Реферат на тему:

Тригонометричні вирази та їх перетворення

Відношення сторін в трикутнику

Розглянемо спочатку прямокутний трикутник АВС.

— прямий.

Рис. 1

В такому трикутнику вводять наступні співвідношення

,

. (1)

(рис. 2).

Рис. 2

позначимо радіус описаного кола.

Справджується формула

, (2)

яку називають теоремою синусів.

Доведення формул (2) випливає з того, що всі вписані в коло кути, які
спираються на одну хорду, рівні між собою (рис. 3).

Рис. 3

, з яких випливає формула (2).

При розв’язуванні трикутників часто використовують теорему косинусів,
яка приводить до формул:

,

,

. (3)

Доведемо першу формулу (рис. 4).

Рис. 4

знаходимо:

.

Скориставшись теоремою Піфагора, дістаємо першу з формул (3):

.

.

EMBED E?????????

Означення і графіки тригонометричних функцій

(рис. 1). Точка А міститься на колі одиничного радіуса з центром у
початку координат О.

Рис. 1

. Наведемо таблицю відповідності кутів у радіанній і градусній мірі.

0( 30( 45( 60( 90( 180( 270( 360(

.

(рис. 2).

Рис. 2

.

Знаки тригонометричних функцій у різних четвертях ілюструє рис. 3.

Рис. 3

Визначимо основні тригонометричні функції:

.

.

.

З теореми Піфагора випливає рівність

або

. (1)

:

.

:

.

.

.

.

.

, оскільки

.

.

, то

.

.

, то

.

(рис. 4).

Рис. 4

З графіків бачимо, що виконуються такі властивості:

, (2)

, (3)

. (4)

З формул (2)—(4) випливають такі формули:

(5)

Функції tg t, ctg t визначаються за формулами:

. (6)

.

.

.

.

З формул (2) — (5) випливають такі рівності

,

, (7)

.

.

Рис. 5

.

0

2

4

@

L

@

8 F Ae ? *

j

§a

L

T

?

?

 

c

¦

?

1/4

3/4

ae

ae

e

e

*

F

f

$If`„?a$gd¤go

j

jo

jue

&

&

F

jU

ja

j

IhIeUE??EE??EEE¦??EE??

(рис. 6).

Рис. 6

.

.

(рис. 7).

Рис. 7

(рис. 8).

у точках розриву виконуються граничні співвідношення:

;

;

;

.

Рис. 8

.

Основні тригонометричні тотожності

З формул (1)—(6) підрозд. 6.2 випливають такі рівності

;

;

.

, коли відомі значення однієї з них.

.

6.4. Формули додавання кутів

(див. рисунок).

:

З теореми косинусів для трикутника ОАВ знаходимо

Порівнюючи результати, дістаємо формулу:

. (1)

у формулі (1) на протилежний, дістанемо:

. (2)

:

.

Здобута рівність за допомогою формул (5) підрозд. 6.2 набирає вигляду:

. (3)

, дістанемо:

. (4)

маємо формули подвійного кута

(5)

, дістаємо формули:

(6)

які можна записати у вигляді:

. (7)

:

Аналогічно дістаємо:

у формулах (7), дістанемо:

(8)

маємо:

.

, дістанемо формулу додавання кутів:

. (9)

, отримаємо формулу

. (10)

Формули зведення

Часто доводиться перетворити вирази

, використовуючи формули зведення.

, маємо:

(1)

Аналогічно виводяться формули:

. (2)

Наведемо формули, які потрібно запам’ятати:

(3)

Найчастіше застосовувані формули зведення вміщено в таблиці.

Для зведення тригонометричних функцій можна використовувати таке легко
запам’ятовуване правило.

У разі зведення до горизонтального діаметра при парному значенні n назва
тригонометричної функції зберігається. У разі зведення до вертикального
діаметра при непарному значенні n назва функції змінюється на подібну:

.

в першій четверті.

міститься в другій четверті, де синус додатний,

а косинус від’ємний.

Перетворення добутків тригонометричних

функцій на суми

Виконуючи формули

для косинуса різниця та сума кутів дістаємо:

(1)

Аналогічно, використовуючи формули

дістаємо:

(2)

Перетворимо, наприклад, добутки функцій:

Формули додавання та віднімання

тригонометричних функцій

Візьмемо у формулах (1) із підрозд. 6.6

.

Тоді

і зазначені формули набирають вигляду:

(1)

Аналогічно згідно з формулою (2) із підрозд. 6.6 маємо:

(2)

Перетворимо, наприклад, вирази:

Звідси знайдемо

.

Для суми та різниці тангенсів дістанемо:

. (3)

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

А

В

C

а

с

b

(

(

А

В

C

а

с

b

(

(

(

(

R

А

В

C

а

(

D

(

А

В

C

а

(

D

b

h

с

C1

C2

В

А

t

y

х

0

(

ІІІ чверть

І чверть

ІV чверть

ІІ чверть

y = sin t

+

+

+

+

x = cos t

(

0

cos t

t

–(

–2(

2(

1

–1

–1

1

2(

(

0

–(

–2(

sin t

t

y

x

О

yСс

t

tg t

С

А

y

x

О

t

ctg t

D

А

xD

x

tg t

0

(

–(

x

ctg t

0

(

–(

–(

y

x

0

(

А

xB

(

yA

B

Похожие записи