Курсова робота з математики

Використання системи DERIVE у курсі «Вища математика»

Зміст

TOC \o Основні відомості про систему DERIVE 3

Склад системи 3

Викликання системи 4

Використовування системи меню 4

Редагування 5

Допомога (підказка) 6

Вихід із системи 7

Виконання команд DOS 7

Збереження виразів 7

Завантаження виразів 7

Друкування виразів 7

Збереження поточного стану 7

Арифметика в системі DERIVE 8

Введення числових виразів 8

Спрощення виразів 8

Виділення виразів 8

Введення функцій 9

Побудова виразів 9

Переміщення виразів 9

Видалення виразів 10

Контроль точності обчислень 10

Контроль формату виведення чисел 10

Наближене обчислення ірраціональних чисел 10

Контроль системи числення 11

Алгебра в системі DERIVE 11

Введення змінних 11

Спрощення виразів 12

Упорядкування змінних 12

Розкладання виразів 12

Вибір комплексних віток 13

Розкладання виразів на множники 13

Підстановка величин 14

Введення нескінченних величин 14

Описання областей змінювання змінних 15

Описання констант 15

Описання функцій 15

Розв’язування рівнянь та нерівностей 15

Побудова графіків в системі DERIVE 16

Режими екрана та кольори 16

Побудова графіків виразів від однієї змінної 17

Побудова графіків у полярній системі координат 17

Побудова графіків виразів, заданих в параметричній формі 18

Побудова графіків виразів від двох змінних 18

Функції та константи в системі DERIVE 18

Експоненціальні функції 18

Логарифмічні функції 19

Тригонометричні функції 19

Обернені тригонометричні функції 19

Гіперболічні функції 19

Обернені гіперболічні функції 19

Кусково-неперервні функції 20

Функції комплексної змінної 20

Ймовірнісні функції 20

Статистичні функції 20

Функції помилок 21

Диференціальне та інтегральне числення в системі DERIVE 21

Границі 22

Диференціювання 22

Розклад за формулою Тейлора 22

Інтегрування 23

Підсумовування 23

Добутки 24

Вектори та матриці в системі DERIVE 25

Введення векторів і матриць 25

Генерування векторів і матриць 25

Вибирання елементів 25

Операції над векторами 26

Операції над матрицями 26

Рядково-ешелонна форма 27

Власні значення 27

Диференціальне векторне числення 27

Інтегральне векторне числення 28

Завдання 28

Коротке зведення команд системи DERIVE 30

Команди меню вікна Algebra 30

Команди меню вікна 2D-plot 31

Команди меню вікна 3D-plot 32

Список літератури 33

Система DERIVE (Mathematical assistant SYMBOL 151 \f «Arial Cyr»
Математичний помічник) розроблена наприкінці 80-х років фірмою Soft
Warehouse, Inc., США. Серед систем подібного типу (EUREKA, MathCAD,
MATLAB та ін.) DERIVE займає помітне місце завдяки розвиненим
можливостям аналітичних перетворень і простоті у вивченні та
використанні.

Система DERIVE дозволяє проводити аналітичні та чисельні перетворення в
різноманітних галузях математики (диференціальне та інтегральне
числення, алгебра, геометрія, диференціальні рівняння, математична
статистика і т.п.), може використовуватись при проведенні математичних
розрахунків у фізиці, механіці, геології та інших областях. Нарешті, але
не в останню чергу, DERIVE може бути з успіхом застосований в
навчальному процесі при вивченні математичних курсів і як інструмент в
тих дисциплінах, які використовують математичні методи.

DERIVE працює під управлінням операційної системи MS-DOS 2.1 і вище, на
IBM-сумісних комп’ютерах з оперативною пам’яттю не менше 512K, з
використанням різноманітних дисплейних адаптерів та моніторів (MDA, CGA,
EGA, MCGA, VGA, Hercules).

В цьому посібнику приводяться відомості про функціональні можливості
системи DERIVE, дається опис функцій, констант і операторів DERIVE,
обговорюються можливі області застосування системи, формулюються задачі
для розв’язування їх за допомогою вказаної системи.

Основні відомості про систему DERIVE

Склад системи

До складу системи DERIVE (версія 1.62) входять такі файли.

Програмні файли:

DERIVE.EXE SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» головна програма;

DERIVE.HLP SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» файл допомоги;

DERIVE.INI SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» файл початкової установки;

HERCULES.COM SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» драйвер для Hercules-монітора.

Демонстраційні файли:

ARITH.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» арифметичні приклади;

ALGEBRA.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» алгебраїчні приклади;

CALCULUS.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» приклади з математичного
аналізу;

FUNCTION.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» приклади з логарифмічних,
експоненційних, ймовірнісних і статистичних функцій;

MATRIX.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» матричні приклади;

PLOT2D.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» приклади з 2-вимірних графіків;

PLOT3D.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» приклади з 3-вимірних графіків;

PLOTPARA.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» приклади з параметричних
графіків;

TRIG.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» тригонометричні приклади.

Файли-утиліти:

ANNUITY.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» рівняння ренти (щорічного
доходу);

APPROX.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» апроксимація Паде;

COORD.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» матриці різних систем координат;

DERIV.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» застосування диференціального
числення;

ENGLISH.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» англійська система одиниць;

INTEGRAL.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» застосування інтегрального
числення;

METRIC.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» метрична система одиниць;

ODE1.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» диференціальні рівняння 1-го
порядку;

ODE2.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» диференціальні рівняння 2-го
порядку;

PHYSICAL.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» основні фізичні константи;

RECUREQN.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» рекурентні рівняння;

SPECIAL.MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» спеціальні функції.

Всього система DERIVE займає біля 300K дискового простору. (Головний
файл системи SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» DERIVE.EXE SYMBOL 151 \f
«Arial Cyr» має дату: 05 SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 15 SYMBOL 150 \f
«Arial Cyr» 90).

Викликання системи

Викликання DERIVE із середовища DOS здійснюється набиранням на
клавіатурі директиви DERIVE з наступним натисканням клавіші Enter, після
чого з’являється екран системи DERIVE :

D e r i v e

A Mathematical Assistant

Version 1.62

Copyright (C) 1988 by Soft Warehouse, Inc.

Honolulu, Hawaii, USA

Press H for help

________________________________________________________

COMMAND: Author Build Calculus Declare Expand Factor Help Jump soLve
Manage

Options Plot Quit Remove Simplify Transfer moVe Window approX

Enter option

Free:100% Derive Algebra

У нижньому рядку екрана розташований рядок стану (status line), який
відображає поточний стан системи в кожний даний момент часу. На рисунку
він показує:

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h 100% вільного простору пам’яті
комп’ютера доступно для збереження математичних виразів;

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h редактор системи знаходиться в режимі
вставки;

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h ім’я програми SYMBOL 151 \f «Arial
Cyr» Derive;

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h ім’я поточного вікна SYMBOL 151 \f
«Arial Cyr» Algebra.

