Векторна алгебра і деякі її застосування.

Вектори.

Означення 1. Вектором називають величину, яка характеризується не тільки
своїм числовим значенням (довжиною), але й напрямком.

або а, b, c.

) перша літера вказує точку початку вектора, а друга – точку його
кінця. В економіці вектори часто позначають однією великою літерою.

.

Геометрично вектор зображують як напрямлений відрізок (дивись мал.1)

Мал.1

Зображені на цьому малюнку вектори мають довжину:

якщо одиниця масштабу: .

Нульовим вектором називають вектор, початок і кінець якого співпадають.

, його довжина дорівнює нулю, а напрям – довільний.

.

Колінеарними називають вектори, які розташовані на одній прямій або
паралельних прямих (дивись мал.2)

Мал.2

Усі зображені на малюнку 2 вектори – колінеарні.

Протилежними називають колінеарні протилежно спрямовані вектори
однакової довжини.

.

0.

Компланарними називають вектори, що лежать в одній площині. В
економічних дослідженнях n упорядкованих параметрів розглядають як
вектор n вимірного простору Еn.

Матриця-рядок та матриця-стовпець містять упорядковані елементи, тому їх
можна розглядати як вектори простору відповідного виміру.

є Е4

Елементи вектора-рядка та вектора-стовпця називають координатами
вектора. Смисл такої назви пояснимо нижче, після визначення проекцій
вектора на координатній осі.

Деякі економічні приклади.

В розділі 4 частини 5 наведені приклади застосування векторів до задач
мікроекономіки.

інших галузей до продукції цехів 1, 2, 3.

Зараз ознайомимось з іншими прикладами застосування векторів.

Продуктивна функція. При аналізі закономірностей виробництва
використовується продуктивна функція, яка, по суті, є співвідношенням
між використаними у виробництві ресурсами і випущеною продукцією.

Нехай у деякому виробничому процесі є n виробничих ресурсів. Кількість
і-го ресурсу, використованого за проміжок часу t, позначимо хі. Тоді
виробничі ресурси – це вектор Х = (х1, х2, … хn).

, тобто

Продуктивна функція задається аналітично або таблично.

Продуктивну функцію, розв’язану відносно Y, тобто вигляду

називають функцією випуска, а розв’язану відносно вектора Х, тобто
вигляду

називають функцією виробничих витрат.

) використовують правила дій з векторами.

Математичні моделі економічних задач

Навіть найпростіші лінійні статистичні економічні моделі описуються з
використанням векторів.

із m вимірного простору.

Таким чином, в динамічних моделях використовуються вектори n та m
вимірних просторів, координати яких залежать від часу t.

1.3. Координати векторів

Спочатку нагадаємо поняття числової осі та систем координат. Числовою
віссю називають пряму, на якій визначено:

напрям (();

початок відліку (точка 0);

відрізок, який приймають за одиницю масштабу.

Дві взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку
(точка 0) називають прямокутною декартовою системою координат на площині
(у двомірному просторі Е2).

Три взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку
(точка 0) називають прямокутною декартовою системою координат у просторі
( у тривимірному просторі Е3).

На Малюнку 3 зображені:

а) прямокутна декартова система координат на площині;

b) прямокутна декартова система координат у просторі.

a)
b)

Мал.3

.

Упорядкована пара чисел (х,у), що відповідає точці М площини х0у,
називається декартовими прямокутними координатами точки М, це позначають
М(х,у).

Упорядкована трійка чисел (х,у,z), що відповідає точці М простору 0zух,
називається координатами точки М декартової прямокутної системи
координат у просторі, це позначають М(х,у,z).

Відмітимо, що існують інші системи координат на площині та у просторі.

та вісь l. З точок А і В опускаємо перпендикуляри на вісь l. Одержимо
точки А1 та В1 – проекції точок А та В.

співпадає з напрямом осі та із знаком “-“, якщо напрями протилежні
(див. Мал.4).

.

Означення 3. Кутом між двома векторами (або між вектором та віссю)
називають найменший кут між їх напрямами при умові, що вектори зведені
до спільного початку (див. Мал.4).

а) b)

Мал.4.

:

У випадку b) маємо:

Таким чином, проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора
на косінус кута між вектором і віссю.

Означення 4. Координатами називаються проекції вектора на осі координат.

тоді

,

. З попередніх формул маємо:

, де М1(х1,y1) – початок вектора, М2(х2,y2) – кінець вектора
(див.Мал.5). в цьому випадку

— це впорядкована пара чисел (х2 – х1; y2 – y1).

у просторі буде впорядкована трійка чисел (х2 – х1; y2 – y1; z2 – z1).

Мал.5

Отже, можна сформулювати правило:

дорівнюють різниці відповідних координат кінця та початку вектора.

, початок якого знаходиться в точці М1(2,-3,0), кінець – в точці
М2(1,1,2), має координати

= (1-2; 1+3; 2-0) = (-1; 4; 2)

співпадають з координатами точки А.

вектор-рядок та вектор-стовпець, які містять n елементів, розглядають
як вектори їз n вимірного простору Еn, а їх елементи називають
координатами вектора.

А

В

Y

y

M(x,y)

0

1

x

X

Y

y

1

0

M(x,y,z)

1

Z

z

x

1

X

А1

В1

А1

В1

l

X

А

B

C

(

А

B

C

(

x2

х1

0

M2

y2

Y

у1

M1

Похожие записи