Реферат на тему:

Умовні ймовірності, незалежні випадкові події.

.

Формула множення ймовірностей.Якщо Р(В) > 0, то

Р(А ( В) = Р(В) Р(А ( В).

Незалежні випадкові події. Випадкові події А та В (А ( (, В ( ()
називаються незалежними, якщо

Р(А ( В) = Р(В) ( Р(А).

Незалежні в сукупності випадкові події. Випадкові події А1 , А2 , …,
Аn (Аi ( (, i = 1, 2, …, n) називається незалежними в сукупності, якщо

при будь-яких k=1, 2, …, n та ( ( і1 ( і2 ( …( іk ( n. Якщо ці
рівності виконуються при к=2, то події А1, А2,.., Аn називаються попарно
незалежні.

Задача 1. В урні 2 білі і 3 чорні кулі. З урни підряд виймають дві кулі.
Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.

Розв’язування. Позначемо: А- поява двох білих куль.

Подія А є добутком двох подій А= А1 ( А2 ,

де А1 –поява білої кулі при першому вийманні,

А2- поява білої кулі при другому вийманні.

По теоремі множення ймовірностей

0,1.

Задача 2. В урні 2 білі і 3 чорні кулі. З урни виймають дві кулі, але
після першого виймання куля повертається в урну, і кулі в урні
перемішуються, після чого виймається друга куля. Знайти ймовірність
того, що обидві кулі білі.

Розв’язування. В даному випадку події А1 та А2 незалежні і

=0,16.

Задача 3. Серед усіх родин з двома дітьми обрано одну. Описати простір
елементарних подій і випадкові події: А= { в родині є хлопчик і
дівчинка },

В={ в родині не більше однієї дівчинки}. Всі елементарні події однаково
ймовірні. Обчислити Р(А), Р( В), Р(А ( В ) і довести, що події А та В
незалежні.

Задача 4. Пристрій, який працює на прорязі часу t , складається з трьох
вузлів,

кожен з яких , незалежно один від одного, може на протязі часу t
відмовити

( вийти зі строю). Відмова хоча б одного вузла приводить до відмови
прибору в цілому. За час t надійність ( ймовірність безвідмовної роботи
) першого вузла

дорівнює р1=О,8; другого р2=О,9; третього р3=О,7; Знайти надійність
прибора в цілому.

Розв’язування. Позначемо:

А- безвідмовна робота прибора,

А1- безвідмовна робота першого вузла,

А2- безвідмовна робота другого вузла,

А3 — безвідмовна робота третьго вузла,

маємо: А= А1 (А2( А3 ,

звідки по теоремі для незалежних подій

Р(А)=Р(А1)Р(А2)Р(А3)=р1р2 р3= 0,504.

Задача5. Скільки треба взяти гральних кубиків, щоб з ймовірністю,
меньшій

чим 0,3, можна було чекати, що ні на жодній грані яка випаде не
з’явиться шість очок?

. Події Аі (і=1,2,…, n ) незалежні в сукупності , тому
застосовується теорема множення.

)n.

7.

Задача 6 ( приклад Берштейна). На площину кидають тетраедр, три грані
якого окрашені відповідно в червоний, зелений, блакитний кольори, а на
четверту грань нанесені всі три кольори. Нехай подія Ч полягає в тому,
що при підкиданні тетраедра на площину випала грань окрашена червоним
кольором і нехай аналогічно визначені події З та Б. Оскільки кожний з
трьох кольорів нанесений на дві грані, то

.

,

.

Задача 7. Підкидають два гральних кубика. Розглянемо випадкові події:

A 1- на першому кубику випало парне число очок;

A 2- на другому кубику випало непарне число очок ;

A 3- сума очок на кубиках непарна. Довести, що події A 1, A 2, A 3
попарно незалежні, але не є незалежними в сукупності.

— теж

незалежні ( спадкова властивість незалежності ).

Задача 9 Події А та В1 й А та В2 – незалежні, причому В1 та В2
несумісні. Довести, що події А та В1( В2 –незалежні.

Задача 10. З множини всіх родин, які мають двох дітей обрано одну
родину. Всі елементарні події одинаково ймовірні. Яка ймовірність того
що: a) в цій родині два хлопчики, якщо відомо, що в ній є один
хлопчик? б) в родині два хлопчики, якщо відомо, що старша дитина хлопчик
?

Задача 11. Відомо, що 5% чоловіків і 0,25% всіх жінок- дальтоники.
Навмання

обрана особа- дальтоник. Яка ймовірність того, що це чоловік ? (
Вважати, що

чоловіків і жінок одинакова кількість) ( Вказівка. Розглянути
випадкові події:

).

Задача12. В цеху працюють сім чоловіків та три жінки. По табельним
номерам

навмання відібрані три чоловіка. Знайти ймовірність того, що всі
відібрані особи виявляться чоловіками.

Розв’язування. Нехай подія А-першим відібраний чоловік; B- другим
відібраний

— ймовірність

— ймовірність того, що третім був відібраним чоловік, при умові, що вже
відібрані два чоловіка.

Шукана ймовірність того, що всі три вибрані особи будуть чоловіками,

.

Задача 13. Довести, що

Ak).

( Вказівка. Скористатися методом математичної індукції).

Задача 14.Події А1, А2, …,Аn незалежні в сукупності і Р(Ак)=рк. Яка
ймовірнсть того, що відбудеться принаймі одна з подій А1,А2 ,…,Аn.

Задача 15. При одному циклі огляду раділокаційної станції, що стежить
за космічним об’єктом , об’єкт буде виявлено з ймовірністю р. Виявлення
об’єкта

в кожному циклі відбудеться незалежно від інших. Проведено n циклів
огляду. Яка ймовірність того, що об’єкт буде виявлено?

Відповідь. р=1-(1-р)n.

Похожие записи