У передостанньому рядку екрана знаходиться рядок повідомлення (message
line). Він вказує, що виконується системою в поточний момент часу, або
що належить виконати користувачеві.

Нарешті, перед вказаними двома рядками розташоване головне меню команд
системи DERIVE.

Використовування системи меню

Одна із команд (опцій) меню виділена зворотним кольором. Натискання
клавіш Space (пропуск) або Tab (табуляція) приводить до вказаного
виділення наступної команди. Для переходу до попередньої команди треба
використовувати клавіші Backspace ( SYMBOL 220 \f «Symbol» ) або
Shift+Tab. Після вибору необхідної команди її можна виконати, натиснувши
клавішу Enter. Можна виконати потрібну команду швидше простим
натисканням клавіші, що відповідає великій літері в імені команди.

Багато команд головного меню системи DERIVE викликають підменю (меню
нижнього рівня). Повернення до меню верхнього рівня здійснюється в разі
необхідності натисканням клавіші Esc. Ця ж клавіша перериває виконання
перетворень, що проводяться DERIVE.

Послідовність команд із пов’язаних меню (підменю) будемо об’єднувати в
одну команду, наприклад, Options Display.

Команди деяких меню можуть розміщуватись в декількох областях вибору,
кожна з яких має власне ім’я, за яким слідує двокрапка та назва команд.
Наприклад, після виконання команди Options Display на екрані з’явиться
підменю:

DISPLAY: Mode: Text Graphics Resolution: Medium (High)

Adapter: MDA (CGA) EGA MCGA VGA Hercules AT&T T3100 PCjr

У вказаному підменю команди розміщені в трьох областях: Mode, Resolution
і Adapter. Поточний стан режиму (Mode) екрана виділений зворотним
кольором. Поточні стани інших областей виділяються круглими дужками.
Перехід з однієї області в іншу здійснюється натисканням клавіші Tab
(Shift+Tab), вибір команди в межах області SYMBOL 151 \f «Arial Cyr»
натисканням клавіш Space (Backspace) та Enter або клавіші, що відповідає
великій літері в імені команди.

Команди деяких підменю можуть містити одну або декілька областей
введення даних, кожна з яких має ім’я, за яким слідує двокрапка.

Команди деяких підменю можуть містити як області вибору, так і області
введення даних. Наприклад, після виконання команди Options Notation на
екрані з’явиться підменю:

NOTATION: Style: Decimal Mixed Rational Scientific Digits: 6

При натисканні клавіші, якій не відповідає жодна з команд, система
генерує звуковий сигнал помилки. Цей сигнал може бути вимкнений командою
Options Mute (німий).

Редагування

При введенні та внесенні змін в математичні вирази (expression) можна
використовувати вбудований в DERIVE простий текстовий редактор. Для того
щоб одержати до нього доступ, треба просто виконати команду Author
(автор) із головного меню системи, у результаті чого на екрані в області
меню з’являться рядки:

AUTHOR expression:

Enter expression

Після введення з клавіатури відповідного виразу натискається клавіша
Enter і цей вираз (якщо тільки в ньому немає синтаксичних помилок)
заноситься з унікальним порядковим номером до робочої області вікна
Algebra. На кожний введений раніше вираз можна буде потім посилатися за
вказаним номером.

Під час введення виразу або в процесі виправлення допущених помилок
можна використовувати такі команди редактора:

Ctrl+S перемістити курсор на символ ліворуч

Ctrl+D перемістити курсор на символ праворуч

Ctrl+A перемістити курсор на слово ліворуч

Ctrl+F перемістити курсор на слово праворуч

Ctrl+Q S перемістити курсор в початок рядка

Ctrl+Q D перемістити курсор в кінець рядка

Ctrl+H Backspace видалити символ ліворуч від курсора

Ctrl+G Del видалити символ над курсором

Ctrl+T видалити слово, що починається від курсора

Ctrl+Y видалити весь рядок

Ctrl+Q Y видалити частину рядка праворуч від курсора

Ctrl+Q H видалити частину рядка ліворуч від курсора

Ctrl+M Enter ввести рядок тексту (вираз)

Ctrl+J Ctrl+Enter ввести рядок тексту (вираз) і спростити (Simplify)

Esc вийти з режиму редагування (повернутись до головного меню)

Ctrl+V Ins перейти до режиму вставки

Ctrl+U ввести попередній рядок тексту

F3 ввести в рядок редагування виділений у вікні Algebra вираз

F4 ввести в рядок редагування виділений у вікні Algebra вираз, взявши
його у круглі дужки

Допомога (підказка)

Щоб одержати короткі відомості про можливості системи DERIVE треба в
головному меню виконати команду Help, в результаті чого на екрані
з’явиться наступне підменю:

E SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» line Editing commands (команди редагування
рядка)

F SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» Functions and constants (функції та
константи)

A SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» Algebra window commands (команди вікна
Алгебра)

2 SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 2D-plot window commands (команди вікна
2-вимірної графіки)

3 SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 3D-plot window commands (команди вікна
3-вимірної графіки)

S SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» current State of system (поточний стан
системи)

R SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» Return to Derive (повернення до DERIVE)

HELP: Next Previous Resume

Перехід до підказки потрібного розділу здійснюється натисканням клавіші
з відповідною літерою. В межах обраного розділу перегортання сторінок
довідки здійснюється за допомогою команд Next (наступна) та Previous
(попередня), повернення до меню довідки SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» за
допомогою команди Resume (резюме, зведення команд допомоги).

Інформація, що виводиться на екран при зверненні до довідки,
зберігається у файлі DERIVE.HLP.

Вихід із системи

Для виходу із системи DERIVE та повернення до DOS треба виконати команду
Quit. Якщо під час роботи з системою вводились нові вирази, то DERIVE
видасть повідомлення:

Abandon expressions (Y/N) (Покинути вираз (Т/Н))

Натискання клавіші Y призведе за собою вихід із системи DERIVE і
повернення до DOS, клавіші N SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» повернення до
меню системи.

Виконання команд DOS

Для виконання команди DOS треба попередньо виконати команду
OptionsExecute системи DERIVE. Повернення із DOS до DERIVE здійснюється
командою EXIT, що набирається на клавіатурі.

