.

Теоретичні основи вивчення теми “закони множення і ділення” (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 12832
Скачать документ

Реферат з математики

Теоретичні основи вивчення теми “закони множення і ділення”.

Теоретичною основою вивчення теми є закони множення і ділення.

§ 1. Множення і ділення з 0 і 1.

Поняття добутку цілих невід’ємних чисел можна визначити по різному.
Розглянемо підхід в основі якого лежить поняття суми.

Означення. Добутком цілих невід’ємних чисел а і в називається таке ціле
невід’ємне число а . в, яке задовольняє слідуючим умовам:

а . в = а+ ….+а при в >1;

в доданків

а. 1 = а при в = 1

а. 0 = 0 при в= 0.

Теоретико-множинний зміст цього означення слідуючий.

Якщо множини А1, А2…, А6 мають по а елементів кожне і ніякі два із них
не перетинаються, то їх об’єднання містить а в елюентів. Отже, добуток а
. в – це число елементів в об’єднанні з в попарно непересікаючих множин,
кожна із яких містить по а елементів. Рівності а.1 = і а.0 = 0
приймаються по умові.

Дія, за допомогою якої знаходять добуток чисел а і в, називають
множенням; числа, які множать, називають множниками.

Добуток любих цілих невід’ємних чисел існує, і він єдиний.

З даним означенням учня знайомляться в початкових класах. Зміст його
розкривається при розв’язування простих задач.

Розглянемо таку задачу: “На кожне дитяче пальто потрібно пришити 4
гудзики. Скільки ґудзиків потрібно пришити на 6 таких пальт?”

Чому задача розв’язується за допомогою множення? Тому, що в ній потрібно
знайти число елементів в об’єднанні, які стають із 6 множин, в кожному
із яких по 4 елементи.

Згідно умови це число знаходиться множенням: 4.6=24 (гудзики).

Існує і друге означення добутку цілих невід’ємних чисел. Воно зв’язано з
декартовим добутком множин.

Нехай дано дві множини:

А (х, у,Z) і В = (n, t ,ч, S). Знайдемо їх декартів добуток, який
запишемо у вигляді прямокутної таблиці.

(x, n), ( x, t), (x, ч), (x, S),

(y, n), ( y, t), (y, ч), (y, S),

(Z, n), ( Z, t), (Z, ч), (Z, S),

В кожній лінійці всі пари мають однакову першу компоненту, а в кожному
стовпчику однакова друга компонента. При цьому ніякі дві лінійки не
мають хоча б одну однакову пару. Звідси випливає, що число елементів в
декартовому добутку АХВ рівне 3+3+3+3=12. З другої сторони, n (А)
=3,n(B)= 4 і 3 .4 = 12. Бачимо, що число елементів в Декартові добутку
даних множин А і В рівне добутку n(А) . n(В).

Якщо А і В – скінчені множини, то n (А х В) =n(A) n(В).

Таким чином, добуток цілих невід’ємних чисел а і в можна розглядати як
число елементів декартового добутку множин А і В, де n(А)=а, n(В) = в:

а. в = n (A x B), де n (A)=а, n (В)=в.

І в першому, і в другому випадку нами означено добуток двох чисел. А як
визначити добуток кількох множників?

Нехай добуток двох множників визначено і визначено добуток n множників.
Тоді добуток, який складається із n+1 множника, тобто добуток а1 . а2 .
…. аn . an+1, рівний (а1 . а2 . …. аn) . an+1.

Наприклад, щоб знайти добуток 2.7.5.9 згідно цього означення. Потрібно
виконати послідовно слідуючи перетворення:

2.7.5.9= (2.7.5).9= ((2.7).5).9 = (14.5).9 = 70.9=630

§ 2. Множення і ділення на основ і нумерації.

Якщо числа та і в однозначні, то, щоб знайти їх добуток, досить
порахувати число елементів в Декартові добутку таких множин А і В, що n
(A)=а, n (В)=в. Але, щоб виконати множення таких чисел не звертаючись до
множин і рахунку, всі добутки, які одержуються при множенні двох
означних чисел, запам’ятовують.

Усі такі добутки записують в таблицю, яка називається таблицею множення
однозначних чисел.

Якщо числа а і в многозначні, то їх множать “стовпчиком”.

Помножимо число 426 на 123.

Для одержання результату нам треба число 426 помножити на 3,2,1, тобто
помножити багатоцифрове число на одноцифрове; помноживши на 2, ми
результат записали по-особливому, помістивши одиниці числа 852 під
десятками числа 1278, – це тому, що ми множили на 2 десятки, третій
доданок 426 – це результат множення на 1 сотню. Нам прийшлося знайти
суму багатоцифрових чисел.

Щоб виконати множення багатоцифрового числа на багатоцифрове, потрібно
уміти:

множити багатоцифрове число на одноцифрове;

множити багатоцифрове число на степінь 10;

додавати багатоцифрові числа.

