.

Топологічні структури (курсова робота)

Язык: украинский
Формат: курсова
Тип документа: Word Doc
5 5753
Скачать документ

Курсова робота

на тему:

Топологічні структури

Зміст

Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 4

І. Відкриті множини; околи; замкнені множини . . . . . . . .
. 6

1. Відкриті множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 6

2. Околи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 6

3. Фундаментальні системи околів; базиси топології . . .8

4. Замкнуті множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 8

5. Локально кінцеві сімейства . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .8

6. Внутрішність, замикання, межа множини, скрізь

щільні множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 9

ІІ. Неперервні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 11

Неперервні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

Порівняння топологій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

Ініціальні топології . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 13

ІІІ. Підпростори; факторпростори . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 15

Підпростори топологічного простору . . . . . . . . . . . . 15

Неперервність щодо підпростору . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Локально замкнуті підпростори . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

IV. Добуток топологічних просторів . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 17

Добуток просторів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .17

Замикання в добутку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 17

V. Відкриті і замкнуті відображення . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 19

Відкриті і замкнуті відображення . . . . . . . . . . . . . . . 19

Відкриті і замкнуті відношення еквівалентності . . . 19

Спеціальні властивості замкнутих відображень . . . . 20

VI. Віддільні і регулярні простори . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 22

Віддільні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 22

Продовження по неперервності . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Відношення еквівалентності в регулярному просторі 24

VII. Компактні і локально компактні простори . . . . . . . .
. . 26

Квазікомпактні і компактні простори . . . . . . . . . . . . . . 26

Регулярність компактного простору . . . . . . . . . . . . . . . 27

Квазікомпактні, компактні і відносно компактні

множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .27

Образ компактного простору при неперервному

відображенні . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 28

Добуток компактних просторів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Локально компактні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Локально компактні простори, зліченні в

Нескінченості . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 31

Паракомпактні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 31

VIII. Ідеальні відображення . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .33

Ідеальні відображення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 33

Характеризація ідеальних відображень властивостями композиції . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Ідеальні відображення в локально компактних

Просторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 34

IX. Зв’язність . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .36

Зв’язні простори і множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.36

Факторпростори зв’язного простору . . . . . . . . . . . . . . . 36

Зв’язні компоненти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 36

Локально зв’язні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 37

Застосування, теорема Пуанкаре-Вольтерра . . . . . . . . . .37

Список використаної літератури . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .40

Вступ

підмножин множини X , що володіє наступними властивостями:

.

.

Дана курсова робота складається із дев’яти розділів.

В першому розділі мова йде про замкнені множини, відкриті множини,
околи, базиси топології, про скрізь щільні множини, про ніде не щільні
множини. Зокрема, наведені означення топологічного простору,
гомеоморфізму.

У другому розділі розглядаються неперервні функції, порівняння топологій
та ініціальні топології, сформульоване твердження, про те, що композиція
двох неперервних відображень є неперервною. Тут наведене також означення
ініціальної топології.

Третій розділ розкриває нам поняття підпростору топологічного простору,
локально замкнуті підпростори.

У четвертому розділі розглядаються добутки просторів і замикання
просторів , наведене твердження:

їх замикань.

В п’ятому розділі розповідається про відкриті і замкнуті відображення.

Шостий розділ розглядає віддільні і регулярні простори.

У сьомому розділі наведені поняття про компактні і локально компактні
простори.

Топологічний простір називається компактним . якщо він квазікомпактний і
віддільний.

Локально компактним є топологічний простір X, якщо він віддільний і
будь-яка його точка має компактний окіл.

У цьому розділі означено також паракомпактний простір.

Топологічний простір X називається паракомпактним, якщо він віддільний і
задовольняє умовам наступної аксіоми:

.

У восьмому розділі розповідається про ідеальні відображення.

замкнуте.

У дев’ятому розділі йде мова про зв’язність.

Топологічний простір X називається зв’язним, якщо він є об’єднаннням
двох неперетинних не порожніх відкритих множин.

І. Відкриті множини; околи; замкнуті множини

1. Відкриті множини

підмножин множини X, що володіє наступними властивостями:

.

.

називаються відкритими множинами топологічної структури.

Означення . Топологічним простором називають множину, наділену
топологічною структурою.

Елементи топологічного простору часто називаються точками. Множина X, в
якій визначена топологія, називається носієм топологічного простору X.

І підмножини А топологічного простору X називають відкритим, якщо всі
Uі – відкриті множини в X.

Означення. Гомеоморфізмом топологічного простору X на топологічний
простір X’ називають ізоморфізм топологічної структури простору X на
топологічну структуру простору X’, тобто бієкцію X на X’, що
перетворює множиту всіх відкритих множин з X в множину всіх відкритих
множин з X’.

Говорять, що X і X’ гомеоморфні, якщо існує гомеоморфізм X на X’.

Означення гомеоморфізма безпосередньо зводиться до наступного критерію:
для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний простір
X’ була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб образ при
відображенні f всякої відкритої множини з X була відкритою множиною в
X’, а прообраз відносно f всякої відкритої множини з X’- відкритою
множиною в X

2. Околи

Означення. Околом множини А в топологічному просторі X називають всяку
множину, яка містить яку-небудь відкриту множину, яка містить А. Окіл
одноелементної множини { х} називають також околам точки х.

Твердження. Для того, щоб множина була околом кожної своєї точки,
необхідно і достатньо, щоб вона була відкритою.

(х) володіють наступними властивостями:

(х).

(х) .

(х).

W.

(х) є характеристичними.

X

(y) що і потрібно було довести.

3. Фундаментальні системи околів; базиси топології

V.

.

Означення. Базисом топології топологічного простору X називають всяку
множину ss відкритих множин з X, таку, що будь-яка відкрита множина в X
є об’єднанням множин, що належать ss .

4. Замкнуті множини

Означення. Замкнутими множинами в топологічному просторі X називають
доповнення відкритих множин.

(О’І) Всякий перетин замкнутих множин є замкнута множина.

(О’ІІ) Об’єднання будь-якого сімейства замкнутих множин є замкнута
множина.

Порожня множина і весь простір X замкнуті.

І множини А в топологічному просторі X називається замкнутим, якщо всі
Fі замкнуті в X.

Гомеоморфізм f топологічного простору X на топологічний простір X’ може
бути ще охарактеризований як бієкція X на X’, при якій образ всякої
замкнутої множини з X є замкнута множина в X’, а прообраз всякої
замкнутої множини з X’ є замкнута множина в X.

5. Локально кінцеві сімейства

на себе.

Твердження. Об’єднання локально кінцевої сім ’ї замкнутих множин
топологічного простору X замкнуте в X.

точки х. Отже, F відкрита.

6. Внутрішність, замикання, межа множини; скрізь щільні множини

всіх внутрішніх точок множини А називається його внутрішністю і
позначається A

Для того, щоб множина була відкритою, необхідно і достатньо, щоб
воно співпадало з своєю внутрішністю.

В.

.

Для замкнутості множини необхідно і достатньо, щоб вона співпадала з
своїм замиканням.

Означення. Точку х топологічного простору X називають граничною точкою
множини А, якщо вона є точкою дотику одночасно для А і для СА; множина
всіх граничних точок множини А називають межею цієї множини.

. Гранична точка х множини А характеризується тим, що будь-який її окіл
містить принаймні одну точку з СА; сама точка х може як належати, так і
не належати А. Межа А співпадає з межею СА; якщо взяти внутрішність А,
зовнішність А і межу А, то ті з цих трьох множин, які не порожні,
утворюють розбиття простору X.

А не порожній..

Card ( ss).

ІІ. Неперервні функції

1. Неперервні функції

V випливає

.

Твердження. Нехай f – відображення топологічного простору X в
топологічний простір X’ . Якщо f неперервне в точці х, а х – точка
дотику множини А в X, то f (х) – точка дотику множини f (А) в X’ .

; цим доведено, що f (х) – точка дотику множини f (А).

f простору X в X” неперервне в точці х

Означення. Відображення топологічного простору X в топологічний простір
X’ називають неперервним на X , якщо воно неперервне в кожній точці з
X.

Приклади. 1) Тотожне відображення топологічного простору X на себе є
неперервне.

2) Постійне відображення топологічного простору в топологічний простір
неперервне.

3) Всяке відображення дискретного простору в топологічний простір
неперервне.

Теорема. Нехай f – відображення топологічного простору X в топологічний
простір X’; наступні властивості рівносильні:

а) f неперервне на X;

Х;

в) прообраз всякої замкнутої множини із X’ є замкнута множина в X;

г) прообраз всякої відкритої множини з X’ є відкрита множина в X.

f-1(V’), оскільки f-1(А’) відкрите, f-1(V’) є околом точки х в X,
чим доведено, що з г) випливає а).

Х” неперервна.

2. Для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний
простір X’ була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб і f і
обернена до f бієкція g були неперервні.

Х’ буде неперервне, але не буде гомеоморфізмом.

2. Порівняння топологій

?2, то говорять, що ?1 сильніше ?2.

Твердження. Нехай ?1, ?2 – топології в множині X. Наступні твердження
рівносильні:

а) ?1 мажорує над ?2.

Х, будь-який окіл х в топології ?2 є околом х в топології ?1.

Х замикання А в топології ?2 містить замикання А в топології ?1.

г) Всяка множина з X, замкнута в ?2, замкнута в ?1.

д) Всяка множина з X, відкрита в ?2, відкритав ?1.

Зауваження. 1) У впорядкованій множині топологій в множині X дискретна
топологія найсильніша, а топологія, єдиною відкритою множиною якої є O і
X, найслабкіша.

2) Чим топологія сильніша, тим більше відкритих множин, замкнутих
множин, околів; замикання множини тим менше, чим топологія сильніша; чим
топологія сильніша, тим менше скрізь щільних множин.

Х’ залишиться неперервним при заміні топології в X мажоруючою
топологією. Інакше кажучи, неперервних відображень X в X’ тим більше,
чим топологія в X сильніша, а топологія в X’ слабкіша.

3.Ініціальні топології

g була неперервна в точці z.

.

ІІІ. Підпростори; факторпростори

1. Підпростори топологічного простору

Означення. Нехай А – множина в топологічному просторі X. Топологією, що
індукується в А топологією простору X, називається топологія, відкритими
множинами якої служать сліди на А відкритих множин з X. Множина А,
наділене цією топологією, називається підпростором простору X .

Множина, відкрита в підпросторі А, не обов’язково є відкритою в X: для
того, щоб будь-яка відкрита множина в А було відкритою в X, необхідно і
достатньо, щоб А була відкритою в X.

Замкнуті множини в А – це сліди на А замкнутих множин з X, як і вище,
переконуємося, що для того, щоб будь-яка замкнута множина в А було
замкнутою в X, необхідно і достатньо, щоб А була замкнута в X.

А відносно А – це сліди на А околів х відносно X; для того, щоб
будь-який окіл точки х відносно А був околом точки х відносно X,
необхідно і достатньо, щоб А була околом точки х в X.

множини В в X.

2. Неперервність щодо підпростору

X необхідно і достатньо, щоб відображення простору X в підпростір В
простору Y, що має той же графік, що і f, було неперервне в точці х.

А є відображенням підпростору А вY, неперервне в точці x.

А неперервне в точці х, то і f неперервне в точці х, бо всякий окіл
точки х відносно А буде околом х відносно X (локальний характер
неперервності).

І – сім’я підмножин топологічного простору X, внутрішність яких утворює
відкрите покриття останнього, або яке є локально кінцевим замкнутим
покриттям простору X. Нехай f- відображення X в топологічний простір X’.
Якщо звуження f на кожному з підпросторів Аі неперервне, то f
неперервне.

3. Локально замкнуті підпростори

V замкнутий щодо підпростору V. L називається локально замкнутою в X,
якщо вонa локально замкнутa в кожній своїй точці.

Твердження. Для підмножини L топологічного простору X наступні умови
рівносильні:

а) L локально замкнутa;

в X;

в)L є перетин відкритої і замкнутої підмножин простору X.

.

Х’ – неперервне відображення; тоді прообраз f-1(L’) будь-якої локально
замкнутої множини L’з X’ локально замкнутий в X.

IV. Добуток топологічних просторів

1. Добуток просторів

І) називають просторами-співмножниками добутку X.

Y, необхідно і достатньо, щоб всі fi були неперервні в точці а.

є гомеоморфізм.

, і ? – слабша з топологій в X, при яких неперервні всі fi. Тоді ? є
прообраз відносно f топології, що індукується в f (X) топологією
добутку Y

2.Замикання в добутку

.- необхідно і достатньо, щоб Аі, було замкнутим в Хі при
будь-якому і.

.

Х, у яких рr ix=аi для всіх, крім скінченого числа, індексів і, скрізь
щільна в X.

V. Відкриті і замкнуті відображення

1. Відкриті і замкнуті відображення

Х’ відкрите(замкнуте), якщо образ при відображенні f всякої відкритої (
замкнутої) множини з X відкритий ( замкнутий) в X’.

Зокрема, f (Х ) є тоді відкритою (замкнутою) множиною в X’.

Х була відкритою ( замкнутою), необхідно і достатньо, щоб А була
відкритою ( замкнутою) в X.

2) Для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний
простір X’ була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб вона була
неперервною і відкритою або безперервною і замкнутою.

X”- відображення. Тоді:

f відкрита (замкнута).

б) Якщо g • f відкрита ( замкнута), а f сюр’ективне і неперервне, то g
відкрите (замкнуте).

в) Якщо g ° f відкрита ( замкнута), а g ін’єктивне і неперервне, то f
відкрите ( замкнуте).

Х маємо f (А)= g-1(g (f (А))); за припущенням, якщо А відкрита (
замкнута) в X, то g (f (А)) відкрита ( замкнута) в X”, і, отже f (А)
відкрита ( замкнута) в X’.

2. Відкриті і замкнуті відношення еквівалентності

Означення. Відношення еквівалентності R в топологічному просторі X
називають відкритим ( замкнутим), якщо канонічне відображення X на Х/R
відкрите ( замкнуте).

Y канонічний розклад f. Наступні три властивості рівносильні :

а) f – відкрите відображення.

б) Відображення p, h, i-відкриті.

в) Відношення еквівалентності R відкрите, h -гомеоморфізм і f(X)-
відкрита множина в Y.

Крім того, все попереднє залишається в силі , якщо усюди замінити
«відкрите» на «замкнуте».

Х/R , А – множина в X.

Припустимо, що виконується одна з наступних двох умов:

а) А відкрита (замкнута) в X.

б) А насичене по R.

Тоді відношення RА, що індукується відношенням R в А, відкрите
(замкнуте) і канонічне відображення простору A/RА на f(A) є
гомеоморфізмом.

l

i

?Список використаної літератури Бурбаки Н. Общая топология. – М., Наука, 1957. Александров П.С. Введение в теорію множеств и общую топологію. – М., Наука, 1977. Енгелькинг Р. Общая топология. – М., Мир, 1986. Куратовський К. Топология. Т. 1. – М., Мир, 1966. Куратовський К. Топология. Т. 2. – М., Мир, 1969. PAGE PAGE 2

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020