Збереження виразів

Збереження на диску математичних виразів, введених під час роботі із
системою DERIVE, здійснюється командою Transfer Save. При цьому треба
задати формат файлу, що зберігається, та його ім’я.

Формати файлів, що зберігаються:

MTH SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» внутрішній формат системи DERIVE,

FOR SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» формат мови FORTRAN,

PAS SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» формат мови PASCAL,

BAS SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» формат мови BASIC.

Завантаження виразів

Команда TransferMerge приєднує вирази, що прочитані з MTH-файлу, до
виразів, які знаходяться у вікні Algebra в даний момент часу.

Команда TransferLoad заміщує вирази, що знаходяться у вікні Algebra в
даний момент часу, на вирази, які прочитані з MTH-файлу.

Команда TransferDemo послідовно завантажує та спрощує вирази, що
прочитані з MTH-файлу.

Команда TransferClear видаляє вирази, що знаходяться у вікні Algebra в
поточний момент часу, та очищує всі визначені користувачем константи,
функції та області змінювання змінних.

Друкування виразів

Команда TransferPrintPrinter виводить вирази, що знаходяться у вікні
Algebra в поточний момент часу, на друк (принтер).

Команда Transfer Print File виводить вирази, що знаходяться у вікні
Algebra в поточний момент часу, в файл з розширенням PRT та іменем, яке
задається користувачем.

Щоб задати формат друку використовується команда TransferPrint Layout.
За допомогою цієї команди можна встановити довжину, ширину та поля
сторінок, на які виводиться документ.

Збереження поточного стану

Під час роботи з DERIVE можна виконати установлення багатьох параметрів
системи (виведення на друк, точності обчислень, основи системи числення,
режиму роботи дисплея та його кольорів, області змінювання змінних та
ін.). Вибрані параметри визначають поточний стан системи. Для його
збереження (в файлі DERIVE.INI) використовується команда Transfer sTate
Save.

Початкове установлення параметрів стану (з файлу DERIVE.INI)
відбувається автоматично при завантаженні системи DERIVE. Його ж можна
зробити в процесі роботи з DERIVE, виконавши команду Transfer sTate
Load.

Арифметика в системі DERIVE

Цей розділ присвячений тому, як вводити, будувати, спрощувати,
переміщати та видаляти числові вирази. Для демонстрації вказаних
можливостей системи DERIVE завантажте файл ARITH.MTH, використовуючи
команду TransferDemo (або TransferLoad). Зауважимо, що більшість команд
системи не можна виконати, якщо попередньо не ввести якісь вирази.

Введення числових виразів

При введенні числових виразів використовуються цифрові клавіші,
десяткова крапка (.) та основні математичні операції:

+ додавання

SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» віднімання

SYMBOL 42 \f «Symbol» множення

/ ділення

^ піднесення до степеня

Введення числових виразів здійснюється після виконання раніш розглянутої
команди Author.

Введений вираз поміщується із своїм номером у вікно Algebra у звичайній
(а не машинній) формі. Наприклад, після введення виразу 2
SYMBOL 42 \f «Symbol» (6+5)/4^3 воно буде занесено у вікно Algebra у
такому вигляді:

Спрощення виразів

Для спрощення виразів використовується команда Simplify. Перед
виконанням вказаної дії ця команда запитує номер виразу, що підлягає
спрощенню. За умовчанням спрощується вираз, виділений оберненим
кольором. Результат спрощення розташовується в окремому рядку із своїм
номером, а в рядку стану вказується Simp(1) (в дужках стоїть номер
виразу, що спрощується). В залежності від установлених параметрів
результат відображається точно або наближено. Приклад спрощення виразу
1:

Виділення виразів

Один із введених виразів у вікні Algebra виділяється оберненим кольором.
Всі операції за умовчанням виконуються саме з цим виділеним виразом
(якщо тільки явно не вказаний номер іншого виразу). Для виділення
якогось іншого виразу можна використовувати команду Jump (плигнути) і
повідомити їй номер потрібного виразу. Крім того, можна виділити вираз,
використовуючи клавіші управління курсором:

SYMBOL 175 \f «Symbol» або Ctrl-E виділення наступного виразу

SYMBOL 173 \f «Symbol» або Ctrl-X виділення попереднього виразу

PgUp або Ctrl-R виділення виразу на пів-екрана вверх

PgDn або Ctrl-C виділення виразу на пів-екрана вниз

Home виділення першого виразу

End виділення останнього виразу

Можна також виділяти окремі частини виділеного виразу, використовуючи
спочатку клавіші SYMBOL 174 \f «Symbol» та SYMBOL 172 \f «Symbol» , а
потім інші клавіші управління курсором. Спробуйте зробити це самостійно!
Зауважимо, що при виконанні команд, що застосовуються до виразів, дія
цих команд поширюється лише на виділені частини виразів!

Введення функцій

DERIVE має багато вбудованих математичних функцій (див. відповідний
розділ). Ви можете також визначити власну функцію (команда Declare
Function).

Функція вводиться набиранням малими або великими літерами її імені та
параметрів, що стоять у круглих дужках та відокремлюються один від
одного комами. Наприклад: AVERAGE(3,7,5) (середнє арифметичне чисел, що
вказані як параметри функції). Спрощення цього виразу дасть число 5.

Зауважимо, що при перенесенні виразу у вікно Algebra функції завжди
записуються великими літерами.

Побудова виразів

Побудова виразів здійснюється за допомогою команди Build з виразів (або
виділених частин виразів), що знаходяться у вікні Algebra.

При виконанні команда Build запитує номери виразів, із яких будується
складний вираз, і пропонує перелік операторів, якими зв’язуються окремі
частини. Ці оператори можуть бути вибрані з підменю:

BUILD: Operator: + — * / ^ . ` = Minus Resip Ln Exp Tan Sin Cos Atan ! %
Done

Переміщення виразів

Команда moVe змінює порядок розташування виразів у вікні Algebra.
Зауважимо, що номери виразів при цьому не змінюються!

При виконанні вказаної команди на екрані з’являється наступне підменю:

MOVE: Before: 5 Start: 5 End: 5

Використовуючи клавішу Tab для переміщення між областями, можна
поставити перед вибраним виразом блок виразів із заданими номерами
початкового та кінцевого виразів. Наприклад, щоб примістити спочатку
вирази з номерами від 6 до 9, необхідно задати параметри, як вказано
нижче:

MOVE: Before: 1 Start: 6 End: 9

Видалення виразів

Команда Remove видаляє блок виразів, вказаний початковим та кінцевим
виразами. Нагадаємо, що всі вирази можуть бути видалені командою
Transfer Clear.