Вияснило, які теоретичні основи множення багатоцифрового числа на
одноцифрове і на степінь десяти.

Розглянемо процес множення числа 426 на 3. Число 426 можна записати у
вигляді 4. 102+2.10+6, і тоді 426.3 = (4.102+2.10+6).3.

На основі розподільного закону множення відносно додавання перетворимо
запис, розкривши дужки: (4.102).3+(2.10).3+6.3.

Переставний і сполучний закони множення позволяють доданки в цій сумі
записати так: (4.3 .102.+(2.10).10+(6.3).

Добуток у дужках можна знайти за таблицею множення одноцифрових чисел:
12.102+6.10+18.

Отже, множення багатоцифрового числа на одноцифрове звелось до множення
одноцифрових чисел.

Але одержаний вираз не є десятковим записом числа – коефіцієнти перед
степенями 10 повинні бути менші 10. Тому 12 залишимо у вигляді 10+2, а
число 18 у вигляді 10+8:

(10+2).102 + 6.10+(10+8).

Відкриємо дужки: 103+2.102+6.10+10+8

Використаємо сполучний закон множення і розподільний закон множення
відносно додавання:

1 .103+2.102+(6+1).10+8

Сума 6+1 є сума одноцифрових чисел і легко знаходиться по таблиці
додавання: 1.103+2.102+7.10+8.

Одержаний вираз є десятковим записом числа 1278. Отже, 426,3=1278.

Аморитм множення числа х=аnan-1…a1a0 на однозначне число у можна
сформулювати так:

Записуємо друге число під першим.

Множимо цифри розряду одиниць на число у. Якщо добуток менший 10, його
записуємо в розряд одиниць відповіді і переходимо до слідую чого розряду
(десятків).

Якщо добуток цифри одиниць на число у більший або рівний 10, то
записуємо його у вигляді 10.g1+С0, де С0 – одноцифрове число; записуємо
С0 в розряд одиниць відповіді і запам’ятовуємо g1 – переносимо в
слідуючий розряд.

Множимо цифру розряду десятків на числа у, додаємо до одержаного добутку
число g1 і повторюємо процес, описаний в п.2. і 3.

Процес множення закінчується, коли буде помножена цифра старшого
розряду.

Множення числа х на число вигляду 10k зводиться до приписування до
десяткового запису даного числа k нулів. Дійсно, якщо х=аn.10n + an-1.
10n-1+…+a1.10+a0, то x . 10k = (an-1. 10n+an-1.10n-1+… +a1/10+a0). 10k.

Застосувавши розподільний закон множення відносно додавання і інші
закони множення, одержимо:

При ділення одноцифрових чисел і двоцифрових (які не перевищують 89) на
одноцифрове використовується таблиця множення одноцифрових чисел.

Нехай потрібно 54 поділити на 9. Шукаємо в 9-му стовпчику (9-ій лінійці)
число 54. Воно знаходиться в 6-ій лінійці (6-му стовпчику). Отже,
54:9=6.

Поділимо тепер 51 на 9. В 9-му стовпчику нема числа 51. Тому візьмемо в
цьому стовпчику ближче до нього менше число 45. Так як 45 знаходиться в
5-й лінійці, то неповинна частка рівна 5. Щоб знайти остачу. Віднімемо
від 51 число 45: 51-45=6. Тому 51 = 9.5+6, або в шкільній символіці
51:9+5 (ост.6).

Вияснимо, як ділять багатоцифрові числа на одноцифрові. Нехай треба 238
поділити на 4. Це означає що треба знайти таку неповну частку g і остачу
ч, щоб 238 = 4g+ч, 0?чв і число розрядів в числах а і в однакове, то частку
знаходимо переборок, послідовно множимо в на 1,2,3,4,5,7,8,9, так як а в і число розрядів в числі а більше, ніж в числі в, то
записуємо ділене а і справа від нього дільник в, який відділяємо від а
кутом, і шукаємо частку і остачу в такій послідовності:

Виділимо в числі в стільки старших розрядів, скільки розрядів в числі,
в, або. Якщо потрібно, на один розряд більше, але так, щоб вони
утворювали число d1, більше або рівне в. Підбором знаходимо частку g1
під кутом (нижче в).

Множимо в на g1 і записуємо добуток під числом а так, щоб молодший
розряд числа вg1 був записаний під молодшим розрядом виділеного числа
d1.

Проводимо риску під в1 і знаходимо різницю

ч1=d1-вg1

Записуємо різницю ч1 під числом вg1, дописуємо справа до ч1 старший
розряд із невикористаних розрядів діленого а і порівнюємо одержане число
d2 з числом в.

Якщо одержане число d2 ? в, то поступаємо так як в п. І або ІІ. Частку
g2 записуємо після g1.

Якщо одержане число d2

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020