Реферат на тему:

Відповідності, функції, відображення

1. Відповідності та композиції відповідностей

1. Визначити R(a), R-1(b), R(X), R-1(Y), де

R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,1)}, a=1, b=2, X={2, 3}, Y={2, 3};

R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,1)}, a=2, b=1, X={1, 3}, Y={1, 3};

R={(1,1), (1,3), (2,2), (3,2), (3,3)}, a=1, b=2, X={1, 3}, Y={1, 3};

R={(1,1), (1,3), (2,2), (3,2), (3,3)}, a=3, b=3, X={1, 2}, Y={1, 2};

R={(1,2), (1,3), (2,3), (3,1), (3,3)}, a=1, b=1, X={2, 3}, Y={2, 3};

R={(1,2), (1,3), (2,3), (3,1), (3,3)}, a=2, b=3, X={1, 3}, Y={1, 2};

R={(1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}, a=3, b=3, X={1, 2}, Y={1, 2};

R={(1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)}, a=3, b=2, X={1, 2}, Y={1, 3};

R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)}, a=2, b=2, X={1, 3}, Y={1, 3};

2. Побудувати композицію R(P відповідностей R і P, де R(A(B, P(B(C:

A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (z,1),
(z,2)}, P={(1,7), (2,5), (3,5), (3,6), (3,7)};

A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (x,3), (y,1),
(z,2)}, P={(1,6), (2,5), (2,6), (3,6), (3,7)};

A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (y,2),
(z,3)}, P={(1,5), (1,6), (1,7), (2,6), (2,7)};

A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,3), (y,1), (y,3),
(z,2)}, P={(1,7), (2,5), (2,6), (3,5), (3,7)};

A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (x,3), (z,2),
(z,3)}, P={(1,5), (1,6), (2,7), (3,6), (3,7)};

A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (y,2),
(y,3)}, P={(1,6), (1,7), (2,5), (3,6), (3,7)};

A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,3), (y,1), (z,1),
(z,3)}, P={(2,5), (2,6), (2,7), (3,5), (3,6)};

A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (z,2),
(z,3)}, P={(1,7), (2,5), (3,5), (3,7)};

A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (z,1)},
P={(1,5), (1,6), (2,5), (3,6), (3,7)};

3. Довести, що:

(R(P=R-1((R((P);

(R(P=P((R((P).

4. Нехай R(A(A. Довести, що R=iA тоді й тільки тоді, коли R(R1=R1(R=R1
при будь-якому R1(A(A.

5. Довести, що за довільних відповідностей R, P, Q:

R((P(Q)=(R(P)(Q;

(R(P)-1=P-1(R-1;

(R(P)(Q=R(Q(P(Q;

Q((R(P)=Q(R(Q(P;

(R(P)(Q(R(Q(P(Q;

Q((R(P)(Q(R(Q(P;

Для завдань (5)–(6) навести приклад R, P, Q, таких, що включення не
можна замінити рівністю.

2. Функції та відображення

6. Указати, чи має властивості ін’єктивності, сюр’єктивності та чи є
відображенням функція f:R(R, де R – множина дійсних чисел, а f(x) – це:

x;

x-1;

x2;

x2/3;

x3/4;

x(;

ex;

log x;

|x|;

sin x;

cos x;

tg x;

ctg x;

arcsin x;

arccos x;

arctg x;

arcctg x.

3.7. Довести, що:

об’єднання

перетин

двох функцій f1 і f2 з A в B є функцією тоді й тільки тоді, коли f1=f2.

7. Довести, що за будь-якої функції f і множин A і B, що є підмножинами
її області означення, справджується:

f(A(B)=f(A)(f(B);

f(A(B)(f(A)(f(B);

f(A)\f(B)(f(A\B);

f(A)(f(B)(f(A(B).

Для завдань (2)–(4) навести приклади f, A, B, таких, що включення не
можна замінити рівністю.

8. Довести, що f є 1-1-функцією тоді й тільки тоді, коли при будь-яких
підмножинах A і B області означення функції:

f(A(B)=f(A)(f(B);

f(A)\f(B)=f(A\B);

f(A)(f(B)=f(A(B).

9. Довести, що за будь-якої функції f і множин A і B, що є підмножинами
її області значень, справджується:

f-1(A(B)=f-1(A)(f-1(B);

f-1(A(B)=f-1(A)(f-1(B);

f-1(A)\f-1(B)=f-1(A\B);

f-1(A)(f-1(B)=f-1(A(B).

10. Довести, що при A((f, B((f справджується:

A(f-1(f(A));

B(f(f-1(B));

f(A)(B=f(A(f-1(B));

f(A)(B=( ( A(f-1(B)=(;

f(A)(B ( A(f-1(B);

3. Бієкції

11. Означити бієкцію між множинами:

An і A{1, 2, …, n};

AB і CD, де A бієктивно відображається на C, а B – на D;

A(B і B(A;

(A(B)(C і A((B(C);

(A(B)C і AC(BC;

(AB)C і AB(C;

AB(C і AB(AC, якщо B(C=(.

12. Нехай f:A(A – підстановка множини A. Довести, що f-1 – також
підстановка множини A.

3.13. Нехай f:A(B – бієкція. Довести, що:

f-1 – бієкція;

f-1(f=iB;

f(f-1=iA.

4. Характеристичні функції

14. Нехай U – непорожня множина. Для будь-якої її підмножини A означимо
функцію (U,A, що називається характеристичною функцією множини A:

Неважко переконатися, що підмножини множини U та їхні характеристичні
функції взаємно однозначно відповідають одне одному. Довести, що при
будь-якому x(U:

(U,U(x)=0;

(U,((x)=1;

(U,U\A(x)=1–(U,A(x);

(U,A(B(x)=(U,A(x)((U,B(x);

(U,A(B(x)=(U,A(x)+(U,B(x)–(U,A(x)((U,B(x);

(U,A\B(x)=1–(U,B(x)+(U,A(B(x);

(U,A(B(x)=min{(U,A(x), (U,B(x)};

(U,A(B(x)=max{(U,A(x), (U,B(x)};

(U,A(B(x)=min{1–(U,B(x)+(U,A(B(x), 1–(U,A(x)+(U,A(B(x)}.

Характеристичну функцію множини A можна означити інакше:

За такого означення довести, що при будь-якому x(U:

(U,U(x)=1;

(U,((x)=0;

(U,U\A(x)=1–(U,A(x);

(U,A(B(x)=(U,A(x)+(U,B(x)–(U,A(x)((U,B(x);

(U,A(B(x)=(U,A(x)((U,B(x);

(U,A\B(x)=(U,A(x)(1–(U,B(x));

(U,A(B(x)=max{(U,A(x), (U,B(x)};

(U,A(B(x)=min{(U,A(x), (U,B(x)};

(U,A(B(x)=max{(U,A(x)(1–(U,B(x)), (U,B(x)(1–(U,A(x))}.

Похожие записи