Контроль точності обчислень

Точність обчислень встановлюється командою Options Precision, при
виконанні якої на екран виводиться підменю:

PRECISION: Mode: Approximate Exact Mixed Digits: 6

У режимі точних обчислень (Exact Mode) DERIVE оперує з цілими числами та
їх відношеннями (раціональна арифметика) і виділяє для результату
стільки пам’яті, скільки знадобиться. Наприклад, при обчисленні
(спрощенні) виразу

DERIVE дає такий результат:

.

У режимі змішаних обчислень (MixedMode) ірраціональні числа наближаються
дробами, але раціональні операції виконуються точно.

У режимі наближених обчислень (ApproximateMode) результат подається у
вигляді десяткового дробу з кількістю значущих цифр після десяткової
крапки, що задається у полі Digits розглядуваної команди Options
Precision.

Контроль формату виведення чисел

Формат виведення чисел визначається командою OptionsNotation, при
виконанні якої на екрані з’являється підменю:

NOTATION: Style: Decimal Mixed Rational Scientific Digits: 6

Результати вибору опцій вказаної команди несуттєво відрізняються від
результатів роботи попередньої команди. Спробуйте розібратися з цим
питанням самостійно.

Наближене обчислення ірраціональних чисел

Звичайно проводять всі обчислення в точному режимі (Exact Mode). Якщо ви
потім бажаєте одержати наближений розв’язок, то краще не змінювати режим
обчислень командою OptionsPrecision, а скористатись командою approX
головного меню.

Контроль системи числення

Іноді виникає необхідність перетворення чисел з однієї системи числення
в іншу (двійкову, вісімкову, десяткову і т.п.). Це легко здійснити,
використовуючи команду OptionsRadix. При виконанні цієї команди
з’являється підменю:

RADIX: Input: 10 Output: 10

Використовуючи клавішу Tab для переходу між областями, можна задати
основу (Radix) системи числення вхідних (Input) та вихідних (Output)
чисел. Величину основи можна змінювати в межах від 2 до 36. Для основ
більших 10 літера A використовується для представлення числа 10, літера
B SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» для представлення числа 11 і т.д. до
літери Z SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» для представлення числа 35. При
введенні чисел, що використовують основу числення більшу 10,
вищевказаним літерам повинен передувати нуль. Наприклад, десяткове число
14 за основою 16 має вводитись у вигляді 0E.

Алгебра в системі DERIVE

Цей розділ присвячений тому, як вводити, спрощувати та розв’язувати
алгебраїчні вирази. Для демонстрації вказаних можливостей системи DERIVE
завантажте файл ALGEBRA.MTH, використовуючи команду Transfer Demo (або
Transfer Load).

Введення змінних

Для позначення змінних звичайно використовуються літери латинського
алфавіту, які вводяться в будь-якому регістрі (великі або малі). Після
введення змінні завжди відображаються у вікні Algebra малими літерами.
Можливе також використання деяких літер грецького алфавіту, які
вводяться при натиснутій клавіші Alt натисканням клавіші з відповідною
латинською літерою. Ця відповідність приводиться у наступній таблиці:

SYMBOL 97 \f «Symbol» Alt+A SYMBOL 109 \f «Symbol» Alt+M

SYMBOL 98 \f «Symbol» Alt+B SYMBOL 112 \f «Symbol» Alt+P

SYMBOL 71 \f «Symbol» Alt+G SYMBOL 115 \f «Symbol» Alt+S

SYMBOL 100 \f «Symbol» Alt+D SYMBOL 116 \f «Symbol» Alt+T

SYMBOL 101 \f «Symbol» Alt+N SYMBOL 70 \f «Symbol» Alt+F

SYMBOL 113 \f «Symbol» Alt+H SYMBOL 87 \f «Symbol» Alt+O

Зауважимо, що при завантаженому драйвері кирилиці на моніторі замість
грецьких літер будуть відображатися інші символи (зокрема, літери
українського алфавіту)!

Використовуючи команду OptionsInput, можна вибрати режим введення
змінних. У режимі введення символів (characterinputmode) кожна змінна
позначається однією літерою, у режимі введення слів (word input mode)
ім’я змінної може бути будь-якої довжини.

У будь-якому режимі введення вирази, що містяться у подвійних лапках
(«), розглядаються як коментарі.

Імена резервованих в DERIVE функцій та констант (ABS, SQRT, PI і т.п.)
та імена функцій і констант, що визначені користувачем, не можна
використовувати як імена змінних!

Спрощення виразів

Для спрощення алгебраїчних виразів застосовується команда Simplify
головного меню. Перетворення, що використовуються цією командою,
включають:

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h обчислення чисельних підвиразів: 2 3 x
SYMBOL 174 \f «Symbol» 6 x

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h приведення подібних членів у добутку:
x2 y x SYMBOL 174 \f «Symbol» x3 y

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h приведення подібних членів у сумі: 3 x
+ 7 + x SYMBOL 174 \f «Symbol» 4 x + 7

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h піднесення до цілого степеня добутку:
(x y2)3 SYMBOL 174 \f «Symbol» x3 y6

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h скорочення поліномів у чисельнику та
знаменнику на найбільший загальний дільник:

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h розкладання добутків і цілих степеней
поліномів з метою виключення змінних або пониження їх степені:

x2 SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» (x + (y + 1)50)(x SYMBOL 150 \f «Arial
Cyr» (y + 1)50) SYMBOL 174 \f «Symbol» (y + 1)100

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h приведення до спільного знаменника з
метою виключення змінних або пониження їх степені:

Нижче приводяться класи математичних виразів, які DERIVE може
спрощувати:

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h поліноми від однієї та декількох
змінних;

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h раціональні вирази, що використовують
поліноми та ділення;

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h раціональні вирази, що використовують
дробові степені змінних;

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h алгебраїчні вирази, що використовують
дробові степені раціональних виразів;

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h тригонометричні поліноми, що
використовують поліноми разом з функціями SIN та COS.

Як і раніше, виділяючи частину виразу, можна спростити тільки її. Якщо
спрощення триває багато часу, його можна перервати натисканням клавіші
Esc. Результат спрощення (якщо він не задовольняє вас) можна видалити,
використовуючи команду Remove головного меню.

Упорядкування змінних

Упорядкування змінних виконується командою ManageOrdering. Спочатку
DERIVE пропонує список трьох змінних у такому порядку: x, y, z. Ви
можете змінити змінні та їх порядок.

