Реферат на тему:

Вектори та матриці в системі DERIVE

В цьому розділі описується, як вводити вектори та матриці і як
маніпулювати ними за допомогою вбудованих в DERIVE функцій і операторів.
Для демонстрації вказаних можливостей завантажте файл MATRIX.MTH,
використовуючи команду Transfer Demo (або Transfer Load).

Введення векторів і матриць

Виконавши команду Author, ви можете ввести вектор в формі

[x1,x2,…,xn] .

Другий спосіб введення вектора полягає в наступному. Виконайте команду
DeclarevectoR, визначить його розмірність і задайте його компоненти.

Виконавши команду Author, ви можете ввести матрицю в формі

[[a11,a12,…,a1n],…,[am1,am2,…,amn]] .

Другий спосіб введення матриці полягає в наступному. Виконайте команду
DeclareMatrix, визначить її розмірність і задайте її компоненти.

Генерування векторів і матриць

Функція VECTOR(u,k,n) генерує вектор за виразом u, що залежить від k, в
границях від 1 до n з кроком 1. Наприклад,

VECTOR(x^2,x,5)

після спрощення дає

[1, 4, 9, 16, 25] .

Функція VECTOR(u,k,m,n,s) генерує вектор за виразом u, що залежить від
k, в границях від m до n з кроком s. Наприклад,

VECTOR(x!,x,1,7,2)

після спрощення дає

[1, 6, 120, 5040] .

Застосовуючи функцію VECTOR послідовно, можна генерувати матриці.
Наприклад,

VECTOR(VECTOR(j+k,k,1,4),j,1,3)

після спрощення дає

2 3 4 5

3 4 5 6

.

4 5 6 7

Функція IDENTITY_MATRIX(n) генерує одиничну матрицю розмірності n
SYMBOL 180 \f «Symbol» n.

Вибирання елементів

Функція ELEMENT(v,n) вибирає n-й елемент вектора v.

Функція ELEMENT(m,j,k) вибирає елемент матриці m, який знаходиться в j-у
рядку та k-у стовпці.

Операції над векторами

Так як матриця є вектором, компонентами якого є вектори, то операції, що
описуються тут, можна застосовувати також і до матриць.

+ операція додавання векторів

SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» операція віднімання векторів

SYMBOL 42 \f «Symbol» операція множення вектора на скаляр

/ операція ділення вектора на скаляр

. операція скалярного множення векторів і матриць

Функція CROSS(u,v) обчислює векторний добуток векторів u і v.

Функція DIMENSION(v) повертає розмірність вектора v.

Функція OUTER(u,v) обчислює зовнішній добуток векторів u і v.

Операції над матрицями

Операції, що описуються тут, можна застосовувати тільки до матриць!

Транспонування матриці здійснюється оператором ` (обернена одинарна
лапка).

Оператор DET(m) обчислює детермінант (визначник) квадратної матриці m.

Оператор TRACE(m) обчислює слід (суму діагональних елементів) квадратної
матриці m.

Оператор ^ використовується для піднесення до степеня квадратної
матриці. Якщо показник дорівнює SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 1 і матриця
несингулярна, то вказаний оператор обчислює обернену матрицю.

Використовуючи вектори, матриці та операції над ними, можна розв’язувати
системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Нехай, наприклад, розглядається
система рівнянь

5 x + 3 y SYMBOL 45 \f «Symbol» 7 z = 4,

2 x SYMBOL 45 \f «Symbol» 8 y + z = 6,

SYMBOL 45 \f «Symbol» x + 9 y + 4 z = 5,

яка в матричній формі має вигляд

5 3 SYMBOL 45 \f «Symbol» 7

x

4

2 SYMBOL 45 \f «Symbol» 8 1

y

=

6

.

SYMBOL 45 \f «Symbol» 1 9 4

z

5

Розв’язок вказаної системи дається виразом

SYMBOL 45 \f «Symbol» 1

5 3 SYMBOL 45 \f «Symbol» 7

4

2 SYMBOL 45 \f «Symbol» 8 1

6

.

SYMBOL 45 \f «Symbol» 1 9 4

5

Використовуючи команду approX, одержимо вектор, який є розв’язком
системи, що розглядається,

2.91059

0.17549

.

1.58278

Рядково-ешелонна форма

Другий метод розв’язування сингулярних і несингулярних систем лінійних
алгебраїчних рівнянь полягає в зведенні матриці до рядково-ешелонної
форми (Row Echelon Form). Більше того, цей метод дозволяє одночасно
визначити розв’язок для більше, ніж однієї множини констант правих
частин рівнянь.

