Пошукова робота на тему:

Векторна функція скалярного аргументу. Похідна, її геометричний і
механічний зміст. Кривизна кривої.

План

Диференціал дуги

Кривизна плоскої кривої

Векторна функція скалярного аргументу

Кривизна плоскої кривої

Кривизна просторової кривої

Кручення просторової лінії

Формули Серре-Френе

1. Диференціал кривої

Поняття довжини кривої буде розглянуто в розділі інтегрального числення.
Криві, для яких можна установити поняття довжини, називають в
математичному аналізі спрямними.

.

            Для всякої спрямної кривої як просторової, так і плоскої,
наслідком її спрямності є така геометрична властивість: границя
відношення нескінченно малої дуги кривої до стягуючої її хорди дорівнює
одиниці за умови, що хорда стикується в точку.

 (рис. 7.4), то

                                           (7.4)

            Виходячи саме з цієї властивості, знайдемо вирази для
диференціала дуги як плоскої, так і просторової кривої.

,

, що

 (рис. 7.2).

 знаходиться за формулою

                                   (7.5)

:

.

 його виразом за формулою (7.5):

.

Отже,

.                                    (7.6)

Звідси

.                                 (7.7)

.

            Диференціал дуги

 .

 рівності

Маємо

.

Звідси

,

тому

.                                 (7.9)

                    Рис.7.4                  Рис.7.5

Приклади.   

1.      Знайти диференціал дуги циклоїди

.

.

.

.

,

.

, можна знайти аналогічно.

 визначається за формулою

.

            Формула диференціала дуги просторової кривої

.                              (7.10)

            Приклад.        Знайти диференціал дуги гвинтової лінії:

.

.

.

            Формулам (7.9) і (7.10) часто надають такого вигляду :

 (для просторової кривої);     (7.12)

 дотичної до кривої (рис.7.5).

2.Кривизна плоскої кривої

 поблизу початку координат більше викривлена, ніж в точках, які
знаходяться далі від початку координат. Коло в усіх своїх точках має
однакове викривлення. Різні криві також відрізняються одна від одної
своїм ступенем викривлення. Коло малого радіуса більше викривлено, ніж
коло великого радіуса.

Виникає запитання: що ж брати за міру кривизни кривої в її окремих
точках? Щоб відповісти на нього, припустимо, що до кривої в кожній точці
можна провести дотичну і що крива є спрямлюваною.

.

.

                                           Рис.7.6

 і позначається

.                                      (7.13)

            Виведемо формулу для обчислення кривизни. Нехай крива задана
в декартовій системі координат рівнянням

,

 має похідні до другого порядку включно.

. Тому формулу (7.13) можна

 записати ще так:

.                                              (7.14)

, то

.

            Звідси

.

            Тоді

.

, дістаємо формулу для кривини кривої:

.                                (7.15)

            З цієї формули легко дістати формулу для кривизни кривої,

. Справді,

,

.

 у формулу (7.15), маємо

.                                   (7.16)

 , то

.                               (7.17)

:

.                                             (7.18)

            Коло, яке з даною кривою має в даній точці спільну дотичну,
спільну кривизну і однаковий напрямок вгнутості, називається колом
кривизни, а його центр – центром кривизни кривої в даній точці. Радіус
кола кривизни

.

            Для всіх плоских кривих (за винятком кола) центри кривизни
різні в різних точках кривої. Геометричне місце центрів кривизни даної
кривої називається її еволютою, а сама крива по відношенню до еволюти
називається евольвентою.

7.5. Векторна функція скалярного аргументу

            Простішим способом задання просторової кривої є задання її
векторним рівнянням

,                                               (7.19)

; такі функції в математичному аналізі називають векторними функціями
скалярного аргументу.

 по осях координат. Рівняння просторової кривої (7.19) набуває вигляду

                              (7.20)

— орти координатних осей). Звідси від векторного рівняння кривої можна
перейти до її параметричного рівняння

.                               (7.21)

 рівнозначно заданню трьох скалярних функцій від того самого аргументу.

            По відношенню до векторної функції (7.19), яка задає дану
криву, сама крива називається годографом цієї векторної функції.

 (рис.7.5).

Радіуси – вектори цих точок:

.

, відповідним приросту її аргументу, і позначається

.                                   (7.22)

                                          Рис.7.7

                                  

:

.                  (7.23)

.

.

 можна записати у вигляді

,

де

,

.

, знаходимо для похідної вектора такий вираз:

.                         (7.24)

            Із означення похідної від векторної функції (7.23) можна
вивести, що правила диференціального числення відносно диференціювання
суми і добутку залишаються в силі як для сум векторних функцій, так і
для добутків будь-якого вигляду. Мають місце такі формули:

;                             (7.25)

;                      (7.26)

;                  (7.27)

.             (7.28)

.

.

            Остання рівність дозволяє записати:

,

.

Диференціюванням знаходимо

.

.

.

3. Кривизна просторової кривої

) до довжини відповідної дуги, коли остання прямує до нуля:

,                                    (7.29)

 формулою

.       (7.30)

.                     (7.31)

 — одиничний вектор головної нормалі.

:

.

, лежить в нормальній площині; його напрямок називають напрямком
бінормалі просторової кривої в даній точці.

.

              Рис.7.8                                   Рис.7.9

 визначають три площини, які проходять через дану точку просторової
кривої і складають границі супровідного тригранника (рис. 7.9).

 — її спрямною площиною.

4. Кручення просторової кривої.

Формули Серре-Френе

 — одиничного вектора бінормалі.

відповідної дуги кривої, коли довжина дуги прямує до нуля:

,

.

:

.

. Отже,

.

, будемо мати

                                             (7.33)

радіус кручення.

:

,

або

            Формули

                     (7.34)

називаються формулами Серре-Френе, це основні формули геометрії
просторових кривих.

.

            Перша із формул Серре-Френе дає

,                                    (7.35)

:

.

Але

,

,

тому

                                             
                                     (7.36)

   

                            
                                                                        
     (7.37)

), то формули (7.35) і (7.36) набувають вигляду:

                      (7.38)

. Щоб написати рівняння дотичної, головної нормалі, бінормалі та
будь-якої із площин супроводжуючого тригранника, достатньо лише в
канонічних рівняннях прямої

                                 (7.39)

і в рівнянні площини, яка проходить через дану точку

,                   (7.40)

 — для бінормалі та співдотичної площини.

, або, що те саме, рівнянням

.

.

            Отже,

.                                                (7.41)

.

            Оскільки

.

то

.                                  (7.42)

:

                        (7.43)

            Звідси

                                       (7.44)

 можна взяти векторний добуток цих двох векторів:

                                (7.45)

            Цим самим ми дістали можливість в будь-якій точці
просторової кривої визначити всі елементи його супровідного тригранника.

Похожие записи