РЕФЕРАТ

Теорема про

диференціювання функції.

Розділ: Диференціальне числення функцій змінної.

Тема: Теорема про диференціювання функцій.

І. Навчальна мета: засвоїти студентам геометричне застосування
визначених інтегралів.

ІІ. Між предметна інтеграція: математика.

ІІІ. Зміст:

Опрацювати навчальний матеріал.

Дати відповіді на питання.

Опрацювати приклади.

ІV. План.

1. Формула Тейлора.

V. Контрольні питання:

Вивести формулу Тейлора. Способом інтегральних сум вивести формулу для
обчислення площі поверхні обертання.

при х0=1, n=3.

VI. Використана література:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. “Математика для Економістів” Вища
математика. К.: Наукова Академія Управління, 1997. – 397 с. cт.
238-244.

Формула Тейлора

Розглянемо одну з основних формул математичного аналізу, так звану
формулу Тейлора, яка широко застосовується як в самому аналізі, так і в
суміжних дисциплінах. Зупинимося лише на трьох застосуваннях.

В п. 3.3 ми бачили, що заміна приросту функції ЇЇ диференціалом дає
змогу утворювати різні наближені формули. Виявляється, що ці формули
можна уточнити, якщо застосувати диференціали вищих порядків: про це і
йдеться у формулі Тейлора.

Очевидно, цю задачу найпростіше можна «розв’язати» за допомогою
калькулятора. Але ж калькулятор дає лише відповідь. А питання проте, які
він при цьому виконує дії, залишається відкритим. Формула Тейлора і
вказує, які арифметичні дії потрібно виконати над х, щоб одержати sin x.

Іншими словами, формула Тейлора дає змогу зобразити дану функцію
многочленом, що зручно для складання програм і обчислень цієї функції на
ЕОМ.

(х), а потім цю залежність описують аналітичне, причому, як правило, у
вигляді многочлена.

Обгрунтування можливості представляти функцію многочленом дає формула
Тейлора.

х0). Тоді між точками х0 і х знайдеться така точка с, що справедлива
формула

(х, х0):

(2)

(х, x0) позначимо через Rn (х):

Теорема буде доведена, якщо встановимо, що

(3)

де точка С лежить між точками х0 і x;.

х, і розглянемо функцію

(4)

(х0; х) для якої

F'(c) = 0. (5)

(х, t) з формули (3) і результат продиференціювати по t, то знайдемо

(6)

Покладемо у формулі (6) t = с, тоді з рівності (5) дістанемо

Розв’язуючи це рівняння відносно Rn(x), дістанемо формулу (3).

(х) її многочленом Тейлора (2).

.

Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (1) при х0 = 0:

(7)

х, 0 < 0 < 1). х: (8) , то формулу (8) можна записати у вигляді (9) x0 є нескінченно малою вищого порядку, ніж (х- x0)n: тому що добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала. (х). Рис. 1 Рис. 2 (х) у вигляді многочлена даного степеня поблизу точки х0. Це треба розуміти так (рис. 1): серед усіх многочленів цього степеня, які збігаються з функцією при х = х0, лише для многочлена Тейлора величина |Rn(х)| виявляється найменшою. Із формули (3) видно, що залишковий член Rn(x) може бути малим навіть при великому відхиленні х від х0, якщо взяти достатньо великим порядок n многочлена Тейлора, тому що факторіал при збільшенні n росте швидше степеня. Приклади. (х) = еx, який зображав би цю функцію на відрізку [-1;1] з точністю до 0,001. Обчислити наближене значення е. О 3 попереднього прикладу маємо ; Отже, n = 6, тому з точністю до 0,001 справедлива наближена формула Якщо в цій формулі покласти, наприклад, х = 1, то матимемо наближене значення числа е: О Маємо Поклавши у формулі Тейлора (1) х0 = 1 і n = 3, дістанемо де с лежить між 1 і х, тому Формулу (1) можна записати у вигляді (10) тому формула (10) матиме вигляд (11) Ця формула називається формулою Тейлора для многочлена.

Похожие записи