Пошукова робота на тему:

Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для
функції однієї та двох змінних.

План

Основні теореми диференціального числення

Теорема Ролля

Теорема Лагранжа

Теорема Коші

Правило Лопіталя

Формула Тейлора для многочлена

Формула Тейлора для довільної функції

Формула Тейлора для функції двох змінних

6.12. Основні теореми диференціального числення

 знайдеться точка, в якій функція має певні властивості (про ці
властивості йдеться в теоремі). Тому й самі теореми називають теоремами
про середнє.

6.12. 1. Теорема Ролля

 задовольняє умовам:

:

;

.

.

            Д о в е д е н н я.   

 є сталою:

.

 можна взяти будь-яку точку інтервалу і для цієї точки теорема буде
справедлива.

.

, в якій

.

.

.

 справджуватимуться нерівності

,

.

, для якого справедливі нерівності

,

,

.

, тому

.

. Теорему доведено

            З’ясуємо геометричний зміст теореми Ролля (рис.6.9):

— неперервна на відрізку);

            2) крива, що є графіком функції, є гладкою кривою (крива
називається гладкою, якщо в кожній її точці можна провести дотичну);

.

, в якій справджуються рівність

.                              (6.73)

            Д о в е д е н н я.     Розглянемо функцію

,

 має похідну

;

.

 або, що саме,

звідси

            Теорему доведено.

.

, то можемо записати:

.

                   Рис.6.19                                Рис.6.10

            Отже, рівність (6.73) можна записати в такому вигляді:

,

або

.

, одержимо рівність

.

. Отже, дістаємо формулу

.          (6.74)

 і має назву формули скінчених приростів.

 на даному проміжку є сталою.

 задовольняє умовам теореми Лагранжа і справедливою є рівність

.

.

 є сталою.

 в кожній точці цього проміжку дорівнювала нулю.

 є величина стала.

.

:

.

.

6.12.3. Теорема Коші

, що має місце рівність

           .               (6.75)

           

6.13. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя

.

 виконуються умови:

  і

;

;

3) існує (скінчена або нескінченна ) границя

.

, тобто

.

Висновок цієї теореми читають ще так: границя відношення функції
дорівнює границі відношення похідних від цих функцій.

Наведену теорему називають першим правилом Лопіталя.

 виконуються рівності

Нехай

тоді, застосовуючи двічі доведену теорему, дістаємо таку рівність:

 певну границю. Тоді

 разів.

. У цьому випадку

, маємо

 виконуються умови:

і при цьому

 причому

3)      існує ( скінчена або нескінченна) границя

Тоді

.

 можна записати:

, то її розкривають так.

має вигляд

.

            Приклади.  Користуючись теоремами Лопіталя, знайти границі
функцій:

            Р о з в ’ я з о к.  Перевіримо виконання умов теорем
Лопіталя для першого прикладу. Для прикладів пропонуємо умови теорем
перевірити самостійно.

, а потім

.

Отже, виконуються всі три умови першої теореми Лопіталя. Тому

.

. Використавши першу теорему Лопіталя, одержимо

.

, тому використовуємо другу теорему Лопіталя:

.

 у вигляді

.

. Тому

.

. Тому

           

. Тоді

Знайдемо границю показника:

тому

. Запишемо даний вираз:

.

Отже,

.

. Запишемо даний вираз:

.

            Знайдемо границю показника:

.

Отже,

6.14. Формула Тейлора

6.14.1. Формула Тейлора для многочлена

            Нехай задано многочлен

— довільні дійсні числа, які називаються коефіцієнтами многочлена.

 та його похідні.

            З цією метою будемо послідовно диференціювати многочлен.
Матимемо

.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  
.   .

, дістаємо

.   .   .  .   .   .   .   .  .  . 

 набуде вигляду

                     (6.76)

— довільне дійсне число:

 можна записати так:

        (6.77)

            Формулу (6.77) називають формулою Тейлора для многочлена.

6.14.2. Формула Тейлора для довільної функції

-го порядку включно.

            Тоді для такої функції можна побудувати многочлен

   (6.78)

            Розглянемо таку різницю:

            Тоді

або

   (6.79)

— залишковим членом формули Тейлора.

 у формулі Тейлора можна записати у вигляді

                            (6.80)

Формула (6.79) записується тепер у вигляді

(6.81)

, то матимемо так звану формулу Маклорена      

                         (6.82)

можна записати формулу (6.81) в диференціальній формі:

    (6.83)

6.14.3. Формула Тейлора для функції двох змінних

-го порядку включно. Формулу Тейлора зручно записати в диференціальній
формі:

  (6.84)

            Аналогічний вигляд має формула Тейлора для функції більшого
числа змінних.

Похожие записи