Розкладання виразів

Розкладання виразів або їх частин за однією чи декількома змінним можна
здійснити за допомогою команди Expand головного меню. Наприклад, якщо
виділено весь вираз

2 x (x SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 3)2,

то вказана команда перетворює його до вигляду

2 x3 SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 12 x2 + 18 x ,

якщо ж виділено підвираз (x SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 3)2, то
результат буде такий:

2 x (x2 SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 6 x + 9) .

Вираз, що містить більше однієї змінної, може бути розкладено за деякими
з них або за всіма одразу. Команда Expand виводить на екран список
змінних і пропонує визначити змінні, за якими буде виконуватись
розкладання. Як приклад приведемо розкладання виразу

(x + 2 y + 1)3 .

Розкладання за x:

x3 + 3 x2 (2 y + 1) + 3 x (2 y + 1)2 + (2 y + 1)3 .

Розкладання за y:

8 y3 + 12 y2 (x + 1) + 6 y (x + 1)2 + (x + 1)3 .

Розкладання спочатку за x, а потім за y:

x3 + 6 x2 y + 3 x2 + 12 x y2 + 12 x y + 3 x + 8 y3 + 12 y2 + 6 y + 1 .

Вибір комплексних віток

) використовують клавіші Alt+I або #i. На моніторі цей символ
відображається як SYMBOL 238 \f «Times New Roman CE» .

DERIVE спрощує комплексні вирази в алгебраїчній формі. Наприклад, (1+
SYMBOL 238 \f «Times New Roman CE» )3 при спрощенні дає SYMBOL 150 \f
«Arial Cyr» 2+2 SYMBOL 238 \f «Times New Roman CE» .

На комплексній площині точка визначається віддаллю r від початку
координат (magnitude) і кутом SYMBOL 102 \f «Symbol» між віссю OX та
прямою, що проходить через початок координат і згадану точку (phase). За
визначенням має місце: SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 180o SYMBOL 163 \f
«Symbol» SYMBOL 102 \f «Symbol» <180o. Якщо z SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" точка комплексної площини і n SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" ціле, то z1/n SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" може бути будь-якою з n різних точок, які називаються вітками і рівномірно розташовані на колі радіуса r=|z|1/n. Головною віткою (principal branch) виразу z1/n є та точка, фазовий кут якої дорівнює просто SYMBOL 102 \f "Symbol" SYMBOL 47 \f "Symbol" n. Для вибору віток можна скористатись командою Manage Branch, при виконанні якої на екран виводиться підменю: BRANCH: Principal Real Any Ви можете вибрати головну, дійсну або будь-яку вітки. Розкладання виразів на множники Для розкладання виділеного виразу або його частини на множники (факторизації) за деякими або всіма змінними використовується команда Factor головного меню. Якщо вираз є числом, то вказана команда розкладає його на прості співмножники. Наприклад, число 1234567890 приводиться до вигляду 2 33 5 3607 3803 При виконанні команди Factor на екран виводиться підменю: FACTOR: Amount: Trivial Squarefree Rational raDicals Complex Тривіальна (Trivial) факторизація приводить вираз до спільного знаменника. Наприклад, факторизація виразу дає . За допомогою тривіальної факторизації можна також винести за дужки числа та найменші степені змінних. Вільна від квадратів (Squarefree) факторизація виконує тривіальну факторизацію та розкладує степені сум або добутків на різні степені сум. Наприклад, вираз x4 + 2 x3 SYMBOL 150 \f "Arial Cyr" 3 x2 SYMBOL 150 \f "Arial Cyr" 8 x SYMBOL 150 \f "Arial Cyr" 4 перетворюється до вигляду (x + 1)2 (x2 SYMBOL 150 \f "Arial Cyr" 4) . Раціональна (Rational) факторизація виконує попередній вид факторизації та факторизує добутки або суми без введення нових дробових степеней або комплексних чисел. Наприклад, попередній вираз факторизується при цьому таким чином: (x SYMBOL 150 \f "Arial Cyr" 2) (x + 1)2 (x + 2) . Факторизація в радикалах (raDical) має додаткову можливість введення дробових степеней чисел. Наприклад, вираз x2 SYMBOL 150 \f "Arial Cyr" 2 розкладається на співмножники . Комплексна (Complex) факторизація допускає розкладання, що містить комплексні числа. Наприклад, вираз x2 + 2 розкладається на співмножники SYMBOL 238 \f "Times New Roman CE" ) . Вирази, які містять більше однієї змінної, факторизуються за деякими або всіма змінними. Команда Factor видає список, звідки необхідно вибрати змінні, за якими буде виконуватись факторизація. Підстановка величин Підстановка (заміна) змінних у виразі або його частині здійснюється командою ManageSubstitute. При виконанні цієї команди DERIVE пропонує послідовно всі змінні, які можуть бути замінені. Якщо ви не хочете заміняти якусь змінну, натисніть клавішу Enter. Для заміни набирайте нове значення (вираз) поверх змінної, що вказана системою DERIVE. При виконанні вказаної команди ви також можете використовувати клавіші F3 та F4 для підстановки виділених (під)виразів замість змінної. Введення нескінченних величин Нескінченність в системі DERIVE вводиться набиранням на клавіатурі inf. У вікні Algebra нескінченність виглядає звичайним чином: SYMBOL 165 \f "Symbol" . Описання областей змінювання змінних Для описання областей змінювання змінних використовується команда DeclareVariable. При виконанні цієї команди DERIVE запрошує ввести спочатку ім'я змінної DECLARE variable: Після введення імені на екрані з'являється підменю: DECLARE: Domain: Positive Nonnegative Real Complex Interval Наведене меню не потребує коментарів. Вкажемо лише повідомлення системи, що з'являється при виборі опції Interval: SYMBOL 45 \f "Symbol" SYMBOL 165 \f "Symbol" (<) SYMBOL 163 \f "Symbol" variable (<) SYMBOL 163 \f "Symbol" SYMBOL 165 \f "Symbol" Використовуючи клавішу Tab (Space), можна задати строгі або нестрогі обмеження із скінченними або нескінченними границями. Описання констант Для утворення констант, що визначаються користувачем, застосовується команда Declare Constant, при виконанні якої з'являється повідомлення DECLARE CONSTANT name: Після введення імені константи вам буде запропоновано ввести її значення. При цьому можна використовувати операції, які доступні при виконанні команди Author (зокрема, можна використовувати клавіші F3 та F4 для "перенесення" існуючих виразів). Приклад: AREA_CIRCLE := SYMBOL 112 \f "Symbol" r2 . Система DERIVE містить два файли перетворень систем одиниць: ENGLISH.MTH, METRIC.MTH, та файл фізичних констант: PHYSICAL.MTH. Ці файли можна використовувати при описанні констант. Описання функцій Для описання функції користувача виконайте команду Declare Function. Відміна від описання константи полягає в тому, що при завданні імені функції звичайним чином перераховуються змінні, від яких вона залежить. . Розв'язування рівнянь та нерівностей Для розв'язування рівнянь або нерівностей використовується команда soLve головного меню. Рівності та нерівності вводяться в звичайній формі командою Author. Знак SYMBOL 163 \f "Symbol" вводиться як <=, знак SYMBOL 179 \f "Symbol" SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" як >=. При цьому у
вікні Algebra вони відображаються у природній формі.

