Пошукова робота на тему:
Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів.
План
Умовний екстремум
Необхідні умови
Метод множників Лагранжа
Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом
найменших квадратів
1. Умовний екстремум
У попередніх параграфах були розглянуті максимуми і мінімуми
функції в припущенні, що ті змінні, від яких функція залежить, є
незалежними. В цих випадках максимуми мінімуми називаються безумовними.
Але у багатьох задачах потрібно знаходити екстремуми функції, аргументи
якої задовольняють деяким додатковим умовам – зв’язку. В цих випадках
аргументи функції не є незалежними. Екстремуми такого типу називаються
умовними. Як приклад, наведемо задачу про знаходження екстремуму функції
за умови, що її аргументи задовольняють умові зв’язку
.
.
Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції
(6.89)
при
(6.90)
, яку потрібно дослідити на екстремум. Але розв’язання рівняння (6.90)
відносно однієї із змінних може бути важким або взагалі неможливим. Тому
зупинимося на особливому методі розв’язання задачі на умовний екстремум
– методі невизначених множників Лагранжа.
.
Отже, в точках екстремуму
. (6.91)
Із рівності (6.90) маємо
(6.92)
і додамо її з рівністю (6.91), одержимо
.
або
(6.93)
друга дужка у рівності
.
Тоді в точках екстремуму виконуються три рівняння:
(6.94)
, що відіграє лише допоміжну роль і в подальшому не потрібне.
Ліві частини рівнянь (6.94) є частинними похідними функції
,
.
Із виводу рівнянь (6.94) випливає, що вони є лише необхідними умовами
умовного екстремуму.
Зауваження. Описаний метод поширюється на дослідження
умовного екстремуму функції будь-якого числа змінних.
змінних
рівняннями:
(6.95)
Складемо функцію Лагранжа
:
(6.96)
. Системи рівнянь (6.95) і (6.96) є необхідними умовами умовного
екстремуму.
?
.
Складаємо функцію Лагранжа
і прирівнюємо до нуля її частинні похідні:
,
.
. Оскільки поставлена задача має певний розв’язок, а критична точка
лише одна, то в цій критичній точці буде екстремум.
.
2. Знаходження функції на основі експериментальних даних
за методом найменших квадратів
У різних областях людської діяльності широке розповсюдження
мають формули, одержані на основі обробки спостережень або
експериментів. Такі формули називаються емпіричними.
.
значень функції при відповідних значеннях аргументів і результати
записані так:
.
так, щоб вони якнайкраще і описували
Рис.6.13 Рис.6.14
розглядуваний процес. Найпоширенішим методом розв’язання даної задачі є
метод розв’язання даної задачі є метод найменших квадратів.
Нехай експериментальні точки групуються навколо прямої (див. рис.
6.13). Тоді
(6.97)
– параметри, які потрібно знайти.
. Різницю ординат цих точок
, (6.98)
, назвемо похибкою.
так, щоб сума квадратів похибок
(6.99)
була найменшою.
Підставимо в (6.99) вирази помилок (6.98), одержимо
(6.100)
мала найменше значення, необхідно
виконати умови:
або
Перегрупувавши члени, подамо цю систему у вигляді
або
(6.101)
.
Нехай тепер експериментальні точки розміщені поблизу деякої
параболи (див. рис. 6.14). Тоді
(6.102)
використаємо метод найменших квадратів. Відхилення за ординатою
експериментальних точок від відповідних точок параболи
, (6.103)
(6.104)
була найменшою. Для цього необхідно виконання умов
Обчисливши частинні похідні, маємо систему рівнянь
Перегрупувавши доданки в кожному із рівнянь, одержимо
нормальну систему рівнянь методу найменших квадратів для параболічної
залежності:
(6.105)
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