Матриця має рядково-ешелонну форму, якщо

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h перший ненульовий елемент кожного
рядка є 1;

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h перший ненульовий елемент кожного
рядка стоїть праворуч від першого ненульового елемента рядка,
розташованого вище;

SYMBOL 183 \f «Symbol» \s 10 \h всі елементи, розташовані вище першого
ненульового елемента рядка, суть 0.

Приведення матриці до рядково-ешелонної форми здійснюється в системі
DERIVE функцією ROW_REDUCE(A,B) за допомогою елементарних перетворень
Гаусса. Аргументами вказаної функції є матриці A та B матричного
рівняння A X = B.

Якщо матриця A SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» несингулярна, то
рядково-ешелонна форма являє собою розв’язок X з приєднаною зліва
одиничною матрицею. Наприклад,

після спрощення дає

.

Якщо матриця A SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» сингулярна і після
перетворення в деякому її рядку на діагоналі стоїть 0, то система
сумісна, якщо тільки в цьому ж рядку права частина обертається в 0.
Наприклад,

після спрощення дає

.

Таким чином, для першого стовпця матриці B система сумісна, для
другого SYMBOL 151 \f «Arial Cyr» ні.

Власні значення

Характеристичний поліном квадратної матриці A задається виразом DET(A
SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» xE)=0, де E SYMBOL 151 \f «Arial Cyr»
одинична матриця, і може бути знайдений в системі DERIVE за допомогою
оператора CHARPOLY(A,x).

Власні значення квадратної матриці A є коренями її характеристичного
полінома і можуть бути знайдені в системі DERIVE за допомогою оператора
EIGENVALUES(A,x).

Диференціальне векторне числення

Функція GRAD(u) обчислює градієнт функції u по змінним x, y, z. Функція
GRAD(u,v) обчислює градієнт функції u по змінним, які є компонентами
вектора v. Наприклад,

GRAD (c w + x^2 + y^3 + z^4, [w, x, y, z])

після спрощення дає 4-вимірний вектор

[ c, 2 x, 3 y2, 4 z3 ] .

Для інших ортогональних систем координат задайте другий аргумент
функції, що розглядається, у вигляді

,

де h1, h2,…, hn визначаються співвідношенням

ds2 = (h1 dx1)2 + (h2 dx2)2 + … + (hn dxn)2 .

В файлі COORD.MTH вказаний вище аргумент для циліндричної та сферичної
систем координат об’являється таким чином:

,

.

Функція DIV(v) обчислює дивергенцію вектора v.

Функція LAPLACIAN(u) обчислює лапласіан виразу u.

Функція CURL(v) обчислює вихор вектора v, що має дві або три компоненти.

Інтегральне векторне числення

Функція POTENTIAL(v) обчислює скалярний потенціал вектора v.

Функція VECTOR_POTENTIAL(v) обчислює векторний потенціал
3-вимірного вектора v.

Функція JACOBIAN([f1,…,fn],[ SYMBOL 113 \f «Symbol» 1,…, SYMBOL 113
\f «Symbol» m]) обчислює матрицю якобіана переходу, що задається
співвідношеннями

x1 = f1 ( SYMBOL 113 \f «Symbol» 1,…, SYMBOL 113 \f «Symbol» m),

. . . . . . . . . . . . . .

xn = fn ( SYMBOL 113 \f «Symbol» 1,…, SYMBOL 113 \f «Symbol» m).

Функція COVARIANT_METRIC_TENSOR(J) обчислює коваріантний метричний
тензор для матриці якобіана J.

Функція SQRT_DIAGONAL(G) обчислює вектор квадратних коренів із
діагональних елементів коваріантного метричного тензора G.

Завдання

Спростити вирази:

Обчислити:

Обчислити значення функції у заданих точках:

Побудувати графіки функцій:

Знайти границі:

Знайти похідні:

Знайти розклади за формулою Тейлора в околах точок 0 та 1 до порядку 7
включно функцій:

Знайти інтеграли:

Знайти суми:

Знайти добутки:

Розв’язати системи рівнянь:

Знайти матриці, обернені до даних матриць, а також їх визначники:

2 3 4

SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» x 1 x

1+cos SYMBOL 97 \f «Symbol» 1+sin SYMBOL 97 \f «Symbol» 1

5 SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 2 1 ; 0 SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» x
SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 1 ; 1 SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» sin SYMBOL 97
\f «Symbol» 1+cos SYMBOL 97 \f «Symbol» 1 .

1 2 3

x 1 SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» x

1 1 1

Знайти характеристичний поліном та власні значення матриць:

0 1 0

4 SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 5 7

2 SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 1 2

SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 3 4 0 ; 1 SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 4 9 ; 5
SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 3 3 .

SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 2 1 2

SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 4 0 5

SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 1 0 SYMBOL 150 \f «Arial Cyr» 2

Знайти градієнти функцій:

Похожие записи