Реферат на тему:

Відношення порядку

Відношення R на множині M називається відношенням часткового
(нестрогого) порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне і
транзитивне, тобто

1. aRa для всіх a(M (рефлексивність),

2. Якщо aRb і bRa, то a = b (антисиметричність),

3. Якщо aRb і bRc, то aRc (транзитивність).

Множина M, на якій задано деякий частковий порядок, називається частково
впорядкованою множиною. Елементи a,b(M назвемо порівнюваними за
відношенням R, якщо виконується aRb або bRa.

Частково впорядкована множина M, в якій будь-які два елементи є
порівнюваними між собою, називається лінійно впорядкованою множиною або
ланцюгом. Відповідне відношення R, задане на лінійно впорядкованій
множині, називається лінійним (досконалим) порядком. Таким чином,
відношення R на множині M називається відношенням лінійного порядку,
якщо воно рефлексивне, антисиметричне, транзитивне і для будь-якої пари
елементів a,b(M виконується aRb або bRa.

Для позначення відношень порядку будемо використовувати знаки ( і (, які
повторюють звичайні математичні знаки ( і (. Тобто для відношення
порядку R замість aRb будемо записувати a ( b або b ( a і читати «a
менше або дорівнює b» або «b більше або дорівнює a» відповідно.
Очевидно, що ( є оберненим відношенням до відношення (.

За кожним відношенням часткового порядку ( на довільній множині M можна
побудувати інше відношення < на M, поклавши a < b тоді і лише тоді, коли a(b і a(b. Це відношення називається відношенням строгого порядку на множині M. Зрозуміло, що відношення строгого порядку антирефлексивне, транзитивне, а також задовольняє умові так званої сильної антисиметричності або асиметричності, тобто для жодної пари a,b(M не може одночасно виконуватись a ) є відношеннями відповідно
часткового і строгого порядку на множинах чисел N, Z і R. Більше того,
множини N, Z і R, а також будь-які їхні підмножини, є лінійно
впорядкованими множинами за відношеннями ( або (.

2. Частковим порядком є відношення рівності iM на будь-якій множині M.
Цей порядок іноді називають тривіальним.

3. Відношення нестрогого включення є відношенням часткового порядку, а
відношення — відношенням строгого порядку на множині ((A) всіх підмножин
(булеані) заданої множини A.

4. Задамо відношення ( і < на множині R кортежів дійсних чисел довжини n наступним чином: (a1,a2,...,an)((b1,b2,...,bn ), якщо a1(b1, a2(b2,..., an(bn; аналогічно (a1,a2,...,an)<(b1,b2,...,bn), якщо (a1,a2,...,an)((b1,b2,...,bn) і принаймні для однієї координати i=1,,...,n виконується ai

Похожие записи