Пошукова робота на тему:

Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів.

План

Умовний екстремум

Необхідні умови

Метод множників Лагранжа

Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом
найменших квадратів

1. Умовний екстремум

            У попередніх параграфах були розглянуті максимуми і мінімуми
функції в припущенні, що ті змінні, від яких функція залежить, є
незалежними. В цих випадках максимуми мінімуми називаються безумовними.
Але у багатьох задачах потрібно знаходити екстремуми функції, аргументи
якої задовольняють деяким додатковим умовам – зв’язку. В цих випадках
аргументи функції не є незалежними. Екстремуми такого типу називаються
умовними. Як приклад, наведемо задачу про знаходження екстремуму функції

за умови, що її аргументи задовольняють умові зв’язку

.

.

            Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції

                                             (6.89)

при

                                            (6.90)

, яку потрібно дослідити на екстремум. Але розв’язання рівняння (6.90)
відносно однієї із змінних може бути важким або взагалі неможливим. Тому
зупинимося на особливому методі розв’язання задачі на умовний екстремум
– методі невизначених множників Лагранжа.

.

Отже, в точках екстремуму

.                             (6.91)

Із рівності (6.90) маємо

                               (6.92)

 і додамо її з рівністю (6.91), одержимо

.

або

                       (6.93)

 друга дужка у рівності

.

            Тоді в точках екстремуму виконуються три рівняння:

                             (6.94)

, що відіграє лише допоміжну роль і в подальшому не потрібне.

            Ліві частини рівнянь (6.94) є частинними похідними функції

,

.

Із виводу рівнянь (6.94) випливає, що вони є лише необхідними умовами
умовного екстремуму.

            Зауваження. Описаний метод поширюється  на дослідження
умовного екстремуму функції будь-якого числа змінних.

 змінних

 рівняннями:

                (6.95)

Складемо функцію Лагранжа

:

                        (6.96)

. Системи рівнянь (6.95) і (6.96) є необхідними умовами умовного
екстремуму.

?

.

            Складаємо функцію Лагранжа

і прирівнюємо до нуля її частинні похідні:

,

.

. Оскільки поставлена задача має певний розв’язок, а критична точка
лише одна, то в цій критичній точці буде екстремум.

.

2. Знаходження функції на основі експериментальних даних

за методом найменших квадратів

            У різних областях людської діяльності широке розповсюдження 
мають формули, одержані на основі обробки спостережень або
експериментів. Такі формули називаються емпіричними.

.

 значень функції при відповідних значеннях аргументів і результати
записані так:

.

 так, щоб вони якнайкраще і описували

                      Рис.6.13                                 Рис.6.14

розглядуваний процес. Найпоширенішим методом розв’язання даної задачі є
метод розв’язання даної задачі є метод найменших квадратів.

Нехай експериментальні точки групуються навколо прямої  (див. рис.
6.13). Тоді

                                            (6.97)

— параметри, які потрібно знайти.

. Різницю ординат цих точок

,                            (6.98)

, назвемо похибкою.

так, щоб сума квадратів похибок

                            (6.99)

була найменшою.

Підставимо в (6.99) вирази помилок (6.98), одержимо

            (6.100)

 мала найменше значення, необхідно

виконати умови:

або

            Перегрупувавши члени, подамо цю систему у вигляді

або

                          (6.101)

.

            Нехай тепер експериментальні точки розміщені поблизу деякої
параболи (див. рис. 6.14). Тоді

                                       (6.102)

 використаємо метод найменших квадратів. Відхилення за ординатою
експериментальних точок від відповідних точок параболи

,                                 (6.103)

(6.104)

була найменшою. Для цього необхідно виконання умов

Обчисливши частинні похідні, маємо систему рівнянь

            Перегрупувавши доданки в кожному із рівнянь, одержимо
нормальну систему рівнянь методу найменших квадратів для параболічної
залежності:

                   (6.105)

.

Похожие записи