Реферат на тему:
Тригонометричні вирази та їх перетворення
Відношення сторін в трикутнику
Розглянемо спочатку прямокутний трикутник АВС.
— прямий.
Рис. 1
В такому трикутнику вводять наступні співвідношення
,
. (1)
(рис. 2).
Рис. 2
позначимо радіус описаного кола.
Справджується формула
, (2)
яку називають теоремою синусів.
Доведення формул (2) випливає з того, що всі вписані в коло кути, які
спираються на одну хорду, рівні між собою (рис. 3).
Рис. 3
, з яких випливає формула (2).
При розв’язуванні трикутників часто використовують теорему косинусів,
яка приводить до формул:
,
,
. (3)
Доведемо першу формулу (рис. 4).
Рис. 4
знаходимо:
.
Скориставшись теоремою Піфагора, дістаємо першу з формул (3):
.
.
EMBED E?????????
Означення і графіки тригонометричних функцій
(рис. 1). Точка А міститься на колі одиничного радіуса з центром у
початку координат О.
Рис. 1
. Наведемо таблицю відповідності кутів у радіанній і градусній мірі.
0( 30( 45( 60( 90( 180( 270( 360(
.
(рис. 2).
Рис. 2
.
Знаки тригонометричних функцій у різних четвертях ілюструє рис. 3.
Рис. 3
Визначимо основні тригонометричні функції:
.
.
.
З теореми Піфагора випливає рівність
або
. (1)
:
.
:
.
.
.
.
.
, оскільки
.
.
, то
.
.
, то
.
(рис. 4).
Рис. 4
З графіків бачимо, що виконуються такі властивості:
, (2)
, (3)
. (4)
З формул (2)—(4) випливають такі формули:
(5)
Функції tg t, ctg t визначаються за формулами:
. (6)
.
.
.
.
З формул (2) — (5) випливають такі рівності
,
, (7)
.
.
Рис. 5
.
0
2
4
@
L
@
8FAe?*
j
§a
L
T
?
?
c
¦
?
1/4
3/4
ae
ae
e
e
–
*
F
f
$If`„?a$gd¤go
j
jo
jue
&
&
F
jU
ja
j
IhIeUE??EE??EEE¦??EE??
(рис. 6).
Рис. 6
.
.
(рис. 7).
Рис. 7
(рис. 8).
у точках розриву виконуються граничні співвідношення:
;
;
;
.
Рис. 8
.
Основні тригонометричні тотожності
З формул (1)—(6) підрозд. 6.2 випливають такі рівності
;
;
.
, коли відомі значення однієї з них.
.
6.4. Формули додавання кутів
(див. рисунок).
:
З теореми косинусів для трикутника ОАВ знаходимо
Порівнюючи результати, дістаємо формулу:
. (1)
у формулі (1) на протилежний, дістанемо:
. (2)
:
.
Здобута рівність за допомогою формул (5) підрозд. 6.2 набирає вигляду:
. (3)
, дістанемо:
. (4)
маємо формули подвійного кута
(5)
, дістаємо формули:
(6)
які можна записати у вигляді:
. (7)
:
Аналогічно дістаємо:
у формулах (7), дістанемо:
(8)
маємо:
.
, дістанемо формулу додавання кутів:
. (9)
, отримаємо формулу
. (10)
Формули зведення
Часто доводиться перетворити вирази
, використовуючи формули зведення.
, маємо:
(1)
Аналогічно виводяться формули:
. (2)
Наведемо формули, які потрібно запам’ятати:
(3)
Найчастіше застосовувані формули зведення вміщено в таблиці.
Для зведення тригонометричних функцій можна використовувати таке легко
запам’ятовуване правило.
У разі зведення до горизонтального діаметра при парному значенні n назва
тригонометричної функції зберігається. У разі зведення до вертикального
діаметра при непарному значенні n назва функції змінюється на подібну:
.
в першій четверті.
міститься в другій четверті, де синус додатний,
а косинус від’ємний.
Перетворення добутків тригонометричних
функцій на суми
Виконуючи формули
для косинуса різниця та сума кутів дістаємо:
(1)
Аналогічно, використовуючи формули
дістаємо:
(2)
Перетворимо, наприклад, добутки функцій:
Формули додавання та віднімання
тригонометричних функцій
Візьмемо у формулах (1) із підрозд. 6.6
.
Тоді
і зазначені формули набирають вигляду:
(1)
Аналогічно згідно з формулою (2) із підрозд. 6.6 маємо:
(2)
Перетворимо, наприклад, вирази:
Звідси знайдемо
.
Для суми та різниці тангенсів дістанемо:
. (3)
ЛІТЕРАТУРА
Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.
Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.
Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.
Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.
Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.
Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.
Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.
Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.
Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.
Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.
Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.
А
В
C
а
с
b
(
(
А
В
C
а
с
b
(
(
(
(
R
А
В
C
а
(
D
(
А
В
C
а
(
D
b
h
с
C1
C2
В
YА
А
t
y
х
0
(
XА
ІІІ чверть
І чверть
ІV чверть
ІІ чверть
y = sin t
–
–
+
+
+
+
–
x = cos t
–
(
0
cos t
t
–(
–2(
2(
1
–1
–1
1
2(
(
0
–(
–2(
sin t
t
y
x
О
yСс
t
tg t
С
А
y
x
О
t
ctg t
D
А
xD
x
tg t
0
(
–(
x
ctg t
0
(
–(
–(
y
x
0
XА
(
А
xB
(
yA
yВ
B
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter