Курсова робота

на тему:

Топологічні структури

Зміст

Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 4

І. Відкриті множини; околи; замкнені множини . . . . . . . .
. 6

1. Відкриті множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 6

2. Околи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 6

3. Фундаментальні системи околів; базиси топології . . .8

4. Замкнуті множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 8

5. Локально кінцеві сімейства . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .8

6. Внутрішність, замикання, межа множини, скрізь

щільні множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 9

ІІ. Неперервні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 11

Неперервні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

Порівняння топологій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

Ініціальні топології . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 13

ІІІ. Підпростори; факторпростори . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 15

Підпростори топологічного простору . . . . . . . . . . . . 15

Неперервність щодо підпростору . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Локально замкнуті підпростори . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

IV. Добуток топологічних просторів . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 17

Добуток просторів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .17

Замикання в добутку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 17

V. Відкриті і замкнуті відображення . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 19

Відкриті і замкнуті відображення . . . . . . . . . . . . . . . 19

Відкриті і замкнуті відношення еквівалентності . . . 19

Спеціальні властивості замкнутих відображень . . . . 20

VI. Віддільні і регулярні простори . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 22

Віддільні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 22

Продовження по неперервності . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Відношення еквівалентності в регулярному просторі 24

VII. Компактні і локально компактні простори . . . . . . . .
. . 26

Квазікомпактні і компактні простори . . . . . . . . . . . . . . 26

Регулярність компактного простору . . . . . . . . . . . . . . . 27

Квазікомпактні, компактні і відносно компактні

множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .27

Образ компактного простору при неперервному

відображенні . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 28

Добуток компактних просторів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Локально компактні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Локально компактні простори, зліченні в

Нескінченості . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 31

Паракомпактні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 31

VIII. Ідеальні відображення . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .33

Ідеальні відображення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 33

Характеризація ідеальних відображень властивостями композиції . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Ідеальні відображення в локально компактних

Просторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 34

IX. Зв’язність . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .36

Зв’язні простори і множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.36

Факторпростори зв’язного простору . . . . . . . . . . . . . . . 36

Зв’язні компоненти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 36

Локально зв’язні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 37

Застосування, теорема Пуанкаре-Вольтерра . . . . . . . . . .37

Список використаної літератури . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .40

Вступ

підмножин множини X , що володіє наступними властивостями:

.

.

Дана курсова робота складається із дев’яти розділів.

В першому розділі мова йде про замкнені множини, відкриті множини,
околи, базиси топології, про скрізь щільні множини, про ніде не щільні
множини. Зокрема, наведені означення топологічного простору,
гомеоморфізму.

У другому розділі розглядаються неперервні функції, порівняння топологій
та ініціальні топології, сформульоване твердження, про те, що композиція
двох неперервних відображень є неперервною. Тут наведене також означення
ініціальної топології.

Третій розділ розкриває нам поняття підпростору топологічного простору,
локально замкнуті підпростори.

У четвертому розділі розглядаються добутки просторів і замикання
просторів , наведене твердження:

їх замикань.

В п’ятому розділі розповідається про відкриті і замкнуті відображення.

Шостий розділ розглядає віддільні і регулярні простори.

У сьомому розділі наведені поняття про компактні і локально компактні
простори.

Топологічний простір називається компактним . якщо він квазікомпактний і
віддільний.

Локально компактним є топологічний простір X, якщо він віддільний і
будь-яка його точка має компактний окіл.

У цьому розділі означено також паракомпактний простір.

Топологічний простір X називається паракомпактним, якщо він віддільний і
задовольняє умовам наступної аксіоми:

.

У восьмому розділі розповідається про ідеальні відображення.

замкнуте.

У дев’ятому розділі йде мова про зв’язність.

Топологічний простір X називається зв’язним, якщо він є об’єднаннням
двох неперетинних не порожніх відкритих множин.

І. Відкриті множини; околи; замкнуті множини

1. Відкриті множини

підмножин множини X, що володіє наступними властивостями:

.

.

називаються відкритими множинами топологічної структури.

Означення . Топологічним простором називають множину, наділену
топологічною структурою.

Елементи топологічного простору часто називаються точками. Множина X, в
якій визначена топологія, називається носієм топологічного простору X.

І підмножини А топологічного простору X називають відкритим, якщо всі
Uі — відкриті множини в X.

Означення. Гомеоморфізмом топологічного простору X на топологічний
простір X’ називають ізоморфізм топологічної структури простору X на
топологічну структуру простору X’, тобто бієкцію X на X’, що
перетворює множиту всіх відкритих множин з X в множину всіх відкритих
множин з X’.

Говорять, що X і X’ гомеоморфні, якщо існує гомеоморфізм X на X’.

Означення гомеоморфізма безпосередньо зводиться до наступного критерію:
для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний простір
X’ була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб образ при
відображенні f всякої відкритої множини з X була відкритою множиною в
X’, а прообраз відносно f всякої відкритої множини з X’- відкритою
множиною в X

2. Околи

Означення. Околом множини А в топологічному просторі X називають всяку
множину, яка містить яку-небудь відкриту множину, яка містить А. Окіл
одноелементної множини { х} називають також околам точки х.

Твердження. Для того, щоб множина була околом кожної своєї точки,
необхідно і достатньо, щоб вона була відкритою.

(х) володіють наступними властивостями:

(х).

(х) .

(х).

W.

(х) є характеристичними.

X

(y) що і потрібно було довести.

3. Фундаментальні системи околів; базиси топології

V.

.

Означення. Базисом топології топологічного простору X називають всяку
множину ss відкритих множин з X, таку, що будь-яка відкрита множина в X
є об’єднанням множин, що належать ss .

4. Замкнуті множини

Означення. Замкнутими множинами в топологічному просторі X називають
доповнення відкритих множин.

(О’І) Всякий перетин замкнутих множин є замкнута множина.

(О’ІІ) Об’єднання будь-якого сімейства замкнутих множин є замкнута
множина.

Порожня множина і весь простір X замкнуті.

І множини А в топологічному просторі X називається замкнутим, якщо всі
Fі замкнуті в X.

Гомеоморфізм f топологічного простору X на топологічний простір X’ може
бути ще охарактеризований як бієкція X на X’, при якій образ всякої
замкнутої множини з X є замкнута множина в X’, а прообраз всякої
замкнутої множини з X’ є замкнута множина в X.

5. Локально кінцеві сімейства

на себе.

Твердження. Об’єднання локально кінцевої сім ’ї замкнутих множин
топологічного простору X замкнуте в X.

точки х. Отже, F відкрита.

6. Внутрішність, замикання, межа множини; скрізь щільні множини

всіх внутрішніх точок множини А називається його внутрішністю і
позначається A

Для того, щоб множина була відкритою, необхідно і достатньо, щоб
воно співпадало з своєю внутрішністю.

В.

.

Для замкнутості множини необхідно і достатньо, щоб вона співпадала з
своїм замиканням.

Означення. Точку х топологічного простору X називають граничною точкою
множини А, якщо вона є точкою дотику одночасно для А і для СА; множина
всіх граничних точок множини А називають межею цієї множини.

. Гранична точка х множини А характеризується тим, що будь-який її окіл
містить принаймні одну точку з СА; сама точка х може як належати, так і
не належати А. Межа А співпадає з межею СА; якщо взяти внутрішність А,
зовнішність А і межу А, то ті з цих трьох множин, які не порожні,
утворюють розбиття простору X.

А не порожній..

Card ( ss).

ІІ. Неперервні функції

1. Неперервні функції

V випливає

.

Твердження. Нехай f — відображення топологічного простору X в
топологічний простір X’ . Якщо f неперервне в точці х, а х — точка
дотику множини А в X, то f (х) — точка дотику множини f (А) в X’ .

; цим доведено, що f (х) — точка дотику множини f (А).

f простору X в X» неперервне в точці х

Означення. Відображення топологічного простору X в топологічний простір
X’ називають неперервним на X , якщо воно неперервне в кожній точці з
X.

Приклади. 1) Тотожне відображення топологічного простору X на себе є
неперервне.

2) Постійне відображення топологічного простору в топологічний простір
неперервне.

3) Всяке відображення дискретного простору в топологічний простір
неперервне.

Теорема. Нехай f — відображення топологічного простору X в топологічний
простір X’; наступні властивості рівносильні:

а) f неперервне на X;

Х;

в) прообраз всякої замкнутої множини із X’ є замкнута множина в X;

г) прообраз всякої відкритої множини з X’ є відкрита множина в X.

f-1(V’), оскільки f-1(А’) відкрите, f-1(V’) є околом точки х в X,
чим доведено, що з г) випливає а).

Х» неперервна.

2. Для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний
простір X’ була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб і f і
обернена до f бієкція g були неперервні.

Х’ буде неперервне, але не буде гомеоморфізмом.

2. Порівняння топологій

?2, то говорять, що ?1 сильніше ?2.

Твердження. Нехай ?1, ?2 — топології в множині X. Наступні твердження
рівносильні:

а) ?1 мажорує над ?2.

Х, будь-який окіл х в топології ?2 є околом х в топології ?1.

Х замикання А в топології ?2 містить замикання А в топології ?1.

г) Всяка множина з X, замкнута в ?2, замкнута в ?1.

д) Всяка множина з X, відкрита в ?2, відкритав ?1.

Зауваження. 1) У впорядкованій множині топологій в множині X дискретна
топологія найсильніша, а топологія, єдиною відкритою множиною якої є O і
X, найслабкіша.

2) Чим топологія сильніша, тим більше відкритих множин, замкнутих
множин, околів; замикання множини тим менше, чим топологія сильніша; чим
топологія сильніша, тим менше скрізь щільних множин.

Х’ залишиться неперервним при заміні топології в X мажоруючою
топологією. Інакше кажучи, неперервних відображень X в X’ тим більше,
чим топологія в X сильніша, а топологія в X’ слабкіша.

3.Ініціальні топології

g була неперервна в точці z.

.

ІІІ. Підпростори; факторпростори

1. Підпростори топологічного простору

Означення. Нехай А — множина в топологічному просторі X. Топологією, що
індукується в А топологією простору X, називається топологія, відкритими
множинами якої служать сліди на А відкритих множин з X. Множина А,
наділене цією топологією, називається підпростором простору X .

Множина, відкрита в підпросторі А, не обов’язково є відкритою в X: для
того, щоб будь-яка відкрита множина в А було відкритою в X, необхідно і
достатньо, щоб А була відкритою в X.

Замкнуті множини в А — це сліди на А замкнутих множин з X, як і вище,
переконуємося, що для того, щоб будь-яка замкнута множина в А було
замкнутою в X, необхідно і достатньо, щоб А була замкнута в X.

А відносно А — це сліди на А околів х відносно X; для того, щоб
будь-який окіл точки х відносно А був околом точки х відносно X,
необхідно і достатньо, щоб А була околом точки х в X.

множини В в X.

2. Неперервність щодо підпростору

X необхідно і достатньо, щоб відображення простору X в підпростір В
простору Y, що має той же графік, що і f, було неперервне в точці х.

А є відображенням підпростору А вY, неперервне в точці x.

А неперервне в точці х, то і f неперервне в точці х, бо всякий окіл
точки х відносно А буде околом х відносно X (локальний характер
неперервності).

І — сім’я підмножин топологічного простору X, внутрішність яких утворює
відкрите покриття останнього, або яке є локально кінцевим замкнутим
покриттям простору X. Нехай f- відображення X в топологічний простір X’.
Якщо звуження f на кожному з підпросторів Аі неперервне, то f
неперервне.

3. Локально замкнуті підпростори

V замкнутий щодо підпростору V. L називається локально замкнутою в X,
якщо вонa локально замкнутa в кожній своїй точці.

Твердження. Для підмножини L топологічного простору X наступні умови
рівносильні:

а) L локально замкнутa;

в X;

в)L є перетин відкритої і замкнутої підмножин простору X.

.

Х’ — неперервне відображення; тоді прообраз f-1(L’) будь-якої локально
замкнутої множини L’з X’ локально замкнутий в X.

IV. Добуток топологічних просторів

1. Добуток просторів

І) називають просторами-співмножниками добутку X.

Y, необхідно і достатньо, щоб всі fi були неперервні в точці а.

є гомеоморфізм.

, і ? — слабша з топологій в X, при яких неперервні всі fi. Тоді ? є
прообраз відносно f топології, що індукується в f (X) топологією
добутку Y

2.Замикання в добутку

.- необхідно і достатньо, щоб Аі, було замкнутим в Хі при
будь-якому і.

.

Х, у яких рr ix=аi для всіх, крім скінченого числа, індексів і, скрізь
щільна в X.

V. Відкриті і замкнуті відображення

1. Відкриті і замкнуті відображення

Х’ відкрите(замкнуте), якщо образ при відображенні f всякої відкритої (
замкнутої) множини з X відкритий ( замкнутий) в X’.

Зокрема, f (Х ) є тоді відкритою (замкнутою) множиною в X’.

Х була відкритою ( замкнутою), необхідно і достатньо, щоб А була
відкритою ( замкнутою) в X.

2) Для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний
простір X’ була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб вона була
неперервною і відкритою або безперервною і замкнутою.

X»- відображення. Тоді:

f відкрита (замкнута).

б) Якщо g • f відкрита ( замкнута), а f сюр’ективне і неперервне, то g
відкрите (замкнуте).

в) Якщо g ° f відкрита ( замкнута), а g ін’єктивне і неперервне, то f
відкрите ( замкнуте).

Х маємо f (А)= g-1(g (f (А))); за припущенням, якщо А відкрита (
замкнута) в X, то g (f (А)) відкрита ( замкнута) в X», і, отже f (А)
відкрита ( замкнута) в X’.

2. Відкриті і замкнуті відношення еквівалентності

Означення. Відношення еквівалентності R в топологічному просторі X
називають відкритим ( замкнутим), якщо канонічне відображення X на Х/R
відкрите ( замкнуте).

Y канонічний розклад f. Наступні три властивості рівносильні :

а) f — відкрите відображення.

б) Відображення p, h, i-відкриті.

в) Відношення еквівалентності R відкрите, h -гомеоморфізм і f(X)-
відкрита множина в Y.

Крім того, все попереднє залишається в силі , якщо усюди замінити
«відкрите» на «замкнуте».

Х/R , А — множина в X.

Припустимо, що виконується одна з наступних двох умов:

а) А відкрита (замкнута) в X.

б) А насичене по R.

Тоді відношення RА, що індукується відношенням R в А, відкрите
(замкнуте) і канонічне відображення простору A/RА на f(A) є
гомеоморфізмом.

l

i

? < ? je ?Т?Т?? j j j j jOe j j j j j j мкнутих відображень . . Твердження. Нехай R - відношення еквівалентності в топологічному просторі X. Для того, щоб R було замкнутим, необхідно і достатньо, щоб всякий клас еквівалентності М по R володів фундаментальною системою околів, насичених по R. S=O, і, отже, V=cS є відкритим околом М, що насичена по R і міститься в U. T=O; звідси випливає, що cТ є околом класу М, а тим самим і точки х; цим доведено що cТ відкрите, тобто Т замкнуте. VI. Віддільні і регулярні простори 1. Віддільні простори Твердження. Нехай X - топологічний простір. Наступні твердження рівносильні: (Н) Які б ні були різні точки х і у в X, існують окіл точки х і окіл точки у, що не мають спільних точок. (НІ) Перетин всіх замкнутих околів довільної точки з X є множина, що зводиться до однієї цієї точки. Х є замкнута множина. простору Y = X' замкнута в Y. (HIV) Жоден фільтр в X не може мати більше ніж одну границю. в X має границю х, то х - його єдина точка дотику. Доведемо: H . . (HIV): Це очевидно, оскільки всяка границя фільтру є точкою дотику цього фільтру. W утворюють базис фільтру, що має своєю границею в X як х, так і у. Звідси і випливає істинність твердження. в XІ. (НІІ): Очевидно. W=O. Означення. Топологічний простір X, що задовольняє умовам попереднього твердження, називається віддільним (гаусдорфовим) простором; його топологія називається віддільною (гаусдорфовою). Аксіома (Н) називається аксіомою Гаусдорфа. Х, для яких f(x)= g(x), замкнута в X. Y; звідси слідує справедливість твердження. n) попарно не перетинаються. одержимо потрібні околи. 2. Продовження по неперервності. Подвійна границя відображення f на X тоді єдине. замкнутий. Справедливість твердження випливає, таким чином, з того, що замкнуті околи точки f(x) утворюють фундаментальну систему її околів в Y . одержано продовженням f на X по неперервності. 3. Відношення еквівалентності в регулярному просторі Х. С, що і завершує доведення. Наслідок. У регулярному просторі всяке одночасно відкрите і замкнуте відношення еквівалентності віддільне. Твердження. Нехай X - регулярний простір, F - непорожня замкнута множина в X і R - відношення еквівалентності, що одержується ототожненням один з одним всіх точок з F . Тоді факторпростір X/R віддільний. F, то за припущенням існують відкриті околи точки b і не перетинний з нею відкрий окіл множини F, причому ці окол насищені по R, що і завершує доведення. Відзначимо, що факторпростір X/R не обов'язково регулярний . VII. Компактні і локально компактні простори 1. Квазікомпактні і компактні простори Означення. Топологічний простір X називається квазікомпактним, якщо він задовольняє наступній аксіомі: (C) Всякий фільтр в X має принаймні одну точку дотику. Топологічний простір називається компактним, якщо він квазікомпактний і віддільний. ) Всякий ультрафільтр в X сходиться. . ), бо якщо ультрафільтр має точку дотику, то він сходиться до цієї точки. ) Всяке сімейство замкнутих множин в X, перетин якого порожній, містить кінцеве підсімейство з порожнім перетином. через їх замкнутість, а це суперечить припущенню. ). ) (аксіома Бореля - Лебега). Всяке відкрите покриття простору X містить кінцеве відкрите покриття цього простору. ) переходом до доповнень, так що ці аксіоми еквівалентні. . . 2. Регулярність компактного простору Твердження. Нехай X - компактний простір і х - точка з X. Для того, щоб базис фільтру ss, утворений замкнутими околами точки х, був фундаментальною системою околівь цієї точки, необхідно і достатньо, щоб перетин множин з ss складався з однієї точки х. V. В. Отримана суперечність доводить твердження. 3. Квазікомпактні, компактні і відносно компактні множини Означення. Підмножина А топологічного простору X називається квазікомпактною (компактною), якщо підпростір А квазікомпактний (компактний). Твердження.