірною відносно ( ( алгебри (, якщо
для кожного дійсного х виконана умова ((: ((((( х(((.

Випадковою величиною ( на (((((( () називається вимірна функція

( ( ((((, яка задає відображення ( в множину дійсних чисел R.

Функцією розподілу випадкової величини (((( називається функція

F(x)={ ( : (((( < x}. Нехай <((((( (> ( ймовірнісний простір і (((( ( випадкова величина на
ньому. Показати,що кожна із множин множини (

{ ( : (((( ( x}, { ( : (((( ( x},

{ ( : (((( (x}, { ( : a((((( < b}, { ( : (((( (x}, { ( : a<(((( < b} ), 2. Дискретні випадкові величини. Нехай <((((( (> ( ймовірнісний простір. Дискретною випадковою величиною
називається функція (((( на (, яка набуває скінченне або зліченне число
значень х1, х2, …, хn , … і є вимірною відносно ( ( алгебри (. Це
означає, що для кожного хі

{ ( : (((( (x} ( ( (1)

Дійсно, якщо для функції (((( має місце співвідношення (1), то ця
функція вимірна відносно (, так як для кожного дійсного х

{ ( : (((( (xі} ( (.

Крім того, якщо (((( вимірна відносно ( ( алгебри (, то за Теоремою 1
для кожного дійсного х { ( : (((( (x } ( (. Таким чином, якщо (((( (
дискретна випадкова величина на ймовірнісному просторі <((((( (>, яка
приймає значення х1, х2, …, хn, …, то для кожного n визначена
ймовірність

Рn=Р{ ( : (((( (xn}
(2)

Нехай ((() – дискретна випадкова величина, яка набуває значення х1,…,
хі,…. Набір чисел

Р{(:((()=xi}=pi (i=1,2,…)

називають р о з п о д і л о м випадкової величини (. Зрозуміло, що

.

Часто розподіл випадкової величини подають у вигляді такої таблиці, в
якій перераховуються значення випадкової величини разом з відповідними
ймовірностями:

( x1 … xk …

p p1 … pk …

Функція розподілу дискретної випадкової величини ((() визначається
рівністю

Сумісний розподіл випадкових величин ((() і (((). Нехай ((() – дискретна
випадкова величина, яка набуває значень х1, х2,…, хі,…, ((() – дискретна
випадкова величина, яка набуває значень y1, y2,…, yі,…. Набір чисел

Р{(:((()=xi, ((()=yi}=pij

(i=1, 2, …; j=1, 2, …) називається с у м і с н и м р о з п о д і л о м

випадкових величин ( і ( (розподілом випадкового вектора ((, ()). Мають
місце такі твердження:

де {pi} розподіл (((), {qi} – розподіл ((().

Незалежні випадкові величини. Випадкові величини ( і (

н а з и в а ю т ь с я н е з а л е ж н и м и, якщо для будь-яких i j

P{((()=xi, ((()= yi} = P{((()=xi} ( P{((()= yi}.

Математичне сподівання випадкової величини. Нехай ((() – дискретна
випадкова величина, яка набуває значень хі з імовірностями рі(і=1, 2,
…). Припустимо, що ряд ((хі(рі збігається. Тоді м а т е м а т и ч
н и м с п оді-

Якщо ((хі(рі=+(, то кажуть, що випадкова величина ((() не має
математичного сподівання. Математичне сподівання суми випадкових величин
дорівнює сумі математичних сподівань.

Дисперсія випадкової величини ((() визначається рівністю

Властивості дисперсії.

(=соnst;

D(C()=c2 D(;

C)= D( .

.

це:

cov((, ()=M((-M()((-M().

Коефіцієнт кореляції. К о є ф і ц і є н т о м к о р е л я ц і ї
випадкових величин ( і ( називаються

Мають місце такі твердження:

а) (r((, ()(( 1;

б) якщо ( і ( незалежні, то r((, ()=0;

в) якщо (r((, ()(=1, то з імовірністю одиниця (=а(+b, де а і b – деякі
сталі.

Схема Бернуллі. Класичні дискретні розподіли.

Біномінальний розподіл. Проводяться незалежні випробовування; в кожному
випробовуванні може бути два результати: «успіх» — з імовірністю p, або
невдача з імовірністю 1-р=q. Нехай проведено n випробовувань. Позначимо
через ( число «успіхів», тоді

(k=0, 1,…, n).

Розподіл випадкової величини ( називається

б і н о м і н а л ь н и м р о з п о д і л о м Б е р н у л л і, а
описана вище схема носить назву схеми незалежних випробовувань, або
схеми Бернуллі.

.

,то

.

то

, то

Геометричний розподіл. Випадкова величина (, яка набуває значень 0, 1,
…, k…має геометричний розподіл з параметром р,якщо

Р{(=k}=(1-p)kp.

Величину ( можна інтерпретувати як число випробувань до першої появи
успіху в схемі незалежних випробувань з ймовірністю появи успіху р.

Розподіл Пуассона. Випадкова величина (, яка набуває значень 0, 1, …,
k…має розподіл Пуассона з параметром ( ), якщо

,

(закон рідких подій).

Задача 1.Двічі підкидають монету. Описати простір елементарних подій (.
Нехай (((( ( число появи герба. Знайти розподіл випадкової величини ( ,
математичне сподівання М( та дисперсію D(.

(((ГГ, ГР, РГ, РР(

Р1=Р(( (((=1(4; Р2=Р(( (1(=1(2; Р3=Р(( (0(=1(4;

М( = 1(4 ( 2 + 1(2 + 1 =1; М( 2 = 1(4 ( 4 + 1(2 ( 1
=3(2;

D(. = М( 2 + (М()2 = 1(2.

.

),

=0, 44).

0 0,15 0,25

1 0,2 0,15

.

— незалежні.

).

Задача 7.Гральний кубик підкидають 5 раз. Знайти ймовірністьтого, що
два рази з’явиться число очок, яке кратне 3.

Задача 8. Що більш ймовірно: виграти у гравця ( рівного собі за силою
гри ) 4 партії з 8, чи 3 партії з 5 ?

Задача 9.Показати, М( = np; D( = npq, якщо випадкова величина ( має
біноміальний розподіл. q ( ймовірність невдачі, n ( число
випробовувань, p ( ймовірність успіху.

Задача 10.Стріляють по цілі n раз. Влучення при окремих пострілах (
незалежні події і ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнює р.
Нехай ( ( число влучень при n пострілах. Знайти а) розподіл ( , б) М(
та D( ;

Задача 11. Проведено 20 пострілів по цілі. Ймовірність влучення при
одному пострілі 0,7. Обчислити: а) ймовірність того, що буде принаймі
одне влучення;

б) ймовірність того, що буде не більше двох влучень.

0.302).

Задача 13.Знайти ймовірність: а) при підкиданні 6n гральних кубиків не
менше n раз з’явиться шестірка; б) появи принаймі трьох шестірок при
підкиданні 18 кубиків (р=0,597).

Задача 14. Якщо в середньому лівші складають 1%, то які шанси на те, що
серед 200 чоловік а) виявиться рівно 4 лівші ; б) знайдеться принаймі 4
лівші.

( Вказівка.Скористатися формулою Пуассона ).

.

Задача 16. Нехай (- має геометричний розподіл. Показати,що

).

.

Задача 18. Нехай ( ( випадкова величина, яка має розподіл Пуассона з
параметром (. Довести, що М( = (; D( =( .

— незалежні випадкові величини, які приймають значення х1, х2,… з
ймовірностями р1, р2,… та q1, q2,… відповідно. Обчислити

.

. Довести, що

.

.

.

Задача 22. Нехай (1 та (2 ( незалежні випадкові величини, які мають цілі
значення. Довести, що

Задача 23.Нехай (1 та (2 ( незалежні випадкові величини, які мають
розподіл Пуассона з параметрами (1 та (2. Довести, що випадкова
величина

( = (1 + (2 має розподіл Пуассона з параметрами (1 + (2.

Задача 24. Випадкові величини(1 та (2 ( незалежні і мають розподіл
Пуассона

з параметрами (1та (2 відповідно. Показати, що

.

Задача 25 .Випадкові величини (1 та (2 ( незалежні і мають один і той же
геометричний розподіл. Довести, що

.

має геометричний розподіл. Знайти параиетр цього розподілу.Відповідь
q=q1q2.

.

набуває значення 1 та 0, причому

=

.

Задача 28. Знайти ймовірність того, що подія А настурить рівно 70 раз в
243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному
випрбуванні дорівнює 0,25.

Розв’язування. Скористаємося локальною теоремою Лапласа:

Задача 29. Ймовірність появи події А в кожному із 100 незалежних
випробовувань постійна і дорівнює р=0, 8. Знайти ймовірність того, що
подія А з’явиться: а) не менше 75 раз і не більше 90 раз;б) не менше 75
разів.

Розв’язування. а) Скористаємося інтегральною теоремою Муавра –
Лапласа:

— функція Лапласа,

.

)).

).

3 Абсолютно неперервні випадкові величини.

Функція розподілу випадкової величини ( — це ймовірність F(x)=P{( a/2 }

Задача 10. Щільність випадкової величини ( має вигляд р(х)=Ае-х при х(0
й р(х)=0 при х<0. Знайти коефіцієнт А. Обчислити дисперсію ( . , а та ( ( додатні постійні. Знайти математичне сподівання та дисперсію (. ( М( = 0 ; D( = а2(2 ) . Задача13. Нехай випадкова величина ( задана наступним чином:. Знайти а) коефіцієнт А й функцію розподілу; б) математичне сподівання та дисперсію ( . (А=1/2, F(x)=1/2 (sin x –1) при -(/2

Похожие записи