Можна також розв’язувати рівняння та нерівності, використовуючи
вбудовану функцію SOLVE(u,x). Наприклад, якщо ввести за допомогою
команди Author вираз

SOLVE( SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 2x+3y SYMBOL 163 \f «Symbol» 7,x)

і потім спростити його за допомогою команди Simplify, то вийде

.

Якщо DERIVE не може знайти розв’язок, він видає сигнал помилки і
виводить повідомлення:

No solutions found

Якщо рівняння задовольняється при всіх значеннях деякої змінної, то як
розв’язок DERIVE видає форму @i, де i SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» ціле,
починаючи від 1 для першої змінної, 2 SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» для
другої і т. д.

Використовуючи команду soLve, можна також розв’язувати системи рівнянь.
Для цього треба спочатку записати систему рівнянь у вигляді векторного
рівняння, а потім розв’язати його. Наприклад, розв’язуючи векторне
рівняння

[2 a x + 3 y = 7, x SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 5 y = 0]

відносно x та y, одержимо

.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь можуть також розв’язуватись за
допомогою вбудованого оператора ROW_REDUCE(A,B), який буде описаний
далі.

Побудова графіків в системі DERIVE

Система DERIVE спроможна будувати графіки функцій однієї та двох змінних
і функцій, що задані параметрично. Для демонстрації вказаних можливостей
завантажте файли PLOT2D.MTH, PLOT3D.MTH, PLOTPARA.MTH, використовуючи
команду Transfer Demo (або Transfer Load).

Режими екрана та кольори

Для вибору режиму екрана використовується команда Options Display, при
виконанні якої з’являється підменю:

DISPLAY: Mode: Text Graphics Resolution: Medium (High)

Adapter: MDA (CGA) EGA MCGA VGA Hercules AT&T T3100 PCjr

Використовуйте клавішу Tab для переходу між областями Mode (режим),
Resolution (розрізнююча здатність), Adapter (адаптер) і клавішу Space
для вибору відповідної опції.

Якщо на комп’ютері встановлений Hercules, для підтримки графіки перед
запуском системи DERIVE завантажте драйвер HERCULES.COM.

У текстовому режимі також можлива побудова графіків, але їх якість,
зрозуміло, залишає бажати кращого.

Якщо ви встановили графічний режим екрана, то перемикання із графічного
в текстовий режим і навпаки можна здійснити натисканням клавіші F5.

При виборі у вказаному вище меню опцій, які не відповідають вашому
обладнанню, наслідки важко передбачити.

Для змінювання кольорів робочої області використовується команда
OptionsColorWork, для змінювання кольорів області меню SYMBOL 151 \f
«Arial Cyr» команда Options Color Menu.

Побудова графіків виразів від однієї змінної

Існує два способи побудови графіків виразів, які виділені у вікні
Algebra:

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h За допомогою команди Plot головного
меню відкрити вікно Plot (воно перекриє вікно Algebra) і потім виконати
команду Plot із наступного графічного підменю:

COMMAND: Algebra Center Delete Help Move Options Plot Quit Zoom

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h За допомогою команди Window Split
розщепити вікно Algebra на два суміжних алгебраїчних вікна, за допомогою
команди Window Designate змінити одне з них на графічне, а потім
виконати команду Plot (див. рис. 1).

У будь-якому випадку в правому нижньому куті повідомлення Algebra
зміниться на повідомлення 2D-plot (2-вимірна графіка). В нижньому рядку
також вказуються координати графічного курсора SYMBOL 151 \f «Arial
Cyr» хреста (Cross) і масштаб (Scale) графіка.

За допомогою команди Center система координат разом з графіком
зсуваються так, що хрест приміщується в середину вікна 2D-plot.

Графічний курсор SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» хрест можна перемістити в
будь-яку точку вікна 2D-plot за допомогою команди Move або
використовуючи клавіші управління курсором: Up, Down, Left, Right, PgUp,
PgDn, Ctrl+Left, Ctrl+Right. Ці операції особливо корисні, якщо ви
хочете узнати по графіку координати точок, через які він проходить.

Команди Ticks і Scale задають кількість позначок (в рядках і колонках) в
системі координат і масштаб в цій системі.

Команда Zoom дозволяє змінювати масштаб графіка (збільшувати або
зменшувати його) в …0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10… разів.

Аналогічно, натисканням клавіші F9 можна збільшити графік, натисканням
клавіші F10 SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» зменшити його.

При побудові графіків декількох виразів кожне з них запам’ятовується в
списку і при виведенні наступного графіка виводяться також і всі
попередні. Ви можете контролювати вказаний список за допомогою команди
Delete, при виконанні якої з’являється підменю:

DELETE: First Last Butlast All

За допомогою вказаних опцій із списку виразів, що виводяться на графік,
можна видалити перший, останній, всі крім останнього, всі вирази.

Команда Window дублює таку ж команду головного меню і крім вказаних
раніше опцій розщеплення і призначення вікон містить опції відкриття,
закриття вікон і опції переходу із вікна у вікно.

Команда Help графічного підменю дублює таку ж команду головного меню.

Щоб повернутися до головного меню (вікно Algebra), треба виконати
команду Algebra.

Побудова графіків у полярній системі координат

Для вибору полярної системи координат використовується команда
OptionsType вікна 2D-plot. У відповідь на запит ви повинні ввести
мінімальне та максимальне значення незалежної змінної (кута).

Початкове установлення цих величин: SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 3.1416,
3.1416. Зауважимо, що в режимі побудови графіків в полярній системі
координат положення графічного курсора SYMBOL 151 \f «Arial Cyr»
хреста визначається через віддаль до центра SYMBOL 151 \f «Arial Cyr»
r і полярний кут SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» SYMBOL 102 \f «Symbol»
(див. рис. 2). Всі можливості маніпулювання графіками в режимі, що
розглядається, ті ж самі, що і для випадку прямокутної системи
координат.