У квазікомпактному (компактному) просторі всяка замкнута множина квазікомпактна (компактна). ) , відмітивши, що якщо А замкнута в просторі X, то всяка замкнута множина в А замкнуто в X. Твердження. У віддільному просторі всяка компактна множина замкнута. тому у є також точкою дотику для ss. А тоді у = х, бо ss має х своєю межею в X, а X віддільний. . Означення. Множина А в топологічному просторі X називається відносно квазікомпактниою (відносно компактною) в X, якщо А міститься в деякій квазікомпактній (компактномій) множині з X. Коротко говорять також, що А «відносна квазікомпактна» ( «відносно компактна») множина, коли не може бути неясності щодо X. У віддільному просторі поняття щодо квазікомпактної і щодо компактної множин співпадають. 4. Образ компактного простору при неперервному відображенні Теорема . Якщо f - неперервне відображення квазікомпактного простору X в топологічний простір X', то множина f(X) квазікомпактна. буде покриттям множини f(X), і теорема доведена. Наслідок 1. Нехай f - неперервне відображення топологічного простору X у віддільний простір X'; тоді образ будь-якої квазікомпактної множини з X є компактна множина в X'. Наслідок 2. Всяке неперервне відображення f квазікомпактного простору X у віддільний простір X' замкнуте; якщо, крім того, f бієктівне, то f є гомеоморфізм. 5.Добуток компактних просторів Теорема (Тіхонов). Всякий добуток квазікомпактних (компактних) просторів квазікомпактний (компактний). Навпаки, якщо добуток непорожніх топологічних просторів квазікомпактний (компактний), то кожний з просторів-співмножників квазікомпактний (компактний). квазікомпактний і не ); отже U, сходиться, що і завершує доведення. Наслідок. Для того щоб множина в добутку топологічних просторів була відносноквазікомпактна, необхідно і достатньо, щоб кожна її проекція була відносноквазікомпактна у відповідному просторі-співмножнику. 6. Локально компактні простори Означення. Топологічний простір X називається локально компактним, якщо він віддільний і всяка його точка має компактний окіл. Очевидно, всякий компактний простір локально компактний; але зворотне невірно: наприклад, всякий дискретний простір локально компактний, але у випадку, якщо він нескінченний, він є некомпактний. Твердження. Всякий локально компактний простір регулярний. Насправді, всяка точка х локально компактного простору X має компактний окіл V; оскільки X віддільний, то V замкнутий, з іншого боку, V - регулярний підпростір і, значить, X регулярний. Наслідок. У локально компактному просторі всяка точка володіє фундаментальною системою компактних околів. Насправді, перетин будь-якого замкнутогооколицу точки х з компактним околом цієї точки є компактним околиом точки х . Відзначимо, що існують невіддільні топологічні простори, в яких всяка точка має фундаментальну систему компактних околів. Твердження. У локально компактному просторі X всяка компактна множина K володіє фундаментальною системою компактних околів. K таких, що внутрішність множини W(xі) утворює покриття множини K; об'єднання V множин W(xі) і буде тоді компактним околом множини K, що міститься в U . К з будь-якою компактною множиною K з X компактний; тоді F замкнуте в X. Твердження. У віддільному просторі X всякий локально компактний підпростір А локально замкнутий. A компактний і, отже, замкнутий в V . 7. Локально компактні простори, зліченні в нескінченості Означення. Говорять, що локально компактний простір X зліченний в нескінченності, якщо він є зліченним об'єднанням компактних множин. Un+1 для кожного п. Кп ясно, що Un утворюють необхідну послідовність. 8. Паракомпактні простори Означення. Топологічний простір X називають паракомпактним, якщо він віддільний і задовольняє наступній аксіомі: (PC) Для будь-якого відкритого покриття K простору X існує локально кінцеве відкрите покриття K’ простору X, мажоруюче над K . Очевидно, всякий компактний простір паракомпактний. Всякий дискретний простір X паракомпактний, бо відкрите покриття, утворене всіма одно- точковими множинами, локально скінчене і мажорує будь-яке відкрите покриття простору X Твердження. Всякий замкнутий підпростір F паракомпактного простору X паракомпактний. F, де Ui - відкрита множина в X. Розглянемо відкрите покриття K простору X, що складається з сF і всіх Uі; існує локально кінцеве відкрите покриття K’ простору X, мажоруюче K , і сліди на F множин із K’ утворюють локально кінцеве відкрите покриття простору F, що мажорує дане покриття (Vі). І паракомпактна. ). VIII. Ідеальні відображення 1. Ідеальні відображення не обов'язково є замкнуте відображення. замкнуте. Твердження. Всяке ідеальне відображення замкнуте. Y - ін'єктивне неперервне відображення. Тоді наступні три умови рівносильні: а) f ідеальне. б) f замкнуте. в) f є гомеоморфізм простору X на замкнуту множину в Y. . ідеальне. ідеальні, то і f ідеальне. замкнуте, що і завершує доведення. 