Використання алгебри матриць.

В економічний задачах алгебра матриць використовується як засіб
збереження інформації в табличній формі.

Приклад 1.

Сезонний продаж товарів трьох видів (?, ?, ?) здійснюють три магазини
(12 3). Обсяги реалізації цих товарів (в грош. од.) кожним магазином
представлено у вигляді матриць

,

де в рядках вказано суми, отримані кожним магазином за відповідний сезон
(зима, весна, літо, осінь), а в стовпчиках – суми, отримані за продаж
відповідного товару (?, ?, ?) . Потрібно: 1) перевірити, що суми
реалізації товарів першого і третього магазинів разом більші, ніж
другого; 2) записати у вигляді матриці сукупні суми реалізації товарів
трьома магазинами.

Розв’язування.

Знаходимо обсяг реалізації товарів кожного виду першим і третім
магазинами. Він дорівнює сумі А+С:

Порівнюючи елементи матриці А+С з відповідними елементами матриці В,
легко пересвідчитися, що у кожному сезоні перший і третій магазини разом
продали кожному виду товарів більше, ніж другий магазин. Щоб записати у
вигляді матриці дані про сукупний продаж магазинів, знайдемо матрицю
А+В+С:

Приклад 2.

Випуск готової продукції п’яти підприємств включає чотири види виробів
(?, ?, ?, ?). Для їх виробництва використовуються три різні типи
сировини (І, ІІ, ІІІ). Дані щоденної продуктивності підприємств з
кожного виробу (число виробів за дань) і витрат сировини на одиницю
виробу (кг/шт.), а також число днів роботи кожного підприємства і
вартість у гривнях 1 кг сировини кожного типу, наведено в таблиці.

Вироби Продуктивність підприємств шт. /день Витрати сировини, кг/шт.

1 2 3 4 5 І ІІ ІІІ

? 6 10 0 6 2 5 3 4

? 4 3 0 4 5 10 4 6

? 0 15 10 3 4 2 5 5

? 3 5 8 7 6 4 8 6

Час роботи підприємств (дн.) Ціна сировини (грн./кг)

100 200 140 150 170 30 20 50

Потрібно визначити:

а) сумарну продуктивність кожного підприємства по кожному з виробів за
весь виробничий період);

б) потреби кожного підприємства у різних типах сировини;

в) розміри кредитування підприємств для закупівлі сировини.

Розв’язування.

Розглянемо матрицю А, що характеризує продуктивність підприємств,
матрицю В – витрат сировини і С – матрицю цін, тоді

Продуктивність підприємств Вид виробу

1 2 3 4 5 1 2 3 4

Вид сировини

С= (30 20 50).

а) Кожний стовпчик матриці А відповідає денній продуктивності окремого
підприємства з кожного виду продукції. Щоб отримати річну продуктивність
j-го підприємства (j=1,2,3,4,5), потрібно помножити j-тий стовпець
матриці А на кількість робочих днів цього підприємства. Час роботи
кожного з підприємств запишемо у вигляді діагональної матриці

Тоді загальна продуктивність за виробничий період є добуток матриць А.Т:

=

підприємства

вироби

б) Витрати сировини кожного підприємства є добуток В.(АТ):

=

в) Вартість річного запасу сировини одержуємо як добуток матриці цін С
на матрицю витрат В(АТ):

=

(692000 3038000 1223600 157500 1587800).

Отже, величини кредитування j-го підприємства на закупівлю сировини
визначаються компонентами матриці D.

Економічні задачі, що зводяться до систем лінійних рівнянь.

Приклад 3.

Для випуску виробів трьох видів (?, ?, ?) підприємство використовує
сировину 3-х типів (S1, S2, S3). Норми витрат кожного з типів сировини
на один виріб і обсяг витрат сировини за один день задано таблицею:

Вид сировини Норми витрат сировини на один виріб, ум. од. Витрати
сировини за день, ум. од

? ? ?

S1 9 3 4 2700

S2 7 1 6 2700

S3 14 5 6 4200

Знайти щоденний обсяг випуску кожного виду виробів.

Розв’язування.

Припустимо, підприємство щодня виробляє х1 одиниць виробів виду ?, х2
одиниць – виду ? і х3 одиниць виробів виду ?. Тоді, відповідно з
витратами

Розв’Язавши цю систему, знайдено х1=100, х2=200, х3=300. Це означає, що
підприємство щоденно виробляє 100 виробів виду ?, 200 виробів виду ? і
300 виробів виду ?.

Приклад 4.

Два заводи виготовляють апарати для двох підприємство. Підприємствам
необхідно отримати 120 і 80 апаратів відповідно. Перший завод випустив
150 апаратів, а другий – 50. Витрати на перевезення апаратів із заводів
кожного підприємства такі:

Завод Витрати на перевезення, грош.од.

1 2

1 10 20

2 5 25

Мінімальні витрати на перевезення становлять 2850 грош.од. Знайти
оптимальний план перевезення апаратів.

Розв’язування.

Позначимо хij – кількість апаратів, що надходять з і-го заводу до j-го
підприємства. Тоді можемо скласти таку систему:

Розв’язавши систему, наприклад, методом Гаусса, знайдемо х11=100,
х12=50, х21=20, х22=30.

Похожие записи