Побудова графіків виразів, заданих в параметричній формі

Спочатку визначається 2-вимірний вектор, компоненти якого суть функції
одного параметра, наприклад,

[COS t, SIN(2t)]

Потім командою Plot головного меню відкривається графічне вікно
2D-plot. Нарешті, задаються мінімальне та максимальне значення параметра
при виконанні команди Plot графічного вікна.

Побудова графіків виразів від двох змінних

Якщо виконати команду Plot головного меню в той час, коли у вікні
Algebra виділено вираз, який залежить від двох змінних, то система
DERIVE перейде до режиму 3-вимірної графіки (3D-plot) (див. рис. 3).

Пояснимо коротко команди підменю 3-вимірної графіки, які відмінні від
команд підменю 2-вимірної графіки.

Команда Options Axes контролює виведення на екран осей 3-вимірної
системи координат.

Команда Hide контролює виведення на екран «прихованих» ліній поверхні.

Команда Grids використовується для завдання числа вузлів гратки, в яких
обчислюються значення функції.

Команда Center дозволяє встановлювати у вікні 3D-plot координати центру
паралелепіпеда, в якому будується 3-вимірний графік.

Команда Lenght встановлює довжини сторін вищезгаданого паралелепіпеда.

Нарешті, команди Eye і Focal дозволяють змінювати точку, з якої
користувач бачить 3-вимірний графік функції.

Функції та константи в системі DERIVE

Система містить багато різноманітних вбудованих функцій. Для короткого
ознайомлення з ними завантажте файли FUNCTION.MTH і TRIG.MTH,
використовуючи команду TransferDemo (або Transfer Load).

Експоненціальні функції

Число e (2.171828…) в системі DERIVE може бути введено як #e або
натисканням клавіш Alt+E. У вікні Algebra воно відображається у вигляді
e.

EXP(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» експонента z. У вікні Algebra
відображається звичайним чином: ez.

Для контролю перетворень

ez+w SYMBOL 171 \f «Symbol» ez ew та ekz SYMBOL 171 \f «Symbol»
(ez)k

використовується команда Manage Exponential. Для перетворень вправо
використовується опція Expand (розкладати), для перетворень вліво
SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» опція Collect (збирати).

SQRT(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» корінь квадратний із z. На екрані
відображається у вигляді SYMBOL 214 \f «Symbol» і може бути введений
натисканням клавіш Alt+Q.

Логарифмічні функції

LN(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» натуральний логарифм z. Якщо z SYMBOL
151 \f «Arial Cyr» комплексне число, то уявна частина LN(z) змінюється
від SYMBOL 45 \f «Symbol» SYMBOL 112 \f «Symbol» до SYMBOL 112 \f
«Symbol» .

LOG(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» головна вітка натурального логарифма
z.

LOG(z,w) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» логарифм z за основою w.

Для контролю перетворень

LN(xz) SYMBOL 171 \f «Symbol» LN(x) + LN(z) та LN(xk) SYMBOL 171
\f «Symbol» k LN(x)

використовується команда Manage Logarithm з тими ж зауваженнями, що і
для експоненти.

Тригонометричні функції

Всі тригонометричні функції використовують вимірювання кутів у радіанах.
Для введення числа SYMBOL 112 \f «Symbol» (3.14159…)
використовуються клавіші Alt+P. На екрані сполучення DEG виводиться як o
(градус). Множення на DEG переводить градуси в радіани, ділення SYMBOL
151 \f «Arial Cyr» радіани в градуси.

Наприклад, SIN(30o) спрощується до 1 SYMBOL 47 \f «Symbol» 2, ATAN(1)
SYMBOL 47 \f «Symbol» DEG SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» до 45o.

SIN(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» синус z.

COS(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» косинус z.

TAN(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» тангенс z.

COT(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» котангенс z.

SEC(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» секанс z.

CSC(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» косеканс z.

Для контролю перетворень тригонометричних функцій використовується
команда Manage Trigonometry з тими ж зауваженнями, що і для раніше
розглянутих функцій.

Обернені тригонометричні функції

Обернені тригонометричні функції позначаються очевидним чином і тому ми
просто перелічимо їх:

ASIN(z), ACOS(z), ATAN(z), ACOT(z), ASEC(z), ACSC(z).

Додатково розглядаються функції ATAN(y,x) і ACOT(x,y). Кожна з них
визначає кут між віссю OX і напрямком на точку (x,y).

Гіперболічні функції

SINH(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» синус гіперболічний z.

COSH(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» косинус гіперболічний z.

TANH(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» тангенс гіперболічний z.

COTH(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» котангенс гіперболічний z.

SECH(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» секанс гіперболічний z.

CSCH(z) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» косеканс гіперболічний z.

Обернені гіперболічні функції

Обернені гіперболічні функції позначаються очевидним чином і тому ми
просто перелічимо їх:

ASINH(z), ACOSH(z), ATANH(z), ACOTH(z), ASECH(z), ACSCH(z).

Кусково-неперервні функції

ABS(x) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» абсолютна величина x. На екрані
відображається у вигляді |x|.