2. Характеризація ідеальних відображень властивостями компактності Р ідеальне, квазікомпактне. - неперервне відображення. Наступні чотири властивості рівносильні: а) f ідеальне. квазікомпактне . в X така, що f(x)= у. Y-межа базису ультрафільтру f(U), то існує межа х ультрафільтру U такий, що f(x)= у. задовольняє умові г). і f(x)=y, що доводить лему. квазікомпактна. . 3. Ідеальні відображення в локально компактних просторах Y був компактний. При цьому якщо f ідеальне, то X локально компактний. , було неперервне. IX. Зв'язність 1. Зв'язні простори і множини Означення. Топологічний простір X називають зв'язним, якщо він не є об'єднанням двох неперетинних непорожніх відкритих множин. Рівносильне означення одержимо, замінивши слово «відкритих» на «замкнутих»; те ж саме можна виразити , сказавши, що крім всього простору Х і порожньої множини в Х немає відкрито-замкнутих множин. В=O. Твердження. Для того, щоб топологічний простір X був незв'язним, необхідно і достатньо, щоб існувало неперервне сюр’єктивне відображення його в дискретний простір, що містить більш за одну точку. Якщо А і В - відкриті множини, створюючі розбиття простору X, то ми одержимо неперервне відображення f цього простору на дискретний простір { а, b}, що складається з двох елементів, поклавши f(A)={a} і f(B)= {b}. 2. Факторпростори зв'язного простору Твердження. Всякий факторпростір зв'язного простору зв'язний. Твердження. Ненхай X - топологічний простір і R - відношення еквівалентності в X. Якщо фактор простір X/R зв'язний і всі класи еквівалентності по R зв'язні, то X зв'язний. М утворювали б розбиття М на дві відкритих щодо М множини, що суперечить припущенню. Канонічні образи множин А і В будуть тоді відкритими підмножинами факторпростору X/R, створюючими його розбиття, що неможливе. 3. Зв'язні компоненти X називають зв'язні компоненти його точок щодо підпростору А простору X. Твердження. У топологічному просторі X зв'язна компонента будь-якої точки є замкнута множина. Відношення «y належить зв'язній компоненті точки х» є відношенням еквівалентності R { х, у } в X , класами еквівалентності якого служать всілякі зв'язні компоненти в X; факторпростір X/R цілком незв'язний. в просторах-співмножниках Xі. 6. Локально зв'язні простори Означення. Топологічний простір X називають локально зв'язковим, якщо всяка його точка володіє фундаментальною системою зв'язних околів. Твердження. Для того, щоб простір X був локально зв'язним, необхідно і достатньо, щоб всяка зв'язна компонента відкритої множини в X була відкритою множиною в X. Твердження. Всякий факторпростір локально зв'язного простору локально зв'язний. 5. Застосування: теорема Пуанкаре-Вольтерра є дискретний підпростір простору X. Нехай, нарешті, B- множина підмножин простору X, внутрішність яких утворюють покриття X, причому виконані ще наступні умови: B є замкнуте відображення V в Y. B містить зліченну скрізь щільну в V підмножину. Тоді простір X є об'єднанням сімейства відкритих множин, кожна з яких міститься в деякій множині з B. W. O, зліченна. Х існує такий замкнутий окіл V в X, що звуження р на V є гомеоморфізм V на замкнутий підпростір простору Y. Тоді X- регулярний простір, топологія якого володіє зліченним базисом. . Тоді топологія простору X володіє зліченним базисом. Х має такий відкритий окіл U, що звуження p на U є гомеоморфізм U на відкритий підпростір простору Y. Тоді X локально компактний, локально зв'язний і його топологія володіє зліченним базисом. Список використаної літератури Бурбаки Н. Общая топология. – М., Наука, 1957. Александров П.С. Введение в теорію множеств и общую топологію. – М., Наука, 1977. Енгелькинг Р. Общая топология. – М., Мир, 1986. Куратовський К. Топология. Т. 1. – М., Мир, 1966. Куратовський К. Топология. Т. 2. – М., Мир, 1969. PAGE PAGE 2

Похожие записи