SIGN(x) SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» знак x; для x > 0 SIGN(x) = 1, для
x < 0 SIGN(x) = SYMBOL 150 \f "Arial Cyr" 1. MAX(x1,x2,...,xn) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" максимальна величина аргументів. MIN(x1,x2,...,xn) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" мінімальна величина аргументів. STEP(x) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" функція, що дорівнює 1 для x > 0 і
0 для x < 0. CHI(a,b,x) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" індикатор відрізка [a,b] SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" функція, що дорівнює 1 на вказаному відрізку і 0 зовні його. Функції комплексної змінної ) в системі DERIVE може бути введено як #i або натисканням клавіш Alt+I. У вікні Algebra воно відображається у вигляді SYMBOL 238 \f "Times New Roman CE" . ABS(z) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" абсолютна величина z. Якщо z = x + SYMBOL 238 \f "Times New Roman CE" y, то . SIGN(z) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" для z SYMBOL 185 \f "Symbol" 0 SIGN(z) = z SYMBOL 47 \f "Symbol" |z|. RE(z) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" дійсна частина числа z. IM(z) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" уявна частина числа z. CONJ(z) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" комплексно-зпряжене до z число. Якщо z=x+ SYMBOL 238 \f "Times New Roman CE" y, то CONJ(z) = x SYMBOL 45 \f "Symbol" SYMBOL 238 \f "Times New Roman CE" y. PHASE(z) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" фазовий кут точки z, який вимірюється в радіанах, із значеннями від SYMBOL 45 \f "Symbol" SYMBOL 112 \f "Symbol" до SYMBOL 112 \f "Symbol" . Ймовірнісні функції z! SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" факторіал числа z. Для додатних цілих n: n!=1 SYMBOL 180 \f "Symbol" 2 SYMBOL 180 \f "Symbol" 3 SYMBOL 180 \f "Symbol" ... SYMBOL 180 \f "Symbol" n. Факторіал визначений також для дійсних і комплексних змінних. Наприклад, (3 SYMBOL 47 \f "Symbol" 2)! спрощується до вигляду . GAMMA(z) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" гамма-функція Ейлера від z. На екрані ця функція відображається як G(z) і може бути введена клавішами ALT+G. Зауважимо, що G(z) = (z SYMBOL 45 \f "Symbol" 1)! PERM(z,w) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" число переставлень із z елементів по w: . COMB(z,w) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" число сполучень із z елементів по w: . Статистичні функції AVERAGE(x1,x2,...,xn) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" середнє арифметичне аргументів: . RMS(x1,x2,...,xn) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" середнє квадратичне аргументів: . VAR(x1,x2,...,xn) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" дисперсія аргументів: . де a SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" середнє арифметичне аргументів. STDEV(x1,x2,...,xn) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" стандартне відхилення аргументів: Мають місце співвідношення: VAR(z) = STDEV2(z), VAR(z) = RMS(z2) SYMBOL 45 \f "Symbol" AVERAGE2(z). FIT(m) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" повертає криву (поверхню) регресії, побудовану методом найменших квадратів за даними в матриці m. Наприклад, x y ax+by+c 2.75 SYMBOL 45 \f "Symbol" 2.3 2.4 FIT SYMBOL 45 \f "Symbol" 3.5 4.5 4.2 5 3.5 5.8 SYMBOL 45 \f "Symbol" 4 SYMBOL 45 \f "Symbol" 5 1.3 після використання оператора approX дає рівняння площини 0.153644 x + 0.357749 y + 3.35279 . Функції помилок ERF(z) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" функція помилок, яка є інтегралом від стандартної нормальної щільності: ERF(z,w) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" узагальнена функція помилок, яка зв'язана з попередньою функцією формулою ERF(z,w) = ERF(w) SYMBOL 45 \f "Symbol" ERF(z) . ERFC(z) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" доповнююча функція помилок, що виражається формулою ERFC(z) = 1 SYMBOL 45 \f "Symbol" ERF(z) . NORMAL(z,m,s) SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" функція нормального розподілу з математичним сподіванням m та середньо-квадратичним відхиленням s. Диференціальне та інтегральне числення в системі DERIVE Система DERIVE спроможна обчислювати в аналітичній формі та наближено: границі, похідні, розклади Тейлора, інтеграли, суми, добутки. Для демонстрації вказаних можливостей завантажте файл CALCULUS.MTH, використовуючи команду Transfer Demo (або Transfer Load). Границі Для знаходження границі виразу, введеного раніше, виконайте команду Calculus Limit і дайте відповідь, по якій змінній обчислюється границя і куди прямує змінна. Другий спосіб обчислення границі виразу u при x, що прямує до a, полягає в наступному. Виконайте команду Author і введіть вираз LIM(u,x,a,1) або LIM(u,x,a, SYMBOL 150 \f "Arial Cyr" 1). У першому випадку x прямує до a справа, в другому SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" зліва. Можна також вводити inf, якщо x прямує до + SYMBOL 165 \f "Symbol" , і SYMBOL 45 \f "Symbol" inf, якщо x прямує до SYMBOL 45 \f "Symbol" SYMBOL 165 \f "Symbol" . Наприклад, після введення виразу LIM(a SYMBOL 42 \f "Symbol" x SYMBOL 47 \f "Symbol" (x+1),x,inf) у вікні Algebra воно запишеться у вигляді і після виконання команди Simplify дасть константу a. Диференціювання Для знаходження похідної виразу, введеного раніше, виконайте команду CalculusDiffrentiate і дайте відповідь, який вираз диференціюється, по якій змінній обчислюється похідна і якого вона порядку. Другий спосіб обчислення похідної порядку n виразу u по змінній x полягає в наступному. Виконайте команду Author і введіть вираз DIF(u,x,n) (якщо обчислюється похідна першого порядку, то можна обмежитись виразом DIF(u,x)). Щоб знайти змішані частинні похідні, необхідно застосувати оператор DIF відповідним чином. Наприклад, використовуючи команду Author, введемо вираз DIF(DIF((ax + by)^3,x),y) . На екрані одержимо його у вигляді . Після виконання команди Simplify будемо мати остаточно 6 a b (a x + b y) . Розклад за формулою Тейлора Для знаходження розкладу виразу, введеного раніше, за формулою Тейлора виконайте команду Calculus Taylor і дайте відповідь, який вираз розкладається, по якій змінній виконується розкладання, в околі якої точки і до якого порядку включно. Другий спосіб знаходження потрібного розкладу полягає в наступному. Виконайте команду Author і введіть вираз TAYLOR(u,x,a,n). Після спрощення ви одержите потрібний результат. Наприклад, спрощення виразу TAYLOR(ex,x,0,5) дає . Інтегрування DERIVE може обчислювати як визначені, так и невизначені інтеграли (первісні)! Для знаходження інтеграла від виразу, введеного раніше, виконайте команду CalculusIntegrate і дайте відповідь, який вираз інтегрується, по якій змінній обчислюється інтеграл і в яких границях. Ви можете задавати скінченні та нескінченні границі (inf) інтегрування. Якщо на запит про границі інтегрування ви натиснете клавішу Enter, буде введений невизначений інтеграл. Після введення інтеграла він відображається у вікні Algebra у природній формі, наприклад, . Заданий інтеграл обчислюється командами Simplify або approX. Другий спосіб обчислення інтеграла полягає в наступному. Виконайте команду Author і введіть вираз INT(u,x) для невизначеного і INT(u,x,a,b) для визначеного інтегралів, де u SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" підінтегральний вираз, x SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" змінна інтегрування, a та b SYMBOL 151 \f "Arial Cyr" границі інтегрування. Для обчислення повторних інтегралів застосуйте послідовно оператор інтегрування до відповідних виразів, наприклад, INT(INT(xLN(y),y,x,2x),x,0,2). Зауважимо, що при обчисленні первісних DERIVE не додає до відповіді довільну константу C. При наближених обчисленнях визначених інтегралів використовується адаптивний метод Сімпсона. DERIVE контролює точність обчислень і при поганій точності видає повідомлення: Dubious accuracy (сумнівна точність) . Підсумовування Сума f(i) по i, що змінюється від m до n, записується у вигляді . Якщо n=m SYMBOL 150 \f "Arial Cyr" 1, то вказана сума дорівнює 0. Якщо n